Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-06-25 | 1072 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни системы:
Решение. Пусть .
Здесь и .
Подставляя нулевое приближение, будем иметь
, , , , ,
.
Вычислим .
Аналогично найдем второе приближение
.
Тогда .
Для контроля вычислим невязку: и так далее.
Получаем решение системы:
Метод скорейшего спуска для решения СЛАУ
Методом скорейшего случая решить систему уравнений:
Решение. В качестве начального приближения выберем .
Тогда ,
,
.
Вычисляя коэффициент , получим: .
Отсюда , причем невязка . Аналогично вычисляя, получим: ;
;
;
.
Процесс скорейшего случая для линейных систем сходится медленно. Так, здесь точное решение: ; ; ; .
Метод наименьших квадратов
Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.
-1 |
Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .
Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:
.
Решая эту систему, получим:
.
.
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:
.
И коэффициенты равны:
. Тогда
.
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.
Таблица 3
-1 | |||||
-1 | 0,7 | 2,4 | 4,1 | 5,8 | |
-1 | 0,62 | 2,24 | 6,9 |
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:
|
.
.
Построение интерполяционных многочленов
Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функцией в точках .
Решение. Пусть , поэтому имеем
.
Отсюда .
Поэтому при .
Многочлен Лагранжа
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функцией в точках
.
Решение. Составим таблицу
х | -2 | -4/3 | 4/3 | ||
у |
Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:
Многочлен Ньютона с конечными разностями
Пример 1. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей
х | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | |
у | 0,1002 | 0,2013 | 0,8045 | 0,4108 | 0,5211 |
Решение. Составляем таблицу конечных разностей.
х | у | |||||
0,1002 | ||||||
0,1 | 0,1002 | 0,0009 | ||||
0,1011 | 0,0012 | |||||
0,2 | 0,2013 | 0,0021 | -0,0002 | |||
0,1032 | 0,0010 | 0,0001 | ||||
0,3 | 0,3045 | 0,0031 | -0,0001 | |||
0,1063 | 0,0009 | |||||
0,4 | 0,4108 | 0,0040 | ||||
0,1103 | ||||||
0,5 | 0,5211 |
Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и
Пример 2. Задана таблица. Найти .
х | ||||
0,2588 | ||||
0,0832 | ||||
0,3420 | -0,026 | |||
0,0806 | 0,0006 | |||
0,4226 | -0,032 | |||
0,0774 | 0,0006 | |||
0,5 | 0,038 | |||
0,0736 | ||||
0,5736 |
При вычислении положим
.
При вычислении положим
.
Приближенное дифференцирование
Найти функции , заданной таблично.
Решение.
х | у | |||
1,6990 | ||||
0,0414 | ||||
1,7404 | -0,0036 | |||
0,0378 | 0,0005 | |||
1,7782 | -0,0031 | |||
0,0347 | ||||
1,8129 |
Здесь ; .
Вычисляя погрешность, получим:
.
Действительно, .
Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.
|
Метод Эйлера для решения задачи Коши
Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши: , . Возьмем шаг . Тогда .
Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:
, .
Решение представим в виде таблицы:
0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | ||
1,0000 | 1,2000 | 1,3733 | 1,5294 | 1,6786 | 1,8237 |
Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .
Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы:
0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | ||
1,0000 | 1,1832 | 1,3416 | 1,4832 | 1,6124 | 1,7320 |
Из таблицы видно, что погрешность составляет
.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!