Применение градиентных методов для решения

Оптимизационных задач

 

Все задачи оптимизации можно условно разделить на одномерные и многомерные. В задачах одномерной оптимизации целевая функция является функцией одной переменной. Для задач этого типа существуют различные методы решения, и несмотря на простоту поставленной задачи, они занимают важное место в исследованиях как теоретической, так и практической направленности. Основными способами решения таких задач являются методы прямого поиска, то есть без использования производной исследуемой функции, и методы с использованием производной.

Для задач многомерной оптимизации также разработано множество различных методов, в частности, градиентные методы, основанные на использовании градиента целевой функции. К таким методам относятся метод сопряженных градиентов, методы Ньютона (основной и модифицированный), метод Коши. Последний метод по своему характеру является итерационным.

Пусть в некоторой точке множества исследуемых переменных требуется установить направление наибольшего локального уменьшения целевой функции. Разложим целевую функцию в окрестности точки в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высокого порядка, т.е.

Второе слагаемое определяет скалярное произведение, которое должно принимать наибольшую отрицательную величину, т.е.

Именно значение выбирается на каждой итерации.

Рассмотрим применение метода Коши для отыскания минимума функции

Пусть начальное приближение равно . Результаты каждой итерации сведем в таблицу.

	-1,245	2,121	24,231
	0,143	0,151	0,354
	-0,021	0,032	0,005
	0,002	0,002	0,000

Отсюда следует, что

Материал поступил в редколлегию 25.04.17

УДК 511.36

Ю.В. Горюшина

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,

к. ф.-м. н. Е.С. Золотухина

 

ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНКИ МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА

Объект исследования: мера иррациональности числа .

Результаты, полученные лично автором: получена оценка меры иррациональности числа .

Для любого иррационального числа можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно приближается рациональными числами.

Показателем иррациональности или мерой иррациональности называется нижняя граница чисел , таких, что для любого существует , такое, что неравенство выполняется для всех целых чисел , при . Точное значение меры иррациональности известно для немногих чисел.

Цель работы – получить оценку меры иррациональности числа .

Рассмотрим интеграл

, (1)

где N, .

Обозначим для N.

Свойство симметрии , которым обладает подынтегральная функция , позволяет получить представление интеграла (1) в виде линейной формы от 1 и с целыми коэффициентами

, где Z. (2)

С помощью замены интеграл приводится к виду

.

Используя формулу Эйлера ,

где – гипергеометрическая функция Гаусса, а также формулу Куммера , можно доказать лемму 1. Она позволяет уточнить знаменатель линейной формы (2).

Лемма 1. Пусть , N, ,

.

Тогда Z.

Далее применим для линейной формы (3) лемму М. Хата.

Лемма 2 [М. Хата]. Пусть N, R – иррационально, , где Z, , , , тогда .

Имеем , , .

Таким образом, .

Материал поступил в редколлегию 20.04.17

УДК 519.111

Е.А. Забавникова

Научный руководитель: доц. каф. «Высшая математика»

Н.А. Хасанова

[email protected]

 

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Объект исследования: проверка гипотезы теории вероятностей.

Результаты, полученные лично автором: решены задачи, использующие данную гипотезу.

 

Пусть X - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения XÎN/(µ; s²), причем числовое значение дисперсии s² неизвестно.

Дать точный ответ на вопрос, каково числовое значение неизвестного параметра, можно обследовав всю генеральную совокупность, что сделать, как правило, нельзя. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочную исправленную дисперсию, которая дает приближенное представление о числовом значении дисперсии s². В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных (S²) и по значению которой можно судить о близости исправленной дисперсии к предполагаемому значению.

Критерий при выполнении гипотезы Н ₀ подчиняется распределению Пирсона (c²- распределение) с числом степеней свободы k=n-1.

Задача: точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,15. Выборочному контролю было подвергнуто 25 изделий и по результатам определена оценка дисперсии S²=0,25. Предполагается, что размер изделия - нормально распределенная случайная величина. Проверить гипотезу, что станок обеспечивает требуемую точность.

1. Принимаем . Назначаем α= 0,05.

2. Согласно проверяемой гипотезе Н₀ в основе проверки лежит критерий, имеющий распределение Пирсона с числом степеней числом степеней свободы k=n-1=25-1=24.

3. Согласно гипотезе критическая область W —правосторонняя. Нулевая гипотеза отвергается, станок не обеспечивает требуемой точности.

Материал поступил в редколлегию 24.04.2017

УДК 519.62

Г.А. Зубов, В.А. Писанка

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,

к.т.н. А.С. Васильев

[email protected]