Переходная функция и функция веса

Переходная функция. Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используется единичная функция времени. Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или включение нагрузки в системах регулирования (отказ мотора в системе регулирования).

Переходная характеристика химического реактора: а – ступенчатое воздействие; б – кривая разгона

Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е.

Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом. Здесь следует ввести понятия прямой и обратной задач. Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известной интегральной кривой, например, переходной функции. Решение обратной задачи представляет значительную сложность вследствие ее некорректности и здесь существует специальный математический аппарат. Так, например, если предположить, что переходная функция описывается решением уравнения первого порядка

Функция веса связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа:

W (s) = _o^¥ ò w (t) e ^-st dt.

Переходная функция связана с передаточной функцией преобразованием Карсона:

W (s) = s _o^¥ ò h (t) e ^-st dt.

Для произвольного входного воздействия, переходный процесс на выходе линейной системы может быть определен на основании интеграла Дюамеля-Карсона, если известны типовые реакции:

· h (t): y (t) = x (0) h (t) + _o ^t ò x '(t) h (t -t) d t;

· w (t): y (t) = _o ^t ò x (t) w (t -t) d t, - так же "Интеграл свертки";

где: t - вспомогательное время интегрирования.

Для получения весовой функции, ее также называют импульсной переходной функцией, в качестве стандартного сигнала используется δ -функция:

Таким образом, весовой функцией w(t) называется реакция системы на δ -функцию при нулевых начальных условиях. На практике весовую функцию в отдельных случаях можно получить экспериментальным путем весьма приближенно. Считают, что на вход объекта подана δ -функция, если время действия импульса намного меньше времени переходного процесса. Примером может служить эксперимент по снятию весовой функции химического реактора, являющегося объектом исследования. В качестве входного сигнала в реактор залпом выливается порция красящего вещества (например, чернил). Через некоторое время это вещество появится на выходе, причем его концентрация первоначально возрастает, а затем убывает – красящее вещество вымывается. Подаваемый на вход импульс представляет собой приближенную дельта-функцию, так как его площадь отлична от единицы и равна S. Поэтому для получения весовой функции экспериментально снятый переходный процесс нормируют путем деления его ординат на величину площади входного воздействия S.

Переходная характеристика химического реактора:

а – δ -функция; б – весовая функция

Между временными характеристиками: переходной и весовой функциями существует взаимное однозначное соответствие, которое определяется следующим образом:

Весовую функцию можно получить и как решение дифференциального уравнения

При решении подобных уравнений дельта-функцию переводят в начальные условия, и если n = 2, то