Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-06-13 | 248 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Уравнение вида называется линейным.
Если , то оно называется линейным однородным.
При этом, не может быть тождественно равно 0, иначе вообще нет слагаемого с производной , то есть уравнение не являлось бы дифференциальным. Но тогда можно поделить всё уравнение на и свести к виду .
Линейные однородные уравнения фактически являются уравнениями с разделяющимися переменными. Действительно, ,
где первообразная, с точностью до константы. В итоге, , то есть общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: константа, умноженная на экспоненту в степени первообразной от коэффициента , взятую с другим знаком.
Пример. Решить уравнение .
.
Мы видим коэффициент , её первообразная , соответственно в ответе есть .
Пример. Решить уравнение .
Можно рассмотреть , первообразная равна ,
тогда = .
Впрочем, можно его решить и просто как уравнение с разделяющимися переменными:
.
Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа (другое название: метод вариации произвольной постоянной).
Предположим, что на месте C некоторая неизвестная функция, и ищем решение в виде: .
Тогда .
Подставим эти в неоднородное уравнение .
+ .
Два слагаемых получились одинаковые, и они сокращаются, осталось:
= .
Отсюда можно выразить . .
что состоит в итоге из 2 слагаемых:
первообразной от и константы . Поэтому решение однородного обязательно окажется отдельным слагаемым в общем решении неоднородного.
.
В конкретных примерах, это выглядит менее громоздко:
Пример. Решить линейное уравнение .
1 шаг. Решаем соответствующее однородное уравнение. . - общее решение однородного.
2 шаг. Методом Лагранжа решаем неоднородное.
|
Ищем решение в виде: . Ищем производную:
= . Всё это подставим в неоднородное:
, тогда .
Тогда = .
Теперь подставим это в , получается
= .
Общее решение неоднородного состоит из двух слагаемых: частное решение неоднородного (его мы и искали на 2-м шаге методом Лагранжа) и общее решение однородного, которое нашли на 1-м шаге, и оно воспроизвелось само в конце 2-го шага. Это происходит из-за того, что всегда ищется с помощью её производной, а значит, в ней присутствует слагаемое .
Проверка. Можно подставить частное решение неоднородного, и это слагаемое само по себе тоже является решением:
Выполняется ли ?
= = . Верно.
Пункт 4. Уравнения Бернулли.
Уравнение вида называется уравнением Бернулли. Так как коэффициент не тождественно равен 0, то на него можно поделить, поэтому будем рассматривать в виде: .
Отличаются от линейных только наличием в правой части.
Если n=0 получается линейное неоднородное .
Если n=1 то ещё лучше, получается однородное:
то есть .
При , получается уже собственно, уравнение Бернулли. Оно является обобщением линейного уравнения.
Алгоритм решения.
1) Разделить на . Получится .
2) Сделать замену . Тогда оно сведётся к линейному по .
3) решить линейное (в 2 шага, сначала однородное, потом неоднородное)
4) сделать обратную замену: так как , то .
Докажем подробнее, как и почему сводится к линейному.
, тогда по правилам дифференцирования композиции. Получили, что .
Тогда уравнение сводится к такому виду:
, или .
Это уже линейное неоднородное уравнение.
ЛЕКЦИЯ № 7. 28. 03. 2017
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!