Методика исследования системы на устойчивость с помощью критериев Найквиста.

Рис. 4.2.3.

Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи (рис. 4.2.3). Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально.

Передаточная функция W_pc разомкнутой системы:

W_pс(jw) = K_pc(jw)/H_pc(jw),

с углом поворота фазы в соответствии с выражением (4.2.2):

D arg H_рс(jw) = np/2, 0 ≤ w ≤ ∞. (4.2.3)

АФЧХ замкнутой системы описывается выражением:

W_зс(jw)= W_pc(jw) /[1+ W_pc(jw)]. (4.2.4)

Обозначим знаменатель этого выражения через W₁(jw):

W₁(jw)=1+W_pc(jw)=1+K_pc(jw)/H_pc(jw)=H(jw)/H_pc(jw), (4.2.5)

где H(jw) = K_pc(jw) + H_pc(jw), характеристический полином замкнутой системы при р=jw.

В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома H_pc(p), т.к. H(p)=K_pc(p)+H_pc(p), а порядок полинома K_pc(p) меньше порядка полинома H_pc(p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению:

D arg H(jw) = (n - 2m) (p/2), 0 ≤ w ≤ ∞. (4.2.6)

где m - число правых корней системы, имеющей в замкнутом состоянии характеристический полином Н(р)=0.

Из (4.2.5) следует:

D arg W₁(jw) = D arg H(jw) - D arg H_pc(jw).

C учетом (4.2.3):

D arg W₁(jw) = (n - 2m) (p/2) - np/2 = -mp. (4.2.7)

В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет:

D arg W₁(jw) = 0. (4.2.8)

Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда кривая W₁(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом случае результирующий поворот вектора W₁(jw) при изменении w от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла j(w), обусловленное движением вектора W₁(jw) в положительном направлении (против часовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием j(w), обусловленным движением вектора W₁(jw) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Как видно из (4.2.5), переход на комплексной плоскости от годографа вектора W₁(jw) к годографу вектора АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) осуществляется сдвигом кривой W₁(jw) влево на -1, так как W_pc(jw) = W₁(jw) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (рис. 4.2.4, годограф 2).

Рис. 4.2.4.

Более общая формулировка критерия Найквиста относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда W_pс(jw) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re W_pc(w) = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулируется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до +∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; -∞) и числом отрицательных переходов равна нулю. Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кривой 1 на рис. 4.2.4, устойчива и в замкнутом состоянии.

Рис. 4.2.5.

На рис. 4.2.5а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис. 4.2.5б - замкнутая САУ неустойчива.

На рис. 4.2.5в и 4.2.5г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при w ® 0 уходит в бесконечность. В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.

Критерий Найквиста нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли система, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

29-30