Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-06-11 | 294 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При изучении нормального распределения было сформулировано следующее утверждение: если случайные величины x1, x2, …, x n независимы и нормальны с одними и теми же (а, s), то сумма x1 + x2 + … + x n также нормальна. Оказывается справедливо гораздо более глубокое утверждение: если случайные величины независимы и имеют один и тот же закон распределения (неважно какой), то при достаточно большом числе слагаемых сумма x1 + x2 + … + xn приближенно нормальна. Это утверждение называется центральной предельной теоремой теории вероятности.
Приведем строгую формулировку этой теоремы.
Рассмотрим бесконечную последовательность независимых случайных величин x1, x2, …, x n , … с одним и тем же законом распределения, в частности, с одними и теми же параметрами (а, s).
Сумма первых n случайных величин
x1 + x2 + … + x n (38)
имеет числовые характеристики
M = na, D = n s2 СКО=s . (39)
Обозначим Fn (х) функцию распределения случайной величины (38). Поставим вопрос: как меняется Fn (х) при неограниченном возрастании числа слагаемых?
Функция распределения нормальной случайной величины с числовыми характеристиками (39) имеет вид (см.§5 главы 4)
,
где Ф (х) – функция Лапласса. Справедлива
Теорема. В указанной ситуации имеет место соотношение
при n ® ¥.
Практически это означает: при достаточно большом числе слагаемых сумма (38) независимых случайных величин с одним и тем же законом распределения с большой точностью подчинена нормальному закону с параметрами (na, s ) независимо от закона распределения слагаемых.
Пример. Определить вероятность того, что продолжи-тельность 100 производственных операций окажется в пределах от 77 до 82 ч., если среднее время одной операции 47,4с., а среднеквадратическое отклонение – 4,9 с.
|
решение. Обозначим через x i – случайную величину, равную продолжительности i- ой производственной операции, i = 1, 2, …, 100. Очевидно, по условию а = m = 47, 4 с.,
с. Обозначим через – случайную величину равную продолжительности 100 производственных операций, тогда = x1 + x2 + … + x100. По условию x i независимые и однотипные случайные величины, следовательно, из центральной предельной теоремы вытекает, что приближенно нормальна, , и по формуле (19) имеем
Р (77 · 60≤ ≤ 82 · 60) = Р (4620 ≤ ≤ 4920) =
Замечание 1. Эта теорема впервые была доказана в XIXв. немецким математиком Линдебергом. Позднее русским ученым А.М.Ляпуновым утверждение этой теоремы было значительно усилено: оказалось, что в ней требование одинакового закона распределения слагаемых не обязательно.
Приведем нестрогую формулировку теоремы Ляпунова: если случайные величины x1, x2, …, x n независимы и каждая из них не доминирует над остальными, то при достаточно большом числе слагаемых их сумма приближенно нормальна.
Наиболее общая формулировка центральной предельной теоремы была получена русским ученым С.Н.Бернштейном в 20-е годы ХХ века.
Замечание 2. Теорема Ляпунова объясняет причину широкого распространения нормального закона. Действи-тельно, в ряде случаев случайные величины представляют собой результат наложения большого числа независимых небольших случайных факторов. Например, на показание измерительного прибора влияет большое число случайных факторов: колебание температуры, влажность и плотность воздуха, небольшие погрешности при изготовлении и эксплуатации прибора и т. д. Эти факторы независимы и каждый из них не доминирует над остальными, поэтому в силу теоремы Ляпунова показания прибора с большой точностью является нормальной случайной величиной.
Замечание 3. Покажем, что приведенная §6 гл.1 формула Муавра-Лапласа (13) является следствием центральной предельной теоремы.
В §2 главы 5 было показано: число успехов в схеме Бернулли может быть представлено в виде суммы (38) независимых случайных величин (индикаторов) с одним и тем же законом распределения и числовыми характеристиками m=np, D=npq.
|
Из центральной предельной теоремы следует: при достаточно большом числе испытаний число успехов x в схеме Бернулли является с большой точностью нормальной случайной величиной с функцией распределения
.
Откуда получаем
Глава 6. Элементы математической статистики
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!