Принципы оценки адекватности и точности моделей

Какой бы сложной и полной не была модель, она тем не менее является приближенным отображение реального объекта и отражает его при определенных принятых допущениях. Однако до тех пор пока не доказана адекватность модели реальной обстановке, нельзя с уверенностью утверждать, что с ее помощью получается те результаты, которые действительно характеризуют функционирование исследуемого объекта. Оценка адекватности и точности математической модели любого типа, в том числе и имитационной, является важнейшей задачей моделирования, так как любые исследования на неадекватной модели теряют смысл.

С ростом адекватности и точности модели возрастают как ее стоимость, так и ценность для исследования, в связи с чем приходится решать вопрос о компромиссе между стоимостью модели и последствиями ошибочных решений из-за ее неадекватности исследуемому процессу. Поэтому на практике построение модели представляет собой итеративный процесс усовершенствования системы моделей, а следовательно, и исследования объекта до тех пор, пока это считается разумным. Поэтому и оценка адекватности и точности модели представляет собой непрерывный процесс, начинающийся с началом исследования. Правильность построения модели может быть проверена только на практике за счет повторения цикла «построение модели – проверка модели».

Следует отметить, что понятие адекватности модели не имеет качественного измерения: модель либо адекватна явлении., либо не адекватна (естественно, сточки зрения выносящего суждение – заказчика). Говорить о количественной оценке точности перехода от концептуальной модели к математической. Правомерно говорить лишь о количественной оценке точности реализации на ЭВМ заданной и адекватной объекту математической модели. При этом, естественно, предполагается, что программа, реализующая вычисления по математической модели, не содержит ошибок, исходные данные введены в машине правильно, а ЭВМ в процессе счета не имела сбоев в работе. Модель является достоверной, если ее концептуальная модель адекватна исследуемому процессу, математическая модель адекватна концептуальной, а точность реализации математической модели на ЭВМ соответствует заданной, т.е. погрешности расчета не превышают допустимых

Основные ошибки при формировании концептуальной модели следующие:

неправильный выбор критериев или ограничений;

введение в концептуальную модель несущественных факторов или отсутствие в ней ряда существенных факторов;

неучет ряда условий функционирования объекта;

неправильный выбор гипотез, положенных в основу структуры модели (например, по составу элементов объекта, связей между ними в процессе функционирования и т.п.).

Проверка адекватности концептуальной модели является достаточно сложной задачей, так как оценка принципов, положенных в основу модели, является субъективной. Лучшим методом проверки адекватности концептуальной модели является рассмотрение модели специалистами, не участвовавшими в ее разработке (экспертиза модели), так как они могут более объективно рассмотреть задачу и заметить слабые стороны модели, не замеченные авторами. Окончательное решение об адекватности концептуальной модели принимается только заказчиком, который при одобрении концепции одобряет тем самым все положенные в основу модели допущения.

Основные принципиальные ошибки при переходе от концептуальной модели к математической следующие:

структура математической модели не соответствует структуре концептуальной модели;

модель включает неверные математические соотношения.

По окончании разработки математической модели до начала программирования необходимая проверка адекватности должна дать ответ на вопрос, насколько используемые уравнения или моделирующий алгоритм отражает концептуальную модель. Если уравнения получены теоретическим путем, могут быть проведены вычисления в нескольких точках с целью определения приемлемости результатов. Дополнительная проверка уравнений состоит в анализе размерностей. Необходимо убедиться, что все единицы измерения применены в соответствии с физическим смыслом, масштабирование и согласование размерностей в уравнениях проведено правильно. Кроме того, обязательными являются проверка результатов в условиях, когда факторы модели принимают предельные значения.

При переходе от концептуальной модели к математической для формализации описания явлений используются линеаризация, аппроксимация, интерполяция, причем каждый метод вносит определенные погрешности. Если уравнения выведены на основании анализа эмпирических данных, необходимо провести выборочную проверку согласия с опытными данными. При этом могут быть использованы статистические выборки для оценки средних значений и дисперсий, дисперсионный, регрессионный, факторный и спектральный анализ, автокорреляция, метод проверки с помощью критерия « -квадрат» и непараметрические проверки. Так как каждый из этих статистических методов основан на некоторых допущениях, то при их использовании возникают вопросы, связанные с оценкой их адекватности.

Решение об адекватности математической модели по отношению к концептуальной также принимается только заказчиком, который тем самым разрешает исследователю перейти к этапу реализации математической модели на ЭВМ.

Оценка точности математической модели представляет одну из наименее исследованных методологических проблем в теории моделирования. Рассмотрим, например, измерение погрешности при изготовлении детали. Если x_и – размер детали на чертеже (идеальный размер), а х_Ф – фактический размер изготовленной детали, то абсолютная погрешность изготовления рассчитывается по формуле

. (4.7)

Заметим, что определить погрешность можно после изготовления детали.

Заказчика интересует, насколько результаты моделирования могут отличаться от того, что он получает на практике, реализуя полученные на модели рекомендации. При этом погрешность модели для него характеризуется выражением, аналогичным (4.7):

, (4.8)

где x_Ф – фактический результат, полученный в производстве после внедрения рекомендаций модели; x_М – «теоретический» результат, т.е. полученный при расчетах по математической модели.

Однако оценка (4.8) может быть получена заказчиком только после того, как рекомендации модели внедрены. А если модель неправильна или велика ошибка? Естественно, что заказчик хотел бы до внедрения рекомендаций, полученных на модели, убедиться в том, что им можно доверять, что они характеризуются приемлемой для него погрешностью, т.е. определить величину до реализации результатов моделирования.

Но тогда , где x_И – результат. Полученный на «идеальной» математической модели, т.е. модели, не имеющей погрешности. В качестве «идеальной» математической модели может быть принята адекватная концептуальной и утвержденная заказчиком математическая модель исследуемого процесса до ее реализации на ЭВМ.

Обычно точность реализации математической модели на ЭВМ рассматривают через совокупность различного рода погрешностей.

Если классифицировать погрешности реализации «идеальной» модели на ЭВМ с точки зрения причин их возникновения (в качестве наиболее общего случая рассмотрим имитационное статистическое моделирование), можно выделить четыре их вида:

1) погрешности моделирования, являющиеся результатом незнания или неточного задания исходных даны;

2) погрешности моделирования, возникающие при упрощении исходной математической модели;

3) погрешности расчета выходных характеристик из-за дискретной реализации математической модели на используемой цифровой вычислительной машине, в том числе ошибки округления;

4) погрешности моделирования, обусловленные ограниченностью статистики при выборочной обработке статистической информации или ограниченным числом случайных испытаний модели на ЭВМ (имитации).

Как правило, погрешности моделирования представляют собой сумму систематических (неслучайных) и случайных ошибок. Рассмотрим отдельные группы погрешностей.