Необходимые условия для применения оптимизационных методов

Для того чтобы использовать математические результаты и чис­ленные методы теории оптимизации для решения конкретных инже­нерных задач, необходимо установить границы подлежащей опти­мизации инженерной системы, определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», осуществить выбор внутрисистемных пе­ременных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов, и, наконец, построить модель, отра­жающую взаимосвязи между переменными. Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи ин­женерной оптимизации. Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой. Искусство постановки задач постигается в практической деятельности на при­мерах успешно реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особен­ностей различных методов теории оптимизации.

Определение границ системы

Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. Границы системы задаются пределами, отделяю­щими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение гра­ниц системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границы является слишком жестким. Для более полного анализа данной инженерной системы может возникнуть необходимость рас­ширения установленных границ системы путем включения других подсистем, оказывающих существенное влияние на функционирова­ние исследуемой системы. производственного цеха. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, следовательно, в значи­тельной мере затрудняет ее анализ. Очевидно, что в инженерной практике следует, насколько это возможно, стремиться к разбиению больших сложных систем на относительно небольшие подсистемы, которые можно изучать по отдельности. Однако при этом необхо­димо иметь уверенность в том, что такая декомпозиция не приведет к излишнему упрощению реальной ситуации.

Характеристический критерий

Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы вы­явить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса про­изводства изделия, максимизировать темпы производства, миними­зировать количество потребляемой энергии, максимизировать ве­личину крутящего момента, максимизировать нагрузку и т. п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, «наилучшему» варианту всегда соответствует минимальное или мак­симальноезначение характеристического показателя качества функ­ционирования системы.

Важно отметить, что независимо от содержания оптимизацион­ных методов, рассматриваемых в настоящей книге, только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может ис­пользоваться при определении оптимума, так как невозможно по­лучить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Здесь мы опять сталкиваемся с существенным упрощением реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось «наи­лучшим» с позиций нескольких различных критериев.

1. Один из путей учета совокупности противоречивых целевых уста­новок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в ка­честве первичного, тогда как остальные критерии считаются вто­ричными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые уста­навливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения.

Критерии не могут быть реализованы при оптимизации одновременно. Приемлемым компромиссом явля­ется выбор в качестве первичного характеристического показателя качества функционирования системы подлежащего минимизации показателя суммарных затрат в единицу времени с последующим учетом необходимых вторичных условий, к числу которых отно­сится поддержание объемов складских запасов изделий всех видов в заранее установленных границах,, а также ограничение количества изменений в ассортименте изделий и используемых красок в тече­ние недели.

Независимые переменные

На третьем основном этапе постановки задачи оптимизации осу­ществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функциони­рования системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств.

Во-первых, необходимо провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазо­не, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами. Важно провести различие между теми параметрами сис­темы, которые могут предполагаться постоянными, и параметрами, которые подвержены флуктуациям вследствие воздействия внешних или неконтролируемых факторов.

Во-вторых, при постановке задачи следует учитывать все основ­ные переменные, которые влияют на функционирование системы или качество проекта. Независимые переменные должны выбираться таким образом, чтобы все важней­шие технико-экономические решения нашли отражение в формули­ровке задачи.

Еще одним существенным фактором, влияющим на вы­бор переменных, является уровень детализации при исследовании системы. Очень важно ввести в рассмотрение все основные незави­симые переменные, но не менее важно не «перегружать» задачу боль­шим количеством мелких, несущественных деталей. При выборе независимых переменных целесооб­разно руководствоваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те переменные, которые оказывают суще­ственное влияние на характеристический критерий, выбранный для анализа сложной системы.

Модель системы

После того как характеристический критерий и независимые переменные выбраны, на следующем этапе постановки задачи необ­ходимо построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием. В принципе оптимизационное исследование можно про­вести на основе непосредственного экспериментирования с системой.

Для этого следует зафиксировать значения независимых внутри­системных переменных, реализовать процедуру наблюдения за функционированием системы в этих условиях и оценить значение характеристического показателя качества функционирования систе­мы, исходя из зарегистрированных характеристик. Затем с помощью оптимизационных методов можно скорректировать значения неза­висимых переменных и продолжить серию экспериментов. Однако на практике оптимизационные исследования проводятся, как пра­вило, на основе упрощенного математического представления сис­темы, которое носит название модели.Применение моделей обуслов­лено тем, что эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени, а также в ряде случаев оказываются связанными с риском. Модели широко используются при инженерном проектировании, поскольку это открывает воз­можности для реализации наиболее экономичного способа изучения влияния изменений в значениях основных независимых переменных на показатель качества функционирования системы.

В самом общем представлении структура модели включает ос­новные уравнения материальных и энергетических балансов, соот­ношения, связанные с проектными решениями, а также уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе. Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые определяют область допустимых значений независимых переменных, позволяют определить требования, накладываемые на верхние или нижние границы изменения характеристик функционирования системы, и установить лимиты имеющихся ресурсов. Таким образом, элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженер­ной системы. Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы. В общем случае модель представляет собой некоторый набор уравнений и неравенств, которые определяют взаимосвязь между переменными системы и ограничивают область допустимых изменений пере­менных.