Глава 3. Численное моделирование гидродинамики и сопряжённого теплообмена при направленной кристаллизации кремния

Для выращивания mc-Si методом Бриджмена служили тигли из стеклоуглерода, который ввиду его химической стойкости [10,94] практически не ограничивает продолжительность процесса в вакууме ~10^{-3 мм}.рт.ст. Тигель с толщиной стенки 2 мм, имеющий объёмом 620 мл и форму усечённого конуса, вставляется в графитовый держатель толщиной 8 мм. Загруженный кремний на стадии плавления и гомогенизации расплава вначале выдерживали в верхней зоне резистивного графитового нагревателя (рис. 19) с постоянной температурой, а, затем, медленно опускали через зону с линейно снижающейся температурой [102,103] (рис. 20, 21). При этом начинается охлаждение расплава со дна тигля, и при достижении на дне тигля температуры кристаллизации кремния происходит зародышеобразование и дальнейший рост кристалла. Измерение осевого температурного профиля и контроль температуры нагревателя проводили с помощью вольфрам-рениевой термопары WR-5/20.

 

 

Рис. 19. Вид графитового нагревателя без системы вертикальных и горизонтальных экранов (а) и находящийся внутри тигель с расплавом на нижнем штоке (б).

 

Рис. 20. Осевой температурный профиль пустого тигля в тепловом поле нагревателя: на установке с осевым градиентом теплового узла 5 ⁰C/см [103].

 

Рис. 21. Осевой температурный профиль пустого тигля в тепловом поле нагревателя: на установке с осевым градиентом теплового узла 15 ⁰C/см [104].

При постановке задачи учитывалось, что:

1) В дополнение к термогравитационной конвекции на перенос оказывает влияние конвекция обусловленная вращением, применяемым для выравнивания внешнего теплового поля, и возникающей разницей температур на свободной поверхности расплава (термокапиллярный эффект). Исключение из рассмотрения действия термокапиллярной конвекции сделано на основе сравнения результатов работ по численному моделированию [103] и [104]. Показано, что вблизи фазового перехода она не меняет интересующие нас локальные особенности структуры течения, если не рассматривать конечную стадию процесса.

2) В методе вертикально направленной кристаллизации при вращении системы тигель-расплав-кристалл задачу можно рассматривать в осесимметричной постановке.

Система уравнений термогравитационной конвекции решалась в приближении Обербека-Буссинеска (пренебрежение зависимостью коэффициентов переноса - кинематической вязкости, температуропроводности, диффузии от температуры, давления и состава). Справочные данные по теплофизическим свойствам материалов взяты постоянными при средней температуре. Для расплава кремния: теплопроводность λ = 42,9 Дж/(м·с·К); плотность ρ = 2550 кг/м³; теплоёмкость С_Р=1099,95 Дж/(кг·К); коэффициент объемного расширения β=6,68·10^-5 1/К; кинематическая вязкость ν = 3,48 10^-6 м²/с; температуропроводность a = 1,53 10^-5 м²/с; коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,74 Н/м, -10^-4Н/(м·К); теплота кристаллизации L = 1,1053152·10⁶ Дж/кг. Для твёрдого кремния: теплопроводность λ = 30,15Дж/(м·с·К); плотность ρ = 2550 кг/м³; теплоёмкость С_Р=714 Дж/(кг·К); температуропроводность a = 1,656 10^-5 м²/с. Для материала тигля (графит МПГ-1-6): теплопроводность λ = 95Дж/(м·с·К); ρ = 1820 кг/м³; теплоёмкость С_Р= 710 Дж/(кг·К). Для аргона: теплопроводность λ = 0,055Дж/(м·с·К); плотность ρ = 1,5711 кг/м³; теплоёмкость С_Р= 521,8428 Дж/(кг·К); температуропроводность a = 6.7084·10^-5 м²/с.

Метод вертикально направленной кристаллизации разрабатывался, исходя из предположения, что, охлаждая контейнер с расплавом со дна, можно подавить свободную (термогравитационную или гравитационно-капиллярную - в зависимости от состояния верхней границы расплава) конвекцию и обеспечить условия роста кристалла в диффузионном режиме (в режиме нестационарной теплопроводности) с плоским фронтом кристаллизации. Тем не менее, тигель имеет большую теплопроводность, чем расплав, и по его стенке в направлении дна идёт больший тепловой поток (на единицу площади), чем через расплав кремния. Таким образом в системе возникает радиальный градиент температуры, из-за которого развивается и захватывает весь объём конвективное течение торообразной структуры (рис. 22).

Рис. 22. Форма течения при термогравитационной конвекции с симметрией относительно вектора силы тяжести.

Для упрощения расчётов рабочий тигель представлен как цилиндрический контейнер из графита марки МПГ-6-1 с одинаковой толщиной стенок и дна (10 мм), заполненный расплавом кремния до заданного уровня. Изменением плотности кремния при переходе из одного агрегатного состояния в другое пренебрегали и полагали, что совокупный объем закристаллизовавшегося кремния и расплава постоянен и не меняет своей геометрии.

Температура в верхней части нагревателя определяет начальный перегрев расплава относительно температуры плавления, составляющий приблизительно 40К. Процесс опускания тигля через зону с постоянным градиентом температуры заменялся равноценным процессом прохождения градиента температуры через неподвижный тигель с кремнием. На рис. 23 показана схема расчётной области системы тигель-расплав-кристалл.

 

Рис. 23. Схема расчётной области. Области: Ω₁ - графитовый тигель, Ω₂ – жидкий кремний (L), Ω₃ – твердый кремний (S), Ω₄ – вакуумная прослойка. Границы области: 1- ось вращения тигля, 2- наружное дно тигля, 3- внешняя боковая стенка тигля, 4- внешняя поверхность крышки тигля.

 

Конвективный теплообмен в расплаве описывается уравнениями Навье-Стокса, энергии и неразрывности, которые в переменных температура – функция тока – окружная скорость – вихрь сводятся в лабораторной системе координат к системе, содержащей также уравнение теплопроводности, решаемое для областей Ω₁, Ω₂, Ω₄:

(14)

 

Функция тока и вихрь связаны с компонентами скорости следующим образом:

(15)

В постановке задачи область Ω₄ заполнена аргоном, в которой перенос тепла осуществляется за счёт теплопроводности. Внешняя часть крышки тигля является теплоизолированной:

(16)

На границах раздела сред тигель-расплав, тигель-кристалл, тигель-газ, расплав-газ, кристалл-газ заданы условия идеального теплового контакта, т.е. на указанных границах температура и тепловой поток являются неразрывными:

(17)

Специфика термогравитационной конвекции при вращении связана с действием сил инерции – силы Кориолиса и центробежной силы (гравитационно-центробежная конвекция). В действительных жидкостях всегда имеет место прилипание к стенкам, что значительно влияет на картину линий тока, а равномерное вращение тигля передаётся расплаву через вязкий тонкий слой [105]. Внутри этого слоя сила Кориолиса уравновешивается силой вязкого трения. Кроме того, ввиду высокой химической и термической стойкости стеклоуглерода к расплаву кремния, мы можем говорить о «непротекании» жидкого кремния через стенки. Таким образом, на внутренних стенках тигля для расплава (Г₁₂) задаются условия равенства нулю осевой и радиальной компонент скорости, из чего следует:

(18)

Аналогичные условия заданы и на границе кристалл-расплав (Г₂₃).

На внутренней поверхности стенок тигля заданы следующие условия для вихря:

(19)

где R_C – внешний радиус тигля, L_C–толщина стенок и дна тигля, Н – высота расплава в тигле. На границе кристалл-расплав условия для вихря имеют вид:

(20)

Будем считать, что на свободной границе расплава Г₂₄ трение отсутствует, а сама граница является плоской и недеформируемой, откуда следует:

(21)

На границе раздела кристалл-расплав Г₂₃ задаются условия Стефана, т.е. неразрывность температуры и тепловых потоков с учетом выделения тепла фазового перехода на фронте:

(22)

где V_Г23 – скорость по нормали к фронту, L – удельная скрытая теплота фазового перехода.

На внешней стороне дна тигля температура линейно падает со временем:

, (23)

где V_c – скорость опускания тигля, T^* - температура в горячей зоне, k – градиент температуры на внешней стенке тигля.

На внешней части боковой стенки тигля температура определяется следующим образом:

(24)

где Н_С – высота тигля.

На оси симметрии задаются следующие условия:

(25)

В начальный момент времени температура во всей системе постоянна и равна температуре в горячей зоне печи, конвективные течения отсутствуют:

(26)

При решении задачи использовалась обобщенная формулировка задачи Стефана, в которой условия (22) включаются в уравнение теплопроводности системы (14), а граница раздела фаз явно не присутствует и при необходимости идентифицируется как изотерма, температура на которой равна температуре фазового перехода. Учет теплоты фазового перехода эквивалентен заданию эффективной теплоёмкости [106]:

; (27)

где T_s – температура фазового перехода. Для аппроксимации δ – функции использовались следующие выражения:

(28)

Значение параметра Δ подбиралось эмпирически, путем последовательного уменьшения начального значения параметра в два раза до тех пор, пока значение Δ не переставало оказывать влияние на решение задачи. Для решения системы (14) с учетом уравнения (27) использовался метод конечных элементов. В качестве базисных функций были взяты линейные функции на треугольниках. Поскольку метод конечных элементов требует того, чтобы каждому конечному элементу соответствовало только одно агрегатное состояние, то по мере продвижения фронта кристаллизации, а, следовательно, изменения геометрии областей соответствующих слитку кремния и расплаву, сетка перестраивалась таким образом, чтобы границы, разделяющие области с разными агрегатными состояниями всегда проходили по ребрам треугольников. Среднее число элементов в сетке – 20200, среднее число узлов – 10500. На данном этапе исследований параметры алгоритма подбирались эмпирически таким образом, чтобы получившиеся треугольники были как можно ближе по форме к равносторонним треугольникам.

Численное моделирование процесса выращивания кремния методом Бриджмена было проведено Антоновым П.В. и Бердниковым В.С. в Институте теплофизики СО РАН (Новосибирск).