Глава 9. Тормозное излучение

 

Тормозным обычно называют излучение, возникающее при пролете одной заряженной частицы мимо другой (столкновении двух частиц), если налетающая частица после соударения остается свободной - не захватывается второй частицей. Поэтому в астрофизике переходы, сопровождаемые испусканием квантов тормозного излучения, носят название свободно-свободных переходов, в отличие, например, от свободносвязанных (рекомбинационных) переходов, которые ведут к захвату электрона ионом.

При столкновениях частиц с существенно различной массой (электрона и иона) более тяжелую частицу можно считать неподвижной. Тогда тормозное излучение возникает за счет потери энергии электрона. Энергия испускаемого кванта  заведомо не превышает на­чальной кинетической энергии электрона e_kin. Это ограничивает широкий спектр тормозного излучения максимальной частотой w_max:

.                                                                                              (9.1)

Максимальное изменение De кинетической энергии электрона в кулоновском поле иона наступает в момент наибольшего сближения частиц на расстояние r_min~ r , где r — прицельный параметр при столкновении (прицельный параметр — наименьшее расстояние, на которое приблизились бы взаимодействующие частицы при условии сохранения прямолинейности своих траекторий).

 На расстоянии r_min потенциальная энергия электрона в кулоновском поле иона с зарядом Ze составит Ze²/r_min . Если изменение потенциальной энергии De~ Ze ² / r_min станет сравнимым с исходным значением кинетической энергии e _kin, то это определяет "эффективные" столкновения, в которых:

~ ~ ~ .                                                                                   (9.2)

Это соотношение записано для нерелятивистского электрона с начальной скоростью .

Расчет тормозного излучения нерелятивистского электрона, дви­жущегося по "классической" траектории со скоростью , суще­ственно упрощается на низких частотах, удовлетворяющих условию:

,                                                      (9.3)

где тормозное излучение становится дипольным: длина электромагнитных волн этих частот велика по сравнению с характерными размерами системы "электрон-ион" в момент столкновения (~ r_min). Ясно, что энергия излучения будет зависеть от ускорения электрона в поле иона. В итоге спектральная энергия, излученная в единичном интервале частот при одном столкновении, будет равна (см., например, Теория поля Ландау и Лившица):

.                                                                                           (9.4)

Здесь - фурье-компонента разложения дипольного момента си­стемы "электрон-ион" . Заметим, что в изотропной среде с показателем преломления n(w) энергия тормозного излуче­ния в дипольном приближении на фактор n(w) отличается от за­данной формулой (9.4). В магнитоактивной плазме выражения для e _w становятся более сложными.

Из формулы (9.4) следует, что при столкновении двух одинаковых нерелятивистских частиц (скажем, двух электронов) дипольного тор­мозного излучения не возникает. Дипольный момент системыиз двух электронов есть , где — радиус-вектор центра масс системы. Если на последнюю внешние силы не действуют, то =0 и  =0. Вот почему для нерелятивистских частиц имеет смысл говорить глав­ным образом о тормозном излучении при столкновениях разных частиц и, прежде всего, электронов и ионов (или ядер). В то же время тормозное излучение при взаимодействии тяжелых частиц тоже будет слабым - из-за малости ускорения, испытываемого ими при ударе.

Спектральная энергия тормозного излучения существенно зависит от величины прицельного параметра q . В то же время при решении конкретных проблем излучения космической плазмы обычно предста­вляет интерес не излучение при соударениях двух частиц, а излу­чение целого ансамбля частиц, испытывающих соударения с различными прицельными параметрами. Поэтому с точки зрения прило­жений важно знать не e _w , а эффективную спектральную мощность излучения - результат усреднения e _w по различным значениям при­цельного параметра:

.                                                                                             (9.5)

Нетрудно видеть, что представляет собой спектральную мощность тормозного излучения потока частиц (с единичной плотностью по­тока) при соударениях с одной фиксированной частицей.

Проведем приближенный вывод соответствующих формул, используя приближение далеких прохождений электрона, когда его траектория лишь слегка отклоняется от прямой. Для тормозного излучения разреженной плазмы в радиодиапазоне эти приближения дают удовлетворительную точность.

Обозначим через  величину электрического поля излучаемой волны. Ее компонента , соответствующая излучению с частотой , получается разложением  в интеграл Фурье:

.

В предельном случае низких частот можно полагать 2 p ft <<1 и тогда:

.

Отсюда следует, что не зависит от частоты. Используем векторный потенциал:

.

Тогда:

,

где  есть изменение векторного потенциала  за время пролета электрона в поле иона. Пусть R – радиус сферы, за пределами которой ускорением электрона можно пренебречь.  и - значения  на границах сферы. Используем известное соотношение , где - скорость электрона. Тогда имеем:

.

Рис. 9.1 Пояснение обозначений к пролету электрона относительно иона.

 

Определим теперь изменение скорости электрона, используя приближение слабого отклонения его траектории от прямой. Ускорение электрона в поле иона с зарядом Ze:

,                                                                                                 (9.8)

где - прицельное расстояние. Время взаимодействия электрона с ионом приближенно вычислим исходя из того, что эффективное взаимодействие происходит на отрезке пути , то есть равно . Тогда имеем из (9.8):

,

или:

.

Заметим, что как вектор , так и вектор  лежат в плоскости, проходящей через ион и траекторию электрона. Поэтому излучение одного элементарного акта столкновения линейно поляризовано.

Пусть  - компонента вектора поперечного электрического поля для излучения идущего под углом  к линии минимального расстояния от иона до траектории электрона (так как вектор  направлен приблизительно по радиусу).  - полная плотность энергии в этой волне (  соотносит плотность энергии к единичному телесному углу). Поток электромагнитной энергии через сферу радиуса R во всех направлениях при одном столкновении . Двойка учитывает две компоненты  и . Тогда, учитывая, что , получим:

.

Для вычисления коэффициента излучения необходимо проинтегрировать эту формулу по всем зарядам с разными и . Для коэффициента, рассчитываемого на единичный телесный угол, теперь имеем:

,

где - функция Максвелла. Здесь учтено, что  есть число столкновений в единицу времени с предельным расстоянием от r до r+dr и со скоростью . В результате имеем:

,

где . ( )                                                     (9.9)

В рамках рассмотренного здесь приближенного расчета можно дать следующую оценку параметров  и . Заметим, что точное определение их значений не очень существенно, поскольку они входят в (9.9) под знак логарифма. Траектория электрона мало отличается от прямой, если его кинетическая энергия много больше потенциальной.. Возьмем  таким, где кинетическая энергия электронов ( ) порядка потенциальной:

.

Максимальная частота излучения определяется длительностью импульса (частота Найквиста), то есть (вспоминая, что ) . Отсюда . Более точный расчет приводит к появлению под знаком логарифма добавочных численных множителей близких к единице:

, где .

При больших скоростях (высоких температурах) параметр  уменьшается. Однако на очень малых прицельных расстояниях следует учитывать квантомеханические эффекты. Таким образом, прицельные расстояния снизу ограничены длиной волны де Бройля: . В итоге получаем:

                                                                         (9.10)

Формулу (9.10) следует применять, если:

Надо подчеркнуть, что во всех приведенных в этом разделе фор­мулах не учитывалось влияние окружающей среды (плазмы) на тор­мозное излучение. Это влияние имеет двоякий характер. С одной стороны, присутствие плазмы меняет вид электростатического поля: потенциал иона (или ядра) существенно отличается от кулоновского и резко убывает по величине на расстояниях r > D от данного заряда (дебаевское экранирование). Это экранирование, очевидно, не изменит приведенных результатов, если дебаевский ра­диус D>>r_min, определенного формулой (9.2). В случае r_min > D оценку  можно получить, положив верхний предел интегрирования по прицельным параметрам в (9.5) равным D. Для точного расчета тормозного излучения в этом случае необходимо заново рассчитать e _w с учетом дебаевской формы потенциала заряженной частицы в плазме. С другой стороны, отличие показателя преломления в плазме от единицы меняет спектр тормозного излучения. Это изменение легко учесть, если плазма изотропна, а тормозное излучение имеет дипольный характер: спектр будет ограничен снизу ( w > w _L ), а мощность излучения  равна вакуумному значению, умноженному на показатель преломления электромагнитных волн n ( w ).

Глава 10. Циклотронноеизлучение

Когда электрон движется под углом к магнитному полю , его траектория представляет собой винтовую линию с осью вдоль поля. Проекция этой винтовой линии на плоскость, ортогональную , есть окружность. Частота вращения электрона по этой окружности совпадает с релятивистской гирочастотой W_B. Характер излучения электрона при движении по винтовой линии радикально отличается от излучения при прямолинейном движении: наряду с тормозным излучением появляется магнитотормозное излучение, которое существует не только в среде (как тормозное), но и в вакууме. Частоты излуче­ния при движении по винтовой линии в однородном магнитном поле представляют собой бесконечную совокупность гармоник с номерами s = ±1,±2,±3,...

Если излучающая частица - нерелятивистская (точнее, слаборелятивистская), т.е. если e_kin << mс², то ее магнитотормозное излучение называется циклотронным. Это излучение имеет дипольный характер. Если же, наоборот, электрон релятивистский (e_kin >> m_eс²), то его излучение называют синхротронным. Точнее, этот термин применяется к излучению электрона, чья скорость  составляет с направлением поля  питч-угол J >> m_ec ² / e. Излучение частиц с малыми питч-углами J << m_ec ² / e имеет другое название - релятивистское дипольное излучение. Случай J << m_ec ² / e выделен потому, что при переходе в систему отсчета А', где скорость поступательного движения релятивистского электрона вдоль магнитного поля  обращается в нуль, частица перестает быть релятивистской. В вакууме ее излучение в системе А' не отличается от обычного циклотронного; релятивистское дипольное излучение при этом высту­пает как циклотронное излучение, пересчитанное из А' в систему, движущуюся с релятивистской скоростью относительно последней. В промежуточной области умеренно-релятивистских энергий e ~ m _е с² магнитотормозное излучение называется гиросинхротронным.

Ускорение и торможение может быть вызвано магнитным полем. Рассмотрим движение электрона в магнитном поле. На электрон c зарядом   движущийся со скоростью   действует в магнитном поле   сила Лоренца:     

.               

Рассмотрим . Под действием силы   и     электрон движется по окружности. Радиус этой окружности - . Тогда траектория движения скорость и ускорение электрона в векторной форме имеют вид:

 или , .

Ускорение      и такой электрон излучает. Полная мощность, излучаемая электроном ~ (см. (9.4)). Тогда ( ,  ):

.

Электроны имеют среднюю скорость   и тогда  или более точно:

P_B= .

Рассмотрим спектральный состав магнитотормозного излучения.

Потенциал электрического поля от точечного заряда ~

От совокупности зарядов ~   Аналогично для потенциала магнитного поля . Если  и j возмущаются, то это возмущение в точке удаленной на  мы почувствуем через временной интервал , где  расстояние до наблюдателя. Поэтому потенциал магнитного поля в точке  будут выглядеть следующим образом:

,

где . Это так называемый потенциал Лиенара-Вихерта.

Рис. 10.1. К расчету расстояния от электрона к наблюдателю

 

Пусть r – расстояние электрона от центра вращения. Тогда имеем , где  - единичный вектор, направленный от центра к наблюдателю. При:

>>r , .                                                      (10.1)

Пусть   тогда электрон вращается по круговой орбите, и      периодическая функция с периодом:

Следовательно,  можно разложить в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда вычисляются по формуле:

,                                                                                     (10.2)

где  в общем виде есть:

а  и . В экспоненте в (10.2) используем , а в знаменателе положим . Тогда имеем, учитывая ,  (показатель преломления считается равным единице, и при единичном электроне не будем интегрировать по объему):

 

=

.

Пусть электрон вращается в плоскости (х,у), т.е.  и пусть .

Рис. 10.2. Используемая система координат

 

Учитывая соотношения:

         

(полагается, что вектор  лежит в плоскости xz под углом   к магнитному полю)

,

получим  , и тогда:

.       

– скорость электрона поперек магнитного поля, тогда:

Учитывая, что , получим:

.                                                                  (10.3)

Поскольку:

,

то:

.         

Соответственно и(см. 10.3):

,

а так как , то:

Поток энергии через площадку единичного размера в единичном телесном угле выражается через вектор Умова-Пойнтинга :

Для плоской волны  ~ ~ . Тогда имеем:

, .                                                                (10.4)

Так как , то:

.

Учтем, что , , , тогда:

,

,

,   

.                                          (10.5)

Так как (см. 10.4), то, умножая это выражение векторно на , получим:

, то есть ,

тогда  - поток энергии в плоской поперечной ( ) волне. Далее имеем (см. 10.5):

 

.

В результате, полагая , получаем известную формулу Шотта:

 .                                  (10.6)

Аргумент функций Бесселя

Рассмотрим излучение нерелятивистского электрона ( ). В этом случае излучение возникает на низких гармониках (малых ), и тогда . Тогда можно воспользоваться асимптотами функции Бесселя для малых аргументов:

.

Тогда            и:

.                                                             (10.7)

Так как    мало, то   уменьшается при росте .

Из (10.7) ясно, что в направлении  циклотронное излучение происходит лишь на гирочастоте ( ). Гармоники с  не излучаются. Причем излучение соответствует необыкновенной волне, т.е. в той волне, где электрический вектор вращается в ту же сторону, что и электрон в магнитном поле.

Для  диаграмма направленности характеризуется .