Понятие и виды коррел. и регресс. Задачи коррел. и регресс. ан-за

Понятие и виды коррел. и регресс. Задачи коррел. и регресс. ан-за

В эк-ке между явл. и проц. сущ. 2 вида завис-тей: функц-ная и статистич. 1-ая им. место тогда, когда на исслед. показатель действ. только рассматр. факторы.

В эк-ке между перемен. велич-ми сущ. завис., когда кажд. знач. одной переменной соответ. мн-во знач. др.перем-ой-статистич. завис-ть(стохастич., вероятностная).

В силу неодназнач. стат. завис-ти между Х и У интерес представ. завис-ть как независ. Х влияет на завис. переем. У «в среднем», т.е. завис-ть в измер. мат. ожид. случ. перемен. У, вычесл-го в предполож., что Х приним. знач. х-коррел. завис-ть, кот. можно опис. с пом. ф-ции регрессии У по Х: М(У/Х=х)=М(У/х)=Мх(У)=f(x) (1)

Зависим. перемен. У наз. объясняемой, выходной, эндоген.

Независ. перемен. Х наз. объясняющ., входной, экзаген.

При рассмотр. завис-ти двух случ. величин говор. о парн. завис-ти, а завис-ть мн. перемен. наз. множеств. регрессией М(У/х1,х2,…,хm)=f(х1,х2,…,хm)

Различ. след. виды регрессий:

1)простая (парная)-завис-ть между двумя перемен.

2)множеств.-завис-ть между завис. перемен. и неск. независ.перем.

3)линейн.-опис. лин. ф-цией

4)нелин.-опис. нелин.ф-цией

5)положит.-с увелич. или.сниж. независ. переем. соотв-но увелич. или сниж. зависимая

6)отриц.- с увелич. или.сниж. независ. переем. соотв-носниж.или увелич. зависимая

7)непосредств.-завис. и независ. перемен. связ. между собой

8)косвен.-независ. перем. действ. на завис.через др. переем.

9)ложная-строится, если между перем.отсутств. завис-ть

Задачи регресс. ан-за:

· уст. вида завис-ти между эк. перемен.

· опред. ф-ции регрессии

· опред. неизвест. знач.зависим.перемен.

Корр-ция тесно связ. с регрессией. Если в регресс. ан-зе исслед-ся форма завис-ти , то в коррел.-сила, степень этой завис-ти.

Задачи коррел. ан-за:

· измер. степени завис-ти 2или более эк-ких показат.

· отбор факторов, оказ-х наиболее сильн.влиян. на завис. перем.

· обнаруж. неизвест. завис-тей

 

Парн. лин. регресс.(ПЛР)

ПЛР- лин. ф-ция между усл. мат. ожид-ем М(У/хi) завис.перем. У и одной независ. переем.Х.

М(У/хi)=β0+β1хi, i=1͞,n, где хi-знач. независ. перем.в i-том наблюд. (1).

Для отраж. факта, что кажд. индивид. знач. уi отклон. от соответ. усл-го мат.ожид.,в формулу (1) необход. ввести случ. слог.εi: уi=М(У/хi)+εi=β0+β1xi+εi, i=1͞,n – теоретич. регресс-ная лин. модель.

β0 и β1- теоретич. коэф.регрес.

εi- теор. случ. отклон.

В общ. виде теор. лин. регресс. модель можно запис.: У=β0+β1Х+ε

По выборке огранич. объема (хi;уi), i=1͞,n можно постр. эмпирич. ур. регресс.:у͞i=в0+в1хi, i=1͞,n,(2) где уi͞͞-оценка усл-го мат. ожид.-М(У/хi), в0 и в1-оц-ки теор. коэф.регрес., кот. наз.эмпирич. коэф-ми => уi=у͞i +ei, i=1͞,n,(3) где еi – оц-ка случ. отклон. εi.

Поскольку генер. сов-ть практич. всегда неизвестна, то оценен. парам. в0 и в1 практич. всегда отлич. от истин. знач. β0 и β1. (рис). Задача сост. в том, чтобы по конкрет. выборке найти такие в0 и в1, чтобы построен. линия регрессии явл. бы наилучш. среди всех др.прямых, т.е. была наиближ. ко всем наблюд. по их сов-сти.

 

М-д наим. квадратов.

Для нахождения b₀ и b₁ м. использовать несколько м-дов: МНК, м-д моментов, max-го правдоподобия.

Согласно МНК эмпирические коэф-ты регр. b₀ и b₁ опр-ются из того факта, что Σ квадратов расстояний эмпирич. Знач-ий зав-мой перем-ой y_i от расч. знач-ий y_i^ д.б. миним-ой.

Q(b₀,b₁)=Σ(i=1,n)(y_i-y_i^)²=Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)² → min

Необходимым условием существования min в ф-ии переем-ых явл. равенство 0 ее частных производных по неизвестным параметрам b₀ и b₁:

Знак с-мы.:δQ/δb₀=-2Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)=0

         δQ/δb₁=-2Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)x_i=0

δ(частная производная)

З.с.: Σb₀+Σb₁x_i=Σy_i

   Σb₀x_i+Σb₁x²_i=Σx_iy_i

З.с.: nb₀+b₁Σx_i=Σy_i

   B₀Σx_i+b₁Σx²_i=Σx_iy_i

Разделим все на n:

Для практич-х расчетов последние ф-лыприменять не рекомендуется, т.к. в них происх. округление данных.

Лучше ипольз-ть след. ф-лы:

b₁=(nΣx_iy_i-Σx_iΣy_i)/(nΣx²_i-(Σx_i)²)

b₀=(Σx²_iΣy_i-Σx_iΣx_iy_i)/(nΣx_i-(Σx_i)²).

 

Коэф-т корреляции

Перейдем к оценке тесноты коррел. зав-ти.

Подставим в знач. b₀ из b₀=yˉ-b₁xˉ в y_i^{^}=b₀+b_1xi, i=1,n.

Получим: y_i^{^}=yˉ-b₁xˉ+b₁x_i, y_i^-yˉ=b₁(x_i-xˉ), i=1,n

Коэф-т b₁ наз. коэф-том регрессии Y по X, кот. пок-ет насколько единиц в среднем изменяется переменная Y при изменении перем-ой X на 1ед.

В кач-ве пок-ля тесноты связи коэф-та регрессии b₁ использовать не рекоменд-ся, т.к. он зав-т от ед-ц измерения, поэтому д/оц-ки тесноты связи исп-ются ср. квадратич. отклон-ие.Коэф-т b₁ м. вычислить по ф-ле:

b₁=(xy^―-x^–y^–)/(x^2–-x^–2)=S_xy /S²_x, где S_xy=xy^―-x^–y^– – выборочная ковариация (совместное изменение).

S_x=√D=√(x^2–-x^–2) – выборочное ср. квадратич. отклонение.Тогда м. записать:

b₁=S_xy/(S_x·S_y)·S_y/S_x=r_xy(S_y/S_x), где r_xy=S_xy/(S_x·S_y) – выборочный коэф-т коррел., хар-ет тесноту лин. зав-ти м/д случ. величинами.Для практич. расчетов коэф-т коррел. лучше использ-ть ф-лу:

r_xy=(nΣx_iy_i-Σx_iΣy_i)/√(nΣx²_i-(Σx_i)²)·√(nΣy²_i-(Σy_i)²).

Коэф-т коррел. изменяется в пределах -1≤r_xy≥1

Если коэф-т кор. =0, то это зн., что случ. величины Х и У некоррелированные, если r_xy≠0, то тогда случ. величины Х и У наз. коррелировнные. Если r_xy=1 (строго), то в этом сл. говорят, что имеет место полная прямая коррел-я.

Если r_xy≠1 – полная обратная коррел.

Если 0<r_xy<1, то коррел. наз. положительной, это зн., что с возрастанием одной перем-ой вторая т-же возрастает.

Если -1<r_xy<0 – отрицательная.

Чем ближе коэф-т коррел. к ±1, тем сильнее лин. зав-ть.

Обратная модель.

Обратной моделью(гипербола) называется модель вида: У= β₀+ β₁ 1/Х + ε. Она сводится к линейной модели заменой 1/Х=Х*.

Данная модель применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную У к к некоторому пределу β₀. 

12. Множ.лин.регр-сия.Опред-е парам-в ур-ния регр-сии.  На люб.экон.показатель чаще всего оказыв.влияние не 1, а неск.факторов.В этом случ.вместо парной рассм-ся множеств.регр-ссия:М(Y/x₁,x₂…,x_m)=f(x₁,x₂,…,x_m). Ур-ние множ.регр-сии в общ.виде: Y=f(β,X)+ε, где β=( β₀, β₁,…, β_m)-вектор теоретич.коэф-тов,кот.нужно определить. X=(X₁,X₂,…,X_m)-вектор независ.переменных. Теоретич.лин.ур-ние множ.регр-сии имеет вид:Y= β₀+β₁X₁+β₂X₂+…+β_mX_m+ε или в кажд.конкр. случае: y_i= β₀+ β₁x_i1+β₂x_i2+…+ β_mx_im+ε_i, i= . Число степеней свободы для множ.лин.регр-сии: ѵ=n-m-1. Если n>m+1, то возник-ет необх-сть оценив-ния теорет.коэф-тов регр-сии. Будем исполь-ть метод наим.квадр-в.Должны выполняться предпосылки Гаусса-Маркова и еще 2 предпос-ки:а) отсутствие мультиколлинеарности,т.е. между независ.перемен-ми должна отсутсв-ть сильная лин.завис-сть b)случ.отклонения ε_i, i=  должны иметь норм.распред-ние ε_i ~ N(0,6). Истинные значения коэф-тов по выборке опред-ть невозможно, поэтому строится импирич.ур-ние регр-сии: Ŷ= b₀+b₁X₁+b₂X₂+…+b_mX_m. Для каждого наблюдения мы получим: y_i=ŷ_i+e_i, i= . Для нахождения оценок b₀,b₁,…,b_m исполь-ся ф-ция Q(b₀,b₁,…,b_m)= = →min. Дан.ф-ция-квадратичная. Необх.условие сущ-ния минимума-рав-во нулю всех ее частн.производных 

=-2 =0, i= =-2 x_ij=0, j= .

Статистика Дарбина-Уртсона

Прим-ся для анализа коррелируемости случ. отк-ний. Опр-ся по формуле:

Для больших значений n счит-ся, что  , тогда:

=

1 случай. Если , то , DW = 0

2 случай. , то , DW = 4

3 случай.

Т.к. абсолютн. значение случ. откл-ний в среднем одинаково, то:

Поэтому необходим. условием незав-ти случ. откл-ний явл-ся близость к 2 значения DW .

“Грубым” правилом можно считать отсутствия автокорр-ции, если 1,5<DW<2,5.

 

Степенная модель

Степенной моделью называетсямодель вида Y=β₀+β₁X+β₂X²+…+β_mX^m+ε.

Например, кубическая функция Y=β₀+β₁X+β₂X²+β₃X³+ε в микроэкономике моделирует зависимость издержек TC от объёма выпуска Q (рис. а).

Квадратичная функция (парабола) Y=β₀+β₁X+β₂X² +ε может отражать зависимость между объёмом выпуска Q и средними AC либо предельными MC издержками (рис. б), или между расходами на рекламу C и прибылью P (рис. в) и т.д.

 

 

                              

 

 

Модель является линейной относительно коэффициентов регрессии β₀, β₁,…β_m.

Следовательно, её можно свести к линейной регрессионной модели. Заменяя X на X₁, X² на X₂, X^m на X_m, получаем модель множественной линейной регрессии с m переменными X₁, X₂,….X_m:

Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+…+β_mX_m+ε.

23/Полулогарифмические модели.

Полулогарифмическими моделями называют модели вида:

lnУ=β₀+ β₁Х+ ε

У= β₀+ β₁ lnХ+ε.

Такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо определятьтемп роста или прироста каких-либо экономических показателей.

Лог-линейная модель.Рассмотрим зависимость У=У₀ (1+r)^t,

Где У₀ – начальная величина переменной У (начальный капитал), r – процентная ставка, У₁ – значение переменной У в момент времени t. Модель легко сводится к полулогарифмической модели:

lnУ= lnУ₀+ t ln(1+r). обозначим lnУ₀=β₀, ln(1+r)=β₁,тогда:lnУ_t=β₀+ β₁t+ ε_t.

случайное слагаемое ε_t – возможность изменения процентной ставки.

Заменой lnУ_t=У_t* полулогарифмическая модель легко сводится к линейной модели.

Коэф.β₁ имеет смысл темпа прироста переменной У по переменной Х,т.е.характеризует отношение относительного изменения У к абсолютному изменению Х. умножив β₁ на 100, получим процентное изменение переменной У. поэтому полулогарифмическая модель обычно используется для измерения темпа прироста экономических показателей.

Показательная модель

 Показательная модель: Y=β₀e^β1X

Важным её приложением является ситуация, когда анализируется изменение переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. В этом случае переменная X символически заменяется переменной t: Y= β₀e^β1t . Данная функция путём логарифмирования сводится к лог-линейной модели: lnY=lnβ₀+β₁t.

   В общем случае Y=β₀a^β1X , где а – произвольная положительная константа, а≠1.

Данная функция сводится к исходной вследствие тождества: a^β1X=e^β1Xlna.

Ряд экономических показателей моделируется через функции, являющиеся композицией перечисленных функции, что позволяет свести их к линейным. Например, производственная функция Кобба-Дугласа с учётом научно-технического рогресса:

Y=AK^aL^βe^γt               

Пролагарифмируем данную функцию, получим соотношение:

lnY=lnA+aLnK+βlnL+γt, которое сводится к линейному заменами. lnY=y, lnA=a, lnK=k, lnL=l

27 - Преобразование случайного отклонения

Как отмечалось ранее, для получения качественных оценок существенную роль играет выполнимость предпосылок МНК для случайных отклонений. Наиболее важные из них требуют, чтобы отклонение ε_i, являлись нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией ϭ², а также не коррелировали друг с другом: ε_i~N(0, ϭ²), cov(ε_i ,ε_j)=0 при i≠j, i,j=1,n. При невыполнимости указанных предпосылок оценки, полученные по МНК, не будут обладать свойствами BLUE-оценок.

В случаях, не требующих совокупного логарифмирования с аддитивным случайным членом, выполнимость предпосылок МНК имеет место, а следовательно, проблем с оцениваем не возникает.

Для описания возможных проблем со случайным отклонением воспользуемся степенной моделью Y=AX^β, выполнив её случайным членом. Рассмотрим три случая:

Y=AX^βe^ε (1)

Y=AX^βε (2)

Y=AX^β+ε (3)

Данные модели являются нелинейными относительно параметра β. Прологарифмировав каждое из этих соотношений, получим:

lnY=lnA+βlnX+ε   (4)

lnY=lnA+βlnX+lnε (5)

lnY=ln(AX^β+ ε)      (6)

 Использование (4) для оценки параметров в (1) не вызывает осложнений, связанных со случайным отклонением.

Преобразование (2) в (5) приводит к преобразованию случайных отклонений ε_i в ln ε_i . Использование МНК в (5) для нахождения BLUE-оценок параметров требует, чтобы отклонение v_i= ln ε_i, удовлетворяли предпосылкам МНК: v_i~ N(0, ϭ²). Но это возможно только в случае логарифмически нормального распределения СВ ε_i  с M(ε_i)=e^ ϭ²/2 и D(ε_i)= e^ ϭ²(e^ ϭ²-1) .

Логарифмирование соотношения (6) не приводит к линеаризации соотношения относительно параметров. В этом случае для нахождения оценок необходимо использовать определённые интерационные процедуры оценки нелинейных регрессий.

Таким образом, при использовании преобразований с целью нахождения оценок необходимо особое внимание уделять рассмотрению свойств случайных отклонений, чтобы полученные в результате оценки имели высокую статистическую значимость.

Метод ведущего критерия.

Этот метод явл.частным случаем метода последовательных уступок.В этом методе все критерии,кроме маиого важного,переводятся в разряд ограничений.

Умножив все критерии минимизации ф-ции на -1 и обозначив через ß=(ß2,ß3..ßк)нижние границы соотв.критериев,тогда модель задачи будет меть вид:

maxF(x)=f1(x)

fk(x)>=ßk, k=2,k

λi(x){<=,=,>=}bi,i=1,m

xj>=0,j=1,n

Будем решать задачу по к критериям:

max f₁ =  

max f₂ =  

min f_k =  , k=3,k

 ( ≤ , = , ≥ ) b_i , i=1,m

x_j ≥ 0, j=1,n

Запишем условия равенства относит.отклонений критериев от их экстримальн.значений.

= =…=

Рассмотрим 4 первых критерия. По условию задачи f₁ и f₂ максимизир-ся, а f₃, f₄-минимизир-ся. Проанализируем знач-я 2-х первых критериев.

Если  <0 и f^*₂<0 , то

>0 и >0 Если f₁^*>0 и f₂^*>0 , то  <0 и <0.

Поэтому в равенстве относит.отклонений этих критериев модуль абсолютных величин можно опустить. Тогда получим:

 =  => f₁-1= f₂-1Введем обознач: d₁=  , d₂ =  => d₁f₁-d₂f₂=0

Для критериев f₃, f₄ получим точно такое же уравнение, т.к. направления их оптимизации совпадают.Рассмотрим критерии с противоположными направлениями оптимизации f₁и f₃.Если f₁^*<0,

f₃^*<0, то  >0, <0. Если f₁^*>0, f₃^*>0, то <0, >0.

Поэтому при опускании знака модуль перед одним из выражений надопоставить «-». Получим: = -  => d₁f₁+d₃f₃=2

 Т.о., для нахождения компромиссного решения методом равных и наим. относ. отклонений необх. оптимизир-е критерии включить в число неизвестных задачи и к основным ограничениям добавить след. ограничения: d₁f₁-d₂f₂=0 – для всех f_k, кот. как и f₁ максимизир-ся; d₁f₁+d₃f₃=2 - для всех f_k, кот.

Расч. врем. парам. событ.

Ранн. срок совершен. событ. j – t _p(j) - самый ранн. момент врем., к к-му заверш. все предшеств. этому событ. раб.

Будем счит. t _p(1) =0, а все послед. ранн. срок. событ. будем опред-ть по ф-ле: ,  - множ. работ, вход. в j-ое событ.

Поздн. срок свершен. событ. i, - сам. поздн. мом-т врем, после к-го остает. ровно стольк. врем., скольк. надо для завершен. всех раб. след. за этим событ. , а все остав-ся определ разност. м/ду и длин максим из след путей ,  - множ. раб. выход. из i-го событ.

Резерв времен. соб i (R(i)) – разн-ть м/ду поздн и ранн срок. совершен. событ.:

 Все раб. событ., лежащ на крит. пути имеют нулев. резерв врем.

При расч времен парамет событ. удобно пользов. 4-х секторн схем .

1. В верхн сектор. проставл № событ.

2. Рассматр-ем событ. в порядке возрастан. № и считая, что t _p(1) =0. По ф-ле по входящ. в событ. раб. опр-ем и запис-ем в лев. сектор.

3. Перепис. в заверш. событ. число из лев. сект. в прав. и по обратн. №№ событ. по ф-ле  по выходн. раб. опр-ем . Там, где R(i)=0 – крит. путь.

Расч времен парам раб.

Ранн. срок нач. раб. i,j = ранн. сроку соверш. событ. i : .

Поздн. срок оконч. раб. i,j совпад. с поздн. срок соверш. событ. j: .

Ранн срок. оконч. раб. i,j будем назыв. сумму ранн. срока начал. раб. и его продол-сти.: .

Поздн. срок. начал. раб. i,j бу-м назыв. разн. м/ду поздн. окончан. данн. раб. и ее продолж-сть:

Полн. резер-м времен i,j наз-ся максим. возмож. запас врем., на к-рый можн. отложить нач. раб. или увелич. время ее выполнен. без увеличен. врем. (срока) выполнен. проект.: .

Понятие и виды коррел. и регресс. Задачи коррел. и регресс. ан-за

В эк-ке между явл. и проц. сущ. 2 вида завис-тей: функц-ная и статистич. 1-ая им. место тогда, когда на исслед. показатель действ. только рассматр. факторы.

В эк-ке между перемен. велич-ми сущ. завис., когда кажд. знач. одной переменной соответ. мн-во знач. др.перем-ой-статистич. завис-ть(стохастич., вероятностная).

В силу неодназнач. стат. завис-ти между Х и У интерес представ. завис-ть как независ. Х влияет на завис. переем. У «в среднем», т.е. завис-ть в измер. мат. ожид. случ. перемен. У, вычесл-го в предполож., что Х приним. знач. х-коррел. завис-ть, кот. можно опис. с пом. ф-ции регрессии У по Х: М(У/Х=х)=М(У/х)=Мх(У)=f(x) (1)

Зависим. перемен. У наз. объясняемой, выходной, эндоген.

Независ. перемен. Х наз. объясняющ., входной, экзаген.

При рассмотр. завис-ти двух случ. величин говор. о парн. завис-ти, а завис-ть мн. перемен. наз. множеств. регрессией М(У/х1,х2,…,хm)=f(х1,х2,…,хm)

Различ. след. виды регрессий:

1)простая (парная)-завис-ть между двумя перемен.

2)множеств.-завис-ть между завис. перемен. и неск. независ.перем.

3)линейн.-опис. лин. ф-цией

4)нелин.-опис. нелин.ф-цией

5)положит.-с увелич. или.сниж. независ. переем. соотв-но увелич. или сниж. зависимая

6)отриц.- с увелич. или.сниж. независ. переем. соотв-носниж.или увелич. зависимая

7)непосредств.-завис. и независ. перемен. связ. между собой

8)косвен.-независ. перем. действ. на завис.через др. переем.

9)ложная-строится, если между перем.отсутств. завис-ть

Задачи регресс. ан-за:

· уст. вида завис-ти между эк. перемен.

· опред. ф-ции регрессии

· опред. неизвест. знач.зависим.перемен.

Корр-ция тесно связ. с регрессией. Если в регресс. ан-зе исслед-ся форма завис-ти , то в коррел.-сила, степень этой завис-ти.

Задачи коррел. ан-за:

· измер. степени завис-ти 2или более эк-ких показат.

· отбор факторов, оказ-х наиболее сильн.влиян. на завис. перем.

· обнаруж. неизвест. завис-тей

 

Парн. лин. регресс.(ПЛР)

ПЛР- лин. ф-ция между усл. мат. ожид-ем М(У/хi) завис.перем. У и одной независ. переем.Х.

М(У/хi)=β0+β1хi, i=1͞,n, где хi-знач. независ. перем.в i-том наблюд. (1).

Для отраж. факта, что кажд. индивид. знач. уi отклон. от соответ. усл-го мат.ожид.,в формулу (1) необход. ввести случ. слог.εi: уi=М(У/хi)+εi=β0+β1xi+εi, i=1͞,n – теоретич. регресс-ная лин. модель.

β0 и β1- теоретич. коэф.регрес.

εi- теор. случ. отклон.

В общ. виде теор. лин. регресс. модель можно запис.: У=β0+β1Х+ε

По выборке огранич. объема (хi;уi), i=1͞,n можно постр. эмпирич. ур. регресс.:у͞i=в0+в1хi, i=1͞,n,(2) где уi͞͞-оценка усл-го мат. ожид.-М(У/хi), в0 и в1-оц-ки теор. коэф.регрес., кот. наз.эмпирич. коэф-ми => уi=у͞i +ei, i=1͞,n,(3) где еi – оц-ка случ. отклон. εi.

Поскольку генер. сов-ть практич. всегда неизвестна, то оценен. парам. в0 и в1 практич. всегда отлич. от истин. знач. β0 и β1. (рис). Задача сост. в том, чтобы по конкрет. выборке найти такие в0 и в1, чтобы построен. линия регрессии явл. бы наилучш. среди всех др.прямых, т.е. была наиближ. ко всем наблюд. по их сов-сти.

 

М-д наим. квадратов.

Для нахождения b₀ и b₁ м. использовать несколько м-дов: МНК, м-д моментов, max-го правдоподобия.

Согласно МНК эмпирические коэф-ты регр. b₀ и b₁ опр-ются из того факта, что Σ квадратов расстояний эмпирич. Знач-ий зав-мой перем-ой y_i от расч. знач-ий y_i^ д.б. миним-ой.

Q(b₀,b₁)=Σ(i=1,n)(y_i-y_i^)²=Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)² → min

Необходимым условием существования min в ф-ии переем-ых явл. равенство 0 ее частных производных по неизвестным параметрам b₀ и b₁:

Знак с-мы.:δQ/δb₀=-2Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)=0

         δQ/δb₁=-2Σ(i=1,n)(y₁-b₀-b₁x_i)x_i=0

δ(частная производная)

З.с.: Σb₀+Σb₁x_i=Σy_i

   Σb₀x_i+Σb₁x²_i=Σx_iy_i

З.с.: nb₀+b₁Σx_i=Σy_i

   B₀Σx_i+b₁Σx²_i=Σx_iy_i

Разделим все на n:

Для практич-х расчетов последние ф-лыприменять не рекомендуется, т.к. в них происх. округление данных.

Лучше ипольз-ть след. ф-лы:

b₁=(nΣx_iy_i-Σx_iΣy_i)/(nΣx²_i-(Σx_i)²)

b₀=(Σx²_iΣy_i-Σx_iΣx_iy_i)/(nΣx_i-(Σx_i)²).

 

Коэф-т корреляции

Перейдем к оценке тесноты коррел. зав-ти.

Подставим в знач. b₀ из b₀=yˉ-b₁xˉ в y_i^{^}=b₀+b_1xi, i=1,n.

Получим: y_i^{^}=yˉ-b₁xˉ+b₁x_i, y_i^-yˉ=b₁(x_i-xˉ), i=1,n

Коэф-т b₁ наз. коэф-том регрессии Y по X, кот. пок-ет насколько единиц в среднем изменяется переменная Y при изменении перем-ой X на 1ед.

В кач-ве пок-ля тесноты связи коэф-та регрессии b₁ использовать не рекоменд-ся, т.к. он зав-т от ед-ц измерения, поэтому д/оц-ки тесноты связи исп-ются ср. квадратич. отклон-ие.Коэф-т b₁ м. вычислить по ф-ле:

b₁=(xy^―-x^–y^–)/(x^2–-x^–2)=S_xy /S²_x, где S_xy=xy^―-x^–y^– – выборочная ковариация (совместное изменение).

S_x=√D=√(x^2–-x^–2) – выборочное ср. квадратич. отклонение.Тогда м. записать:

b₁=S_xy/(S_x·S_y)·S_y/S_x=r_xy(S_y/S_x), где r_xy=S_xy/(S_x·S_y) – выборочный коэф-т коррел., хар-ет тесноту лин. зав-ти м/д случ. величинами.Для практич. расчетов коэф-т коррел. лучше использ-ть ф-лу:

r_xy=(nΣx_iy_i-Σx_iΣy_i)/√(nΣx²_i-(Σx_i)²)·√(nΣy²_i-(Σy_i)²).

Коэф-т коррел. изменяется в пределах -1≤r_xy≥1

Если коэф-т кор. =0, то это зн., что случ. величины Х и У некоррелированные, если r_xy≠0, то тогда случ. величины Х и У наз. коррелировнные. Если r_xy=1 (строго), то в этом сл. говорят, что имеет место полная прямая коррел-я.

Если r_xy≠1 – полная обратная коррел.

Если 0<r_xy<1, то коррел. наз. положительной, это зн., что с возрастанием одной перем-ой вторая т-же возрастает.

Если -1<r_xy<0 – отрицательная.

Чем ближе коэф-т коррел. к ±1, тем сильнее лин. зав-ть.