Идеальное дифференцирующее звено.

Дифференциальное уравнение

Передаточная функция

Переходная функция

представляет собой импульс типа дельта-функции с площадью Т. Импульсная переходная функция получится в результате дифференцирования . В ее выражение войдет производная от дельта-функции, т. е. дельта-функцияболее высокого порядка. Амплитудно-фазовая характеристика

совпадает с мнимой осью, причем соответствует начало координат, а положительным — верхняя полуось. Обратная характеристика

Модуль амплитудно-фазовой характеристики Логарифмическая амплитудная характеристика

Это — прямая с наклоном ордината которой при равна . Характеристика пересекает ось абсцисс при . Фазовая характеристика

Характеристики показаны на рис. 4-2, а. Звено создает одинаковое для всех частот упреждение по фазе на 90°.

Возможность представления реального звена идеальным дифференцирующим определяется соотношением постоянных времени звена и дифференцируемого процесса. Чем больше инерция звена, тем с большей погрешностью оно будет дифференцировать быстро изменяющиеся функции. О близости реального звена к идеальному удобно судить по частотным характеристикам. Если в некоторой полосе частот частотная характеристика по модулю и фазе с заданной точностью близка к характеристике идеального звена, то реальное звено можно считать дифференцирующим по отношению к тем гармоническим сигналам, частоты которых лежат в той же полосе.

Рис. 4-2.

Примером звена, близкого к идеальному, может служить тахогенератор, дифференцирующий угол поворота вала машины. Выходное напряжение тахогенератора

где а — угол поворота вала.

Весьма близким к идеальному является дифференцирующий усилитель с большим коэффициентом усиления (рис. 4-2, б). В той полосе частот, которая указана в паспорте усилителя, его передаточная функция

Выходная величина дифференцирующего звена при гармоническом воздействии пропорциональна частоте воздействия, и звено усиливает высокочастотные помехи, что сильно затрудняет его использование. Поэтому в моделирующих устройствах обычно стремятся обойтись без дифференцирующих звеньев. Это всегда возможно, если степень числителя передаточной функции моделируемого звена не выше степени знаменателя. Такую систему можно расчленить на звенья только трех типов: масштабные, суммирующие и интегрирующие. Так, например, чтобы набрать

Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует. Объект, обладающий дифференцирующими свойствами, описывается как реальное дифференцирующее звено

 

Динамика интегрирующего звена описывается дифференциальным уравнением

.

1. Переходная характеристика:

2. Импульсная переходная характеристика (или функция веса) имеет вид:

3. Передаточная функция идеального интегрирующего звена:

4. АФХ звена:

на комплексной плоскости изображается в виде прямой, совпадающей с мнимой осью.

5. АЧХ:

представляет собой гиперболу, которая при стремится к бесконечности. При увеличении частоты значения А(w) стремятся к нулю. Это свойство сближает интегрирующие звенья с инерционными.

6. ФЧХ идеального интегрирующего звена:

показывает, что сдвиг фаз, создаваемый звеном, на всех частотах одинаков и равен

-90⁰.

7. ЛАЧХ:

представляет собой прямую с наклоном –20дБ/декаду, проходящую через точку с координатами w=1, L(w)=20lgk.

Пример:

Идеальным интегрирующим звеном можно считать (с некоторыми допущениями) гидравлический исполнительный механизм, для которого входной и выходной величиной является количество жидкости Q (м³/с), поступающей в единицу времени в полость цилиндра, а выходной величиной – перемещение l (м) поршня со штоком. Действительно, если масса перемещающихся частей пренебрежимо мала и усилие, создаваемое давлением гидронасоса, существенно больше сил сопротивления, то перемещение поршня определяется уравнением баланса жидкости вида

,

где S – площадь поверхности жидкости (м²), а коэффициент k – выражением

.

Идеальных интегрирующих звеньев в реальных объектах практически не существует.

 

Дифференциальное уравнение звена обычно записывают в следующем виде:

, (3.44)

в котором k₁ – размерная величина, как и в (3.36). Если х_вых(t) и х_вх(t) имеют одинаковую размерность, то размерность k₁ будет 1/с. Тогда (3.44) можно представить в виде

, (3.45)

где ; – постоянные времени.

Передаточная функция звена, полученная из (3.44), будет

. (3.46)

Из (3.46) следует, что реальное интегрирующее звено может рассматриваться как последовательное соединение двух элементарных звеньев: идеального интегрирующего и инерционного звена первого порядка с передаточными функциями и . Поэтому все частотные характеристики реального интегрирующего звена могут быть получены по характеристикам этих элементарных звеньев:

(3.47)

Из (3.45) следует передаточная функция

(3.48)

из которой можно получит частотные характеристики

(3.49)

Динамические (разгонные) характеристики звена представлены на рис 3.13, а и б.

 

а)	б)
Рис.3.13. Кривые разгона реального интегрирующего звена.

 

Примером реальных интегрирующих звеньев могут служить следующие элементы автоматических систем: электрические механизмы с массивным редуктором, на раскрутку которого требуются дополнительные усилия, чтобы выходной вал набрал обороты; последовательное соединение двух гидравлических емкостей (рис.3.14), в которых входной величиной является изменение расхода Q₁, а выходной изменение уровня во втором баке Н₂.

Рис. 3.14. Пример реального интегрирующего звена

Условие устойчивости САУ

Ответить на вопрос, будет ли устойчива данная система, можно, решив линеаризованноедифференциальное уравнение замкнутой системы:

Полное решение уравнения можно представить суммой вынужденной и переходной составляющих:

Вынужденная составляющая, представляющая собой частное решение уравнения, является полезной составляющей управляемой величины и характеризует установившийся режим системы. Переходная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения и характеризует переходный режим. Эта составляющая, как уже указывалось (см., например, рис. 1.3), по существу представляет ошибку системы в переходном режиме (отклонение системы от равновесного состояния, и поэтому явлйется нежелательной составляющей управляемой величины. Очевидно, что система будет устойчивой, если переходная составляющая в ней с течением времени затухает, т. е.

Если же при не стремится к нулю, а возрастает или изменяется по закону незатухающих колебаний, то система неустойчива. Таким образом, для определения устойчивости необходимо выявить только характер изменения переходной составляющей решения, т. е. достаточно исследовать однородное уравнение замкнутой системы:

Переходная составляющая (решение однородного уравнения) в случае некратных корней может быть представлена в виде следующей суммы:

где — начальное значение компоненты переходной составляющей (постоянная интегрирования); корень характеристического уравнения однородного уравнения замкнутой системы (3.3):

Чтобы система была устойчивой, решение (3.4) должно удовлетворять требованию

Рис. 3.2. Примеры расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы накомплексной плоскости: а — устойчивой: неустойчивой; в — находящейся на границе устойчивости.

Из формулы (3.4) видно, что затухание т. е. устойчивость системы, зависит от значения корней характеристического уравнения замкнутой системы (3.5). Пусть среди них будет корней вещественных и комплексно-сопряженных. Тогда решение (3.4) можно записать в виде:

Выясним, как влияют значения корней на первую и вторую суммы формулы (3.7) при Если все вещественные корни отрицательны то каждая составляющая первой суммы в формуле (3.7) представляет затухающую экспоненту и поэтому

Если вещественные части а? всех комплексных корней отрицательны, то каждое слагаемое второй суммы (3.7) описывает затухающее колебание и поэтому

Отсюда можно сделать вывод, что если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней отрицательны (все корни находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, рис. и система будет устойчива. Если хотя бы один из вещественных корней или вещественная часть пары комплексных корней окажется положительной (рис. 3.2, б), то система будет неустойчивой, так как соответствующие этим корням составляющие в решении и с течением времени будут неограниченно возрастать. Если вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны (рис. 3.2, в), то система находится на границе устойчивости.

Таким образом, условием устойчивости системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уравнения (расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней).

Корни характеристического уравнения замкнутой системы, как видно из (3.5), не зависят ни от вида задающего воздействия, ни от начальных условий, а определяются только соотношением коэффициентов левой части уравнения системы, т. е. параметрами самой

системы (постоянными времени звеньев, их коэффициентами усиления). Исследование устойчивости САУ может выполняться с целью определения как устойчивости системы при данных значениях ее параметров, так и некоторой области значений параметров, при которых система остается устойчивой.

Рассмотренное выше условие устойчивости для линейных систем является справедливым и для малых, и для больших возмущений. Для нелинейных систем, исследование которых производится с помощью линеаризованных уравнений, приведенное условие устойчивости справедливо для малых возмущений.