Характеристики генеральной и выборочной совокупности

 • 1 027

• Отбор может быть повторным и бесповторным

Формулы предельных ошибок выборки

Обозначения:

• - выборочная дисперсия;

• W - выборочная доля;

• n - объем выборочной совокупности;

• N - объем генеральной совокупности;

• t - число, связанное с вероятностью, которая берется из таблицы интеграла вероятностей закона нормального распределения.

Пример 2.

       Для определения среднего срока службы изделий было обследовано 250 изделий. При этом средний срок службы был установлен на уровне 41,9 месяца. Среднее квадратическое отклонение равно 6,2 месяцам.

С вероятностью 0,9973 определить, в каких пределах находится средний срок службы всех изделий

Решение:

• Р=0,9973, t=3 (из таблицы интеграла вероятностей закона нормального распределения).

• При этом вероятность делится на 2.

Пример 3.

• Определить вероятность того, что предельная ошибка средней службы не превысит 1 месяц.

Решение:

Пример 4.
Определение минимального объема выборки.

       Сколько следует прохронометрировать операций, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было бы утверждать, что разность между средней продолжительностью операций в выборочной и генеральной совокупности не превысит 1 секунды, если по результатам предыдущего испытания установлено, что средняя продолжительность операции равна 30 секундам, а среднее квадратическое отклонение равно 7 секундам?

Решение :

Ответ: нужно прохронометрировать не менее 441 операции.

2. Простой отбор с помощью регулярной процедуры

осуществляется с применением механической составляющей (номера квартиры, даты, дня недели, буквы алфавита) и полученные таким способом выборки называются механическими.

3. Стратифицированныйотбор

заключается в том, что генеральная совокупность объема N подразделяется на части совокупности или слои (страты) объема N ₁, N ₂, … , N_r, так что N ₁ + N ₂ + … + N_r = N.

3. Стратифицированныйотбор

Страты - однородные объекты с точки зрения статистических характеристик (например, население по возрасту делится на две страты – в трудоспособном и нетрудоспособном возрасте; банки – по размеру капитала). В этом случае выборки называются стратифицированными (расслоенными, типическими,районированными).

4.Серийный отбор

l Приемы серийного отбора используются для формирования серийных или гнездовых выборок. Они удобны втом случае, если необходимо обследовать сразу "блок" или серию объектов (например, партию товара, продукцию определенной серии или предприятия территориально-административной единицы).

       Вся совокупность делится на серии, после чего механическим или собственно случайным способом отбирается некоторое количество серий. Все единицы совокупности, входящие в отобранные серии, подвергаются сплошному контролю.

Типическая выборка

Объем выборки

При отборе, пропорциональном объему типических групп, число наблюдений по каждой группе определяется по формуле:

             -объем выборки из -й типической группы.

        -общий объем выборки.

        -объем -й типической группы в генеральной совокупности.

        -объем генеральной совокупности.

Типическая выборка: формулы

Типическая выборка: пример

Типическая выборка: пример

Решение примера типической выборки

Типическая выборка: пример

Вывод по примеру типической выборки

5. Комбинированный(ступенчатый ) отбор

может сочетать в себе сразу несколько способов отбора (например, стратифицированный и случайный или случайный и механический); такая выборка называется комбинированной.

Виды отбора

По виду различаются индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе – качественно однородные группы (серии) единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

2.2. Методы отбора
По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку. Бесповторнымназывается отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в исходную совокупность и в дальнейшем выборе не участвует; при этом численность единиц генеральной совокупности N сокращается в процессе отбора.

Механическая выборка

При механической выборке вся совокупность делится на группы по числу единиц, которые должны войти в выборку, после чего из каждой группы отбирается 1 единица. Таким образом механическая выборка может быть бесповторной. Для механической выборки применяются формулы собственно-случайного, бесповторного отбора

Механическая выборка.

• При механической выборке вся совокупность разбивается на столько групп, сколько единиц должно войти в выборку, затем из каждой группы выбирается 1 единица, следовательно механическая выборка может быть только бесповторной.

• Применяются формулы для собственно- случайной бесповторной выборки.

• На практике механическая выборка осуществляется при помощи шага отбора.

Определяется шаг отбора

Нормальное распределение

По своей природе распределения бывают непрерывными и дискретными. Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное распределение. Выборочными аналогами параметров mи s ² для него являются: среднее значение ` x и эмпирическая дисперсия s ² .

Доля выборки

l Долей выборки k_n называется отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

k_n=n / N .

Выборочная доля

l Отношение числа единиц, обладающих данным признаком или данным его значением m , к общему числу единиц выборочной совокупности nназывается выборочной долей w:

l w = m / n .

Пример

В партии товара, содержащей 10 тыс. штук, при 4% выборке долявыборки k_n в абсолютной величинесоставляет 400 шт. (n = N´0,04); если же в этой выборке обнаружено 12 бракованных изделий, то выборочная доля брака w составит 0,03 (w = 12/400 = 0,03 или 3%).

   -генеральная доля

W – выборочная доля

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению. Их невозможно избежать, поскольку выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную совокупность. Значения выборочных показателей отличаются от показателей этих же величин в генеральной совокупности (или получаемых при сплошном наблюдении).

Теорема Ляпунова

L А.М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних( а следовательно, и их отклонений от генеральной средней ) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Теорема Ляпунова

l Математически теорему Ляпунова можно записать так:

Где

l   p=3,14(математическая постоянная);

- предельная ошибка выборки, которая дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.

Необходимый объем выборки

Задача