Арифметическая или гармоническая?

• Подсказка:

• Если по исходной информации дается осредняемая величина (варианта) и знаменатель логической формулы, то используется САВ.

• Если дается варианта и числитель логической формулы, то используется СГВ

Арифметическая или гармоническая?

• Иными словами:

• Если в ИСС неизвестен числитель, то используется САВ.

• Если в ИСС неизвестен знаменатель, то используется СГВ

Средняя хронологическая

• Эта формула средней применяется для ряда моментных показателей

Средняя хронологическая

• Необходимо взять половину первого и последнего показателя, плюс моментные показатели, находящиеся в середине ряда, полученную сумму разделить на (количество моментных показателей минус 1)

Средняя хронологическая

• Широко применяется в рядах динамики, в социально-экономической статистике для определения средней численности населения и среднего размера остатков, а также для других показателей, исчисляемых на определенные моменты времени

Средняя хронологическая

• Если необходимо подсчитать среднюю для двух моментных показателей, то формула средней хронологической превращается в формулу средней арифметической простой

Структурные средние

Обычно средней степенной для анализа распределения недостаточно.

Структурные средние применяются для первоначального анализа распределения признаков в совокупности

Структурные средние

Из многочисленного множества структурных средних мы рассмотрим моду, медиану, квартиль, дециль и перцентиль

Мода

Мода – значение признака, встречающееся в совокупности наибольшее число раз.
В быту слово «мода» фактически имеет обратный смысл

Мода – это наиболее часто встречающаяся варианта вариационного ряда.
Для дискретного ряда это та варианта, которой соответствует наибольшая частота

Для интервального ряда с равными интервалами мода определяется при помощи следующей формулы:

 

где x M _о - начало модального интервала;
h _Мо - величина модального интервала;
f ₂ - частота модального интервала;
f ₁ - частота предмодального интервала;                              
f ₃ - частота послемодального интервала

Мода

• Если модальный интервал первый или последний, то недостающая частота (предмодальная или послемодальная) берется равной нулю

Мода

• В интервальном ряду как по формуле, так и графически мода вычисляется точнее

Мода

• Для определения моды дискретного ряда строится полигон распределения. Расстояние от оси ординат до наивысшей точки графика есть мода

Мода

• Если в дискретном ряду несколько вариант имеют наибольшую частоту (что встречается достаточно редко), то мода определяется как средняя арифметическая из всех модальных вариант

Медиана

Медиана

• Это центральное, серединное значение ряда. Ме - значение признака у единицы, находящейся в середине ранжированной (упорядоченной) совокупности

Это варианта, лежащая в середине вариационного ряда и делящая его на две равные части

Медиана

• В дискретном ряду Ме находится по определению, а в интервальном ряду – по формуле

Медиана

• Если дискретный ряд содержит нечетное количество вариант, то находится та единственная варианта, справа и слева от которой находится одинаковое число вариант:

Медиана

• Если дискретный ряд содержит четное количество вариант, то находятся две варианты, справа и слева от которых располагается одинаковое количество вариант. Ме равна средней арифметической из двух значений:

            

Для дискретного ряда медианой является та варианта, для которой накопленная частота впервые превышает половину от суммы частот

Для интервального ряда медиана определяется по следующей формуле:

 

где x_Ме - начало медианного интервала;
  h _Ме - величина медианного интервала;
  f _Ме - частота медианного интервала;
S _Ме-1 - накопленная частота
         предмедианного интервала

 

Это означает, что у половины рабочих производительность труда меньше 252.5 м, а у другой половины больше

Для графического определения медианы последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси x до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой представленного на графике распределения

Для графического определения медианы по огиве выполняют обратные действия, поскольку в огиве накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака – на оси ординат

Мо и Ме

• В практических расчетах Мо и Ме могут быть величинами, далеко отстоящими друг от друга. Для более четкой фиксации характера распределения используют другие структурные средние

Квартили

Это варианты, которые делят ранжированную совокупность на четыре равные части:
Q ₁ 1:3;
Q₂ 2:2 (Q₂=Ме);
Q ₃ 3:1

Квартили

• Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями

Квартили

• Мы как бы отбрасываем нетипичные, случайные значения признака. С помощью квартилей мы определяем границы, где находятся 50% единиц, наиболее характерные для этой совокупности

Для расчета Q 1 (первого квартиля) используется следующая формула:

 

где x Q 1   - начало интервала, содержащего 1-й квартиль;
  hQ 1- величина интервала, содержащего 1-й                                          квартиль;
   SQ 1 -1 - накопленная частота предшествующего
             интервала;
    fQ 1 - частота интервала, содержащего Q 1

Интервалом, содержащим Q1, является тот интервал, для которого накопленная частота впервые превышает ¼ от суммы частот

 

Это означает, что ¼ рабочих имеет производительность труда меньше, чем 234м., а ¾ имеет производительность труда больше

Для расчета Q ₃ используется формула:

 

Все обозначения аналогичны Q ₁ .
Интервалом, содержащим Q ₃ ,
является тот интервал, для которого накопленная частота впервые превышает ¾ от суммы частот

Децили

Децили -

это варианты, которые делят ранжированную совокупность на 10 равных частей

Общая формула для расчета децилей:

 

где x_Di - начало интервала,содержащего i -й                   дециль;
h_Di - величина интервала, содержащего i -й                     дециль;
   f_Di - частота интервала, содержащего D_i ;
S_{Di -1} - накопленная частота предшествующего
          интервала

Интервалом, содержащим D_i , является тот интервал, для которого накопленная частота впервые превышает i /10 от суммы частот

Пример:

 

Это означает что, 60% рабочих имеют производительность труда меньше 259,6м, а 40% - больше

Применение децилей

• Пример - децильный коэффициент дифференциации населения. Население делится на 10 частей по уровню дохода. Берут первые 10% и последние 10%. Считают, что средний доход последней группы не должен быть больше, чем в 10 раз среднего дохода первой группы. В России официально это превышение составляет 14-16 раз, неофициально – 20 и более раз

Перцентиль

• П делит ранжированную совокупность на 100 равных частей. Формулы аналогичны формулам медианы, квартиля и дециля

The end

• Спасибо за внимание