Исходное соотношение средней

Исходное соотношение средней

• где

А – объем изучаемого события в совокупности: это суммарная абсолютная величина;

• В – объем совокупности: это число единиц совокупности.

• ИСС дает нам уровень изучаемого события в расчете на единицу совокупности

Примеры средних

• Средняя зарплата показывает, сколько получает один работник. Что же мы возьмем в числителе и знаменателе ИСС?

А – сумма начисленных средств всем работникам = фонд зарплаты;

В – численность работников

Примеры средних

• Зарплата индивидуального работника – это индивидуальная величина. Фонд зарплаты – суммарная величина, а средняя зарплата – средняя величина

Примеры средних

• Средняя цена показывает, сколько в среднем стоит данный товар. Что же мы возьмем в числителе и знаменателе ИСС?

А – выручка от реализации всего товара = товарооборот;

В – сколько единиц товара продано всего = количество проданного товара

Примеры средних

• Средняя себестоимость показывает, сколько в среднем стоит производство единицы продукции. Что же мы возьмем в числителе и знаменателе ИСС?

А – затраты на производство продукции = в экономической теории это называется издержками производства;

В – выпуск продукции = количество произведенной продукции

Примеры средних

• Средний возраст показывает, сколько в среднем лет исследуемой совокупности единиц, не обязательно одушевленных - это может быть средний возраст автомобилей, студентов, зданий, куриц. Что же мы возьмем в числителе и знаменателе ИСС?

А – суммарное количество лет;

В – количество обследуемых единиц

Примеры средних

• Средняя продолжительность жизни, или средний срок службы показывает, сколько в среднем лет живет одушевленная единица совокупности и служит неодушевленная. Что же мы возьмем в числителе и знаменателе ИСС?

А – суммарное количество лет жизни (службы);

В – количество обследуемых единиц

Логическая формула

Для конкретного экономического показателя может быть составлена ТОЛЬКО ОДНА ИСТИННАЯ логическая формула

Виды средних величин

Математикой доказано, что большую часть средних, которыми мы пользуемся, можно выразить в общем виде формулой средней степенной

       Средние величины, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних. Общая формула степенной средней имеет следующий вид:

      

 

    _
где x _k – степенная средняя k -ого порядка;
  k – показатель степени, определяющий форму средней; х – варианты;
n – количество вариант

       Если k =1, получается средняя арифметическая:

 

       если k =2, получается средняя квадратическая:

 

       если k =0, получается средняя геометрическая:

 

       если k = (-1), получается средняя гармоническая:

 

Правило мажорантности

Чем выше показатель степени в формуле степенной средней, тем больше значение средней

Средняя арифметическая

Существуют две формулы средней арифметической:

 

 

где f - веса

Средняя арифметическая простая

• Средняя арифметическая простая применяется, когда есть перечисление вариант и нет никаких группировок.

В числителе мы собираем сумму вариант, в знаменателе – количество вариант

Производительность труда 5-и рабочих составляет: 58, 50, 46, 44, 42 изделий за смену. Определить среднюю производительность труда 5-и рабочих. В этом случае решение имеет следующий вид:

 

Средняя арифметическая взвешенная

• Средняя арифметическая взвешенная используется при появлении группировок. Это самая распространенная степенная средняя

Расчет средней арифметической для вариационного ряда

Модификация формулы

• Если f – частость (дается удельный вес в совокупности), то классическая формула средней арифметической взвешенной не применяется, используют ее модификацию:

Модификация формулы

Где

Модификация формулы

Модификация формулы

По существу, мы умножаем варианту на ОВСтруктуры в коэффициентах, в долях

Свойства средней арифметической

1. Произведение средней арифметической и суммы частот равно общему объему изучаемого события в совокупности (см. формулу ИСС):

 

2. Сумма отклонений всех вариант от средней величины всегда равна 0:

 

2. Сумма отклонений всех вариант от средней величины всегда равна 0.

Это значит, что в средней арифметической
взаимопогашаются
отклонения от средней

 

2. В нашем примере со средним размером домохозяйства средняя равна 2,7 чел. Однако есть конкретные значения количества членов каждой конкретной семьи, варианта х=1,2,3,4,5,6 и более.
(1-2,7)* f_i=-
( 2 -2,7)* f_i=-
( 3 -2,7)* f_i=+
( 4 -2,7)* f_i=+
( 5 -2,7)* f_i=+
( 6 -2,7)* f_i=+
Итого:0

Свойства САВ

• Свойства 3-5 используются для упрощения расчета, когда нужно подсчитать среднюю из неудобных чисел

3. Если каждую варианту уменьшить на постоянную величину а, расчет средней возможен, но полученная средняя будет меньше на а:

 

4. Если все варианты уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится в то же число раз:

 

5. Если все веса разделить на какую-либо константу а, то новая средняя от этого не изменится:

 

5. При расчете средней весовой показатель берется на том же уровне и в числителе, и в знаменателе

 

Свойства САВ

• Если при расчете САВ были использованы ее свойства, то в результате получаем не нормальную, а преобразованную САВ. Чтобы перейти к нормальной САВ, необходимо произвести обратные операции в обратном порядке

Упрощенный расчет средней арифметической для вариационного ряда

Основан на свойствах средней величины.

 

h – величина интервала;
c – одна из вариант ряда, близкая к
середине (лежащая в середине);   
А – целое число, на которое без остатка
сокращаются все частоты

 

h=20; c=250; f = f '; A=1

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая

• СГ- это обратная величина средней арифметической. Бывает простая и взвешенная СГ. Чаще используется взвешенная формула

Существуют две формулы для расчета средней гармонической величины:

 

где W - сложный вес, объем события по группе, по конкретному значению

 

Средняя гармоническая применяется в том случае, когда в качестве весов выступают объемы изучаемого признака.
Иногда возникает проблема: какую формулу использовать – среднюю гармоническую или среднюю арифметическую? Подходит та формула, у которой и в числителе и знаменателе будут величины, обладающие смыслом