Квантовый моноид. En. Ru. PDF

{\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}{\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }},}
где δs - вектор смещения между точкой P и ближайшей точкой Q, координатное расстояние которой от P равно δxα вдоль координатной кривой xα (то есть кривой на многообразии через P, для которой локальная координата xα изменяется, а все остальные координаты постоянны).[1]

Можно провести ассоциацию между таким базисом и направленными производными операторами. Задана параметризованная кривая C на многообразии, определяемом xα(λ) с касательным вектором u = uαeα, где uα =
dxα
/
dλ
, а функция f(xα), определенная в окрестности C, вариация f вдоль C может быть записана в виде

{\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.}{\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }} =u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}} f.}
Поскольку мы имеем, что u = uαeα, идентификация часто производится между координатным базисным вектором eα и оператором частных производных
∂
/
∂ xα
, при интерпретации векторов как операторов, действующих на скалярные величины.[2]

Учитывая метрический тензор g на многообразии M, в общем случае невозможно найти координатный базис, ортонормированный в любой открытой области U из M. Очевидным исключением является случай, когда M -вещественное координатное пространство Rn, рассматриваемое как многообразие с g -евклидовой метрикой δij   ei ⊗ ej в каждой точке.

Исторически струйные расслоения приписываются Чарльзу Эресмануи были прогрессом в методе (продолжении) Эли Картана, который геометрически имел дело с высшими производными, накладывая дифференциальные условия формы на вновь введенные формальные переменные. Струйные пучки иногда называют спреями, хотя спреи обычно относятся более конкретно к связанному векторному полю, индуцированному на соответствующем пучке (например, геодезический спрей на финслеровых многообразиях).

С начала 1980-х годов струйные расслоения появились как краткий способ описания явлений, связанных с производными отображений, особенно связанных с вариационным исчислением.[1] Следовательно, струйное расслоение В настоящее время признано правильной областью для геометрической ковариантной теории поля, и большая работа проводится в общих релятивистских формулировках полей с использованием этого подхода.

Содержание
1 Струи
2 Струйные коллекторы
3 Струйные пучки
3.1 Алгебраико-геометрическая перспектива
3.2 Пример
4 Контактная структура
4.1 Пример
5 Векторных полей
6 Дифференциальные уравнения в частных производных
6.1 Пример
7 Удлинение струи
7.1 Пример
8 Бесконечные реактивные пространства
8.1 Бесконечно длительные PDE
9 Замечание
10 См. также
11 Список литературы
12 Дальнейшее чтение
Струи
Основная статья: Jet (математика)
Предположим, что M -м-мерное многообразие и что (E, π, M) - расслоение волокон. Для p ∈ M пусть Γ (p) обозначает множество всех локальных сечений, область которых содержит p. Пусть {\ displaystyleI =(I (1), I (2),..., I (m))}{\ displaystyleI =(I (1), I (2),..., I (m))}это мультииндекс (m -кортеж целых чисел, не обязательно в порядке возрастания), затем определите:

{\ displaystyle {\ begin { aligned }| I |&:=\ sum _{ i =1}^{ m } I (i)\\{\ frac {\ partial ^{| I |}}{\ partialx ^{ I }}}&:=\ prod _{ i =1}^{ m }\ left ({\ frac {\ partial }{\ partialx ^{ i }}}\ right)^{ I (i)}.\ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned }| I |&:=\ sum _{ i =1}^{ m } I (i)\\{ frac {\ partial ^{| I |}}{\ partialx ^{ I }}}&:=\ prod _{ i =1}^{ m }\ left ({\ frac {\ partial }{\ partialx ^{ i }}}\ right)^{ I (i)}.\ end { aligned }}}
Определите локальные сечения σ, η ∈ Γ (p), чтобы иметь одну и ту же r -струю при p, если

{\ displaystyle \ left.{\ frac {\ partial ^{| I |}\ sigma ^{\ alpha }}{\ partialx ^{ I }}}\ right |_{ p }=\ left.{\ frac {\ partial ^{| I |}\ eta ^{\ alpha }}{\ partialx ^{ I }}}\ right |_{ p },\ quad 0\ leq | I |\ leqr.}{\ displaystyle \ left.{\ frac {\ partial ^{| I |}\ sigma ^{\ alpha }}{\ partialx ^{ I }}}\ right |_{ p }=\ left.{\ frac {\ partial ^{| I |}\ eta ^{\ alpha }}{\ partialx ^{ I }}}\ right |_{ p },\ quad 0\ leq | I |\ leqr.}
Отношение, что два отображения имеют одну и ту же r -струю, является отношением эквивалентности. R -струя является классом эквивалентности при этом соотношении, и r -струя с репрезентативным σ обозначается {\ displaystylej _{ p }^{ r }\ sigma }{\ displaystylej _{ p }^{ r }\ sigma }. Целое число r также называется порядком струи, p -ее источником, а σ (p) - ее целью.

Струйные коллекторы
r -е струйное многообразие π -это множество

{\ displaystyleJ ^{ r }(\ pi)=\ left \{ j _{ p }^{ r }\ sigma: p \ inM,\ sigma \ in \ Gamma (p)\ right \}.}{\ displaystyleJ ^{ r }(\ pi)=\ left \{ j _{ p }^{ r }\ sigma: p \ inM,\ sigma \ in \ Gamma (p)\ right \}.}
Мы можем определить проекции πr и πr,0, называемые исходной и целевой проекциями соответственно, с помощью

{\ displaystyle {\ begin { cases }\ pi _{ r, k }: J ^{ r }(\ pi)\ toJ ^{ k }(\ pi) \\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j _{ p }^{ k }\ sigma \ end { cases }}}{\ displaystyle {\ begin { cases }\ pi _{ r, k }: J ^{ r }(\ pi)\ toJ ^{ k }(\ pi) \\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j _{ p }^{ k }\ sigma \ end { cases }}}
Из этого определения ясно, что πr = πoπr,0 и что если 0 ≤ m ≤ k, то πr, m = πk, moπr, k. Принято считать πr, r тождественным отображением на Jr (π) и отождествлять J  0(π) с E.

Функции πr, k, πr,0 и πr являются гладкими сюръективными погружениями.

JetBundleImageFbN. png
Система координат на E будет генерировать систему координат на Jr (π). Пусть (U, u) - адаптированная координатная диаграмма на E, где u = (xi, uα). Индуцированная координатная диаграмма (Ur, ur) на Jr (π) определяется

{\ displaystyle {\ begin { aligned } U ^{ r }&=\ left \{ j _{ p }^{ r }\ sigma: p \ inM,\ sigma (p)\ inU \ right \}\\ u ^{ r }&=\ left (x ^{ i }, u ^{\ alpha }, u _{ I }^{\ alpha }\ right)\ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned } U ^{ r }&=\ left \{ j _{ p }^{ r }\ sigma: p \ inM,\ sigma (p)\ inU \ right \}\\ u ^{ r }&=\ left (x ^{ i }, u ^{\ alpha }, u _{ I }^{\ alpha }\ right)\ end { aligned }}}
где

{\ displaystyle {\ begin { aligned } x ^{ i }\ left (j _{ p }^{ r }\ sigma \ right)&= x ^{ i }(p)\\ u ^{\ alpha }\ left (j _{ p }^{ r }\ sigma \ right)&= u ^{\ alpha }(\ sigma (p))\ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned } x ^{ i }\ left (j _{ p }^{ r }\ sigma \ right)&= x ^{ i }(p)\\ u ^{\ alpha }\ left (j _{ p }^{ r }\ sigma \ right)&= u ^{\ alpha }(\ sigma (p))\ end { aligned }}}
и {\ displaystylen \ left ({\ binom { m + r }{ r }}-1\ right)}{\ displaystylen \ left ({\ binom { m + r }{ r }}-1\ right)}функции, известные как производные координаты:

{\ displaystyle {\ begin { cases } u _{ I }^{\ alpha }: U ^{ k }\ to \ mathbf { R } \\u_{I}^{\alpha }\ left (j _{ p }^{ r }\ sigma \ right)=\ left.{\ frac {\ partial ^{| I |}\ sigma ^{\ alpha }}{\ partialx ^{ I }}}\ right |_{ p }\ end { cases }}}{\ displaystyle {\ begin { cases } u _{ I }^{\ alpha }: U ^{ k }\ to \ mathbf { R } \\u_{I}^{\alpha }\ left (j _{ p }^{ r }\ sigma \ right)=\ left.{\ frac {\ partial ^{| I |}\ sigma ^{\ alpha }}{\ partialx ^{ I }}}\ right |_{ p }\ end { cases }}}
Учитывая атлас адаптированных диаграмм (U, u) на E, соответствующая коллекция диаграмм (Ur, ur) является конечномерным атласом C ∞ на Jr (π).

Реактивные пучки
Поскольку атлас на каждом определяет многообразие, тройки и все они определяют многослойные многообразия.{\ displaystyleJ ^{ r }(\ pi)}{\ displaystyleJ ^{ r }(\ pi)}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r, k }, J ^{ k }(\ pi))}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r, k }, J ^{ k }(\ pi))}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r,0}, E)}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r,0}, E)}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r }, M)}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r }, M)} В частности, если {\ displaystyle (E,\ pi, M)}{\ displaystyle (E,\ pi, M)}это пучок волокон, то тройка {\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r }, M)}{\ displaystyle (J ^{ r }(\ pi),\ pi _{ r }, M)}определяет r -й струйный пучок π.

Если W ⊂ M - открытое подмногообразие, то

{\ displaystyleJ ^{ r }\ left (\ pi |_{\ pi ^{-1}(W)}\ right)\ cong \ pi _{ r }^{-1}(W).\,}{\ displaystyleJ ^{ r }\ left (\ pi |_{\ pi ^{-1}(W)}\ right)\ cong \ pi _{ r }^{-1}(W).\,}
Если p ∈ M, то {\ displaystyle \ pi _{ r }^{-1}(p)\,}{\ displaystyle \ pi _{ r }^{-1}(p)\,}обозначается волокно {\ displaystyleJ _{ p }^{ r }(\ pi)}{\ displaystyleJ _{ p }^{ r }(\ pi)}.

Пусть σ -локальное сечение π с областью W ⊂ M. r -е удлинение струи σ -это отображение{\ displaystylej ^{ r }\ sigma: W \ rightarrowJ ^{ r }(\ pi)}{\ displaystylej ^{ r }\ sigma: W \ rightarrowJ ^{ r }(\ pi)}, определяемое

{\ displaystyle (j ^{ r }\ sigma)(p)= j _{ p }^{ r }\ sigma.\,}{\ displaystyle (j ^{ r }\ sigma)(p)= j _{ p }^{ r }\ sigma.\,}
Обратите внимание, что {\ displaystyle \ pi _{ r }\ circj ^{ r }\ sigma =\ mathbb { id } _{ W }}{\ displaystyle \ pi _{ r }\ circj ^{ r }\ sigma =\ mathbb { id } _{ W }}так {\ displaystylej ^{ r }\ sigma }{\ displaystylej ^{ r }\ sigma }на самом деле и есть раздел. В локальных координатах {\ displaystylej ^{ r }\ sigma }{\ displaystylej ^{ r }\ sigma }задается

Алгебраико-геометрическая перспектива
Приведено независимо мотивированное построение пучка секций {\ displaystyle \ GammaJ ^{ k }\ left (\ pi _{ TM }\ right)}{\ displaystyle \ GammaJ ^{ k }\ left (\ pi _{ TM }\ right)}.

Рассмотрим диагональную карту {\ textstyle \ Delta _{ n }: M \ to \ prod _{ i =1}^{ n +1} M }{\ textstyle \ Delta _{ n }: M \ to \ prod _{ i =1}^{ n +1} M }, где гладкое многообразие {\ displaystyleM } M является локально кольцевым пространством {\ displaystyleC ^{ k }(U)}{\ displaystyleC ^{ k }(U)}для каждого открытого {\ displaystyleU } U. Пусть {\ displaystyle {\ mathcal { I }}}{\ mathcal { I }}будет идеальный пучок {\ displaystyle \ Delta _{ n }(M)}{\ displaystyle \ Delta _{ n }(M)}, равно {\ displaystyle {\ mathcal { I }}}{\ mathcal { I }}как и пучок гладких зародышей, которые исчезают {\ displaystyle \ Delta _{ n }(M)}{\ displaystyle \ Delta _{ n }(M)}для всех {\ displaystyle 0< n \ leqk }{\ displaystyle 0. Откат факторного пучка {\ displaystyle {\ Delta _{ n }}^{*}\ left ({\ mathcal { I }}/{\ mathcal { I }}^{ n +1}\ right)}{\ displaystyle {\ Delta _{ n }}^{*}\ left ({\ mathcal { I }}/{\ mathcal { I }}^{ n +1}\ right)} от {\ textstyle \ prod _{ i =1}^{ n +1} M }{\ textstyle \ prod _{ i =1}^{ n +1} M }к {\ displaystyleM } M к{\ displaystyle \ Delta _{ n }}\ Delta _{ n }-это пучок к-струй.[2]

Прямой предел последовательности инъекций, задаваемый каноническими включениями {\ displaystyle {\ mathcal { I }}^{ n +1}\ hookrightarrow {\ mathcal { I }}^{ n }}{\ displaystyle {\ mathcal { I }}^{ n +1}\ hookrightarrow {\ mathcal { I }}^{ n }}пучков, порождает бесконечный струйный пучок {\ displaystyle {\ mathcal { J }}^{\ infty }(TM)}{\ displaystyle {\ mathcal { J }}^{\ infty }(TM)}. Заметим, что по прямой предельной конструкции это фильтрованное кольцо.

Пример
Если π -тривиальное расслоение (M × R, pr 1, M), то существует канонический диффеоморфизм между первым струйным расслоением {\ displaystyleJ ^{1}(\ pi)}{\ displaystyleJ ^{1}(\ pi)}и T * M × R. Чтобы построить этот диффеоморфизм, для каждого σ в {\ displaystyle \ Gamma _{ M }(\ pi)}{\ displaystyle \ Gamma _{ M }(\ pi)}записи {\ displaystyle {\ bar {\ sigma }}= pr _{2}\ circ \ sigma \ inC ^{\ infty }(M)\,}{\ displaystyle {\ bar {\ sigma }}= pr _{2}\ circ \ sigma \ inC ^{\ infty }(M)\,}.

Затем, когда p ∈ M

{\ displaystylej _{ p }^{1}\ sigma =\ left \{\ psi:\ psi \ in \ Gamma _{ p }(\ pi);{\ bar {\ psi }}(p)={\ bar {\ sigma }}(p); d {\ bar {\ psi }}_{ p }= d {\ bar {\ sigma }}_{ p }\ right \}.\,}{\ displaystylej _{ p }^{1}\ sigma =\ left \{\ psi:\ psi \ in \ Gamma _{ p }(\ pi);{\ bar {\ psi }}(p)={\ bar {\ sigma }}(p); d {\ bar {\ psi }}_{ p }= d {\ bar {\ sigma }}_{ p }\ right \}.
Следовательно, отображение

{\ displaystyle {\ begin { cases } J ^{1}(\ pi)\ toT ^{*} M \ times \ mathbf { R } \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\ sigma }}_{ p },{\ bar {\ sigma }}(p)\ right)\ end { cases }}}{\ displaystyle {\ begin { cases } J ^{1}(\ pi)\ toT ^{*} M \ times \ mathbf { R } \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\ sigma }}_{ p },{\ bar {\ sigma }}(p)\ right)\ end { cases }}}
хорошо определен и явно инъективен. Запись его в координатах показывает, что это диффеоморфизм, потому что если (xi, u) - координаты на M × R, где u = idR -тождественная координата, то производные координаты ui на J 1(π) соответствуют координатам ∂ i на T * M.

Аналогично, если π -тривиальное расслоение (R × M, pr 1, R), то существует канонический диффеоморфизм между {\ displaystyleJ ^{1}(\ pi)}{\ displaystyleJ ^{1}(\ pi)}и R × TM.

Контактная структура
Пространство Jr (π) несет естественное распределение, то есть под-расслоение касательного расслоения TJr (π), называемое распределением Картана. Распределение Картана охватывается всеми касательными плоскостями к графам голономных сечений; то есть сечений вида jrφ для φ сечения π.

{\ displaystyle \ left (j ^{ r +1}\ sigma \ right)^{*}\ theta =0}{\ displaystyle \ left (j ^{ r +1}\ sigma \ right)^{*}\ theta =0}
для всех локальных сечений σ из π над M.

Распределение Картана является основной геометрической структурой на струйных пространствах и играет важную роль в геометрической теории уравнений в частных производных. Распределения Картана полностью неинтегрируемы. В частности, они не инволютивны. Размерность распределения Картана растет с порядком реактивного пространства. Однако на пространстве бесконечных струй J ∞ распределение Картана становится инволютивным и конечномерным: его размерность совпадает с размерностью базового многообразия M.

Пример
Рассмотрим случай (E, π, M), где E ≃ R 2 и M ≃ R. Тогда (J 1(π), π, M) определяет первый струйный пучок и может быть согласован с (x, u, u 1), где

{\ displaystyle {\ begin { aligned } x \ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)&= x (p)= x \\ u \ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)&= u (\ sigma (p))= u (\ sigma (x))=\ sigma (x)\\ u _{1}\ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)&=\ left.{\ frac {\ partial \ sigma }{\ partialx }}\ right |_{ p }=\ sigma '(x)\ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned } x \ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)&= x (p)= x \ u \ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)&= u (\ sigma (p))= u (\ sigma (x))=\ sigma (x)\\ u _{1}\ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)&=\ left. {\ frac {\ partial \ sigma } {\ partialx }} \ right |_{ p }=\ sigma '(x)\ end { aligned }}}
для всех p ∈ M и σ в Γp (π). Общая 1-форма на J 1(π) принимает вид

{\ displaystyle \ theta = a (x, u, u _{1}) dx + b (x, u, u _{1}) du + c (x, u, u _{1}) du _{1}\,}{\ displaystyle \ theta = a (x, u, u _{1}) dx + b (x, u, u _{1}) du + c (x, u, u _{1}) du _{1}\,}
Сечение σ в Γp (π) имеет первое продолжение

{\ displaystylej ^{1}\ sigma =(u, u _{1})=\ left (\ sigma (p),\ left.{\ frac {\ partial \ sigma }{\ partialx }}\ right |_{ p }\ right).}{\ displaystylej ^{1}\ sigma =(u, u _{1})=\ left (\ sigma (p),\ left.{\ frac {\ partial \ sigma }{\ partialx }}\ right |_{ p }\ right).}
Следовательно, (j 1 σ)* θ можно вычислить как

{\ displaystyle {\ begin { aligned }\ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)^{*}\ theta &=\ theta \ circj _{ p }^{1}\ sigma \\&= a (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) dx + b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) d (\ sigma (x))+ c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) d (\ sigma '(x))\\&= a (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) dx + b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma '(x) dx + c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma ''(x) dx \\&=[ a (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))+ b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma '(x)+ c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma ''(x)] dx \ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned }\ left (j _{ p }^{1}\ sigma \ right)^{*}\ theta &=\ theta \ circj _{ p }^{1}\ sigma \\&= a (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) dx + b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) d (\ sigma (x))+ c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) d (\ sigma (x)) '(x))\\&= a (x,\ sigma (x),\ sigma '(x)) dx + b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma '(x) dx + c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma "(x) dx \\&=[ a (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))+ b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma '(x)+ c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ sigma "(x)] dx \ end { aligned }}}
Это исчезнет для всех сечений σ тогда и только тогда, когда c = 0 и a = − bσ '(x). Следовательно, θ = b (x, u, u 1) θ 0 обязательно должно быть кратным основной контактной форме θ 0 = du − u 1 dx. Переход ко второму реактивному пространству J 2(π) с дополнительной координатой u 2, такой, что

{\ displaystyleu _{2}(j _{ p }^{2}\ sigma)=\ left.{\ frac {\ partial ^{2}\ sigma }{\ partialx ^{2}}}\ right |_{ p }=\ sigma ''(x)\,}{\ displaystyleu _{2}(j _{ p }^{2}\ sigma)=\ left.{\ frac {\ partial ^{2}\ sigma }{\ partialx ^{2}}}\ right |_{ p }=\ sigma "(x)\,}
общая 1-форма имеет конструкцию

{\ displaystyle \ theta = a (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + b (x, u, u _{1}, u _{2}) du + c (x, u, u _{1}, u _{2}) du _{1}+ e (x, u, u _{1}, u _{2}) du _{2}\,}{\ displaystyle \ theta = a (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + b (x, u, u _{1}, u _{2}) du + c (x, u, u _{1}, u _{2}) du _{1}+ e (x, u, u _{1}, u _{2}) du _{2}\,}
Это контактная форма, если и только если

{\ displaystyle \ theta = b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ theta _{0}+ c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ theta _{1},}{\ displaystyle \ theta = b (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ theta _{0}+ c (x,\ sigma (x),\ sigma '(x))\ theta _{1},}
где θ 1 = du 1 − u 2 dx -следующая базовая контактная форма (Заметим, что здесь мы отождествляем форму θ 0 с ее возвратом {\ displaystyle \ left (\ pi _{2,1}\ right)^{*}\ theta _{0}}{\ displaystyle \ left (\ pi _{2,1}\ right)^{*}\ theta _{0}}к J 2(π)).

В общем случае, обеспечивая x, u ∈ R, контактную форму на Jr +1(π) можно записать как линейную комбинацию основных контактных форм

{\ displaystyle \ theta _{ k }= du _{ k }- u _{ k +1} dx \ qquadk =0,\ ldots, r -1\,}{\ displaystyle \ theta _{ k }= du _{ k }- u _{ k +1} dx \ qquadk =0,\ ldots, r -1\,}
где

{\ displaystyleu _{ k }\ left (j ^{ k }\ sigma \ right)=\ left.{\ frac {\ partial ^{ k }\ sigma }{\ partialx ^{ k }}}\ right |_{ p }.}{\ displaystyleu _{ k }\ left (j ^{ k }\ sigma \ right)=\ left.{\ frac {\ partial ^{ k }\ sigma }{\ partialx ^{ k }}}\ right |_{ p }.}
Similar arguments lead to a complete characterization of all contact forms.

In local coordinates, every contact one-form on Jr+1(π) can be written as a linear combination

{\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}{\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}
with smooth coefficients {\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}{\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })} of the basic contact forms

{\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}{\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}
|I| is known as the order of the contact form {\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}{\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}. Note that contact forms on Jr+1(π) have orders at most r. Contact forms provide a characterization of those local sections of πr+1 which are prolongations of sections of π.

Let ψ ∈ ΓW(πr+1), then ψ = jr+1σ where σ ∈ ΓW(π) if and only if {\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}{\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}

Vector fields
A general vector field on the total space E, coordinated by {\displaystyle (x,u)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}{\displaystyle (x,u)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}, is

{\displaystyle V\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}{\displaystyle V\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}
A vector field is called horizontal, meaning that all the vertical coefficients vanish, if {\displaystyle \phi ^{\alpha }}{\displaystyle \phi ^{\alpha }} = 0.

A vector field is called vertical, meaning that all the horizontal coefficients vanish, if ρi = 0.

For fixed (x, u), we identify

{\displaystyle {\begin{cases}\psi:E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}{\displaystyle {\begin{cases}\psi:E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}
is called a vector field on E with

{\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}{\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}
and ψ in Γ(TE).

The jet bundle Jr(π) is coordinated by {\displaystyle (x,u,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha })\,}{\displaystyle (x,u,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha })\,}. For fixed (x, u, w), identify

{\displaystyle V_{(x,u,w)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}{\displaystyle V_{(x,u,w)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}
having coordinates

{\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}{\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}
with an element in the fiber {\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi)}{\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi)} of TJr(π) over (x, u, w) ∈ Jr(π), called a tangent vector in TJr(π). Here,

{\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}{\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}
are real-valued functions on Jr(π). A section

{\displaystyle {\begin{cases}\Psi:J^{r}(\pi)\to TJ^{r}(\pi) \\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}{\displaystyle {\begin{cases}\Psi:J^{r}(\pi)\to TJ^{r}(\pi) \\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}
is a vector field on Jr(π), and we say {\displaystyle \Psi \in \Gamma (T(J^{r}\pi)).}{\displaystyle \Psi \in \Gamma (T(J^{r}\pi)).}

Partial differential equations
Let (E, π, M) be a fiber bundle. An r-th order partial differential equation on π is a closed embedded submanifold S of the jet manifold Jr(π). A solution is a local section σ ∈ ΓW(π) satisfying {\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}{\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}, for all p in M.

Consider an example of a first order partial differential equation.

Example
Let π be the trivial bundle (R2 × R, pr1, R2) with global coordinates (x1, x2, u1). Then the map F: J1(π) → R defined by

{\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}{\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}
gives rise to the differential equation

{\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \:\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}{\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \:\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}
which can be written

{\displaystyle {\begin{cases}\sigma:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}{\displaystyle {\begin{cases}\sigma:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}
has first prolongation given by

{\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}{\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}
and is a solution of this differential equation, because

{\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}
and so {\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}{\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S} for every p ∈ R2.

Jet prolongation
A local diffeomorphism ψ: Jr(π) → Jr(π) defines a contact transformation of order r if it preserves the contact ideal, meaning that if θ is any contact form on Jr(π), then ψ*θ is also a contact form.

The flow generated by a vector field Vr on the jet space Jr(π) forms a one-parameter group of contact transformations if and only if the Lie derivative {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta)}{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta)} of any contact form θ preserves the contact ideal.

Let us begin with the first order case. Consider a general vector field V1 on J1(π), given by

{\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}{\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}
We now apply {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}} to the basic contact forms {\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}{\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},} and expand the exterior derivative of the functions in terms of their coordinates to obtain:

{\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}{\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}
The former requirements provide explicit formulae for the coefficients of the first derivative terms in V1:

Thus, the contact conditions uniquely prescribe the prolongation of any point or contact vector field. That is, if {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}} satisfies these equations, Vr is called the r-th prolongation of V to a vector field on Jr(π).

These results are best understood when applied to a particular example. Hence, let us examine the following.

Example
Consider the case (E, π, M), where E ≅ R2 and M ≃ R. Then, (J1(π), π, E) defines the first jet bundle, and may be coordinated by (x, u, u1), where

{\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma)&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma)&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\точка {\sigma }}(x)\end{aligned}}}
для всех p ∈ M и σ в Γp(π). Контактная форма на J1(π) имеет вид

{\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}{\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}
Рассмотрим вектор V на E, имеющий вид

{\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}{\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}
Тогда первое продолжение этого векторного поля до J1(π) равно

{\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial x}}+Z \\&=x {\frac{\partial u}}-u {\frac{\partial x}}+\rho (x,u,u_ {1}) {\frac{\partial u_{1}}}\end {aligned}}}
Если теперь взять производную Ли контактной формы относительно этого протяженного векторного поля, {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta),}{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta),}то получим

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}) dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})] dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})] dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}
Следовательно, для сохранения контактного идеала требуется

{\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}{\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Lefttrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}
И поэтому первое продолжение V к векторному полю на J1(π) является

{\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}{\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial} {\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}.}
Контактные формы

{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}
Чтобы сохранить идеал контакта, мы требуем

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta)=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})=0\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta)=0\\{mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})=0\end{aligned}}}
Теперь, не имеет зависимости u2. Следовательно, из этого уравнения мы получим формулу для ρ, которая обязательно будет тем же результатом,что и для V 1. Следовательно, задача аналогична продолжению векторного поля V 1 до J 2(π). Другими словами, мы можем сгенерировать r -е удлинение векторного поля рекурсивным применением производной Ли контактных форм по отношению к удлиненным векторным полям в r раз. Итак, у нас есть

{\ displaystyle \ rho (x, u, u _{1})=1+ u _{1} u _{1}}{\ displaystyle \ rho (x, u, u _{1})=1+ u _{1} u _{1}}
и вот

{\ displaystyle {\ begin { aligned } V ^{2}&= V ^{1}+\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}){\ frac {\ partial }{\ partialu _{2}}}\\&= x {\ frac {\ partial }{\ partialu }}- u {\ frac {\ partial }{\ partialx }}+(1+ u _{1} u _{1}){\ frac {\ partial }{\ partialu _{1}}}+\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}){\ frac {\ partial }{\ partialu _{2}}}\ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned } V ^{2}&= V ^{1}+\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}){\ frac {\ partial }{\ partialu _{2}}\\&= x {\ frac {\ partial } {\ partialu }}- u {\ frac {\ partial } {\ partialx }}+(1+ u _{1} u _{1}) {\ frac {\ partial } {\ partialu _{1}}}+\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) {\ frac {\ partial } {\ partialu _{2}}}\ end { aligned }}}
Поэтому производная Ли второй контактной формы по отношению к V 2 равна

{\ displaystyle {\ begin { aligned }{\ mathcal { L }}_{ V ^{2}}(\ theta _{1})&={\ mathcal { L }}_{ V ^{2}}(du _{1}- u _{2} dx)\\&={\ mathcal { L }}_{ V ^{2}} du _{1}-\ left ({\ mathcal { L }}_{ V ^{2}} u _{2}\ right) dx - u _{2}\ left ({\ mathcal { L }}_{ V ^{2}} dx \ right)\\&= d (V ^{2} u _{1})- V ^{2} u _{2} dx - u _{2} d (V ^{2} x)\\&= d (1+ u _{1} u _{1})-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2} du \\&=2 u _{1} du _{1}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2} du \\&=2 u _{1} du _{1}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2}(\ theta + u _{1} dx)& du &=\ theta + u _{1} dx \\&=2 u _{1}(\ theta _{1}+ u _{2} dx)-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2}(\ theta + u _{1} dx)& du _{1}&=\ theta _{1}+ u _{2} dx \\&=[3 u _{1} u _{2}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2})] dx + u _{2}\ theta +2 u _{1}\ theta _{1}\ end { aligned }}}{\ displaystyle {\ begin { aligned }{\ mathcal { L }}_{ V ^{2}}(\ theta _{1})&={\ mathcal { L }}_{ V ^{2}}(du _{1}- u _{2} dx)\\&={\ mathcal { L }}_{ V ^{2}} du _{1}-\ left ({\ mathcal { L }}_{ V ^{2}} u _{2}\ right) dx - u _{2}\ left ({\ mathcal { L }}_{ V ^{2}} dx \ right)\\&= d (V ^{2} u _{1})- V ^{2} u _{2} dx - u _{2} d (V ^{2} x)\\&= d (1+ u _{1} u _{1})-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2} du \\&=2 u _{1} du _{1}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2} du \\&=2 u _{1} du _{1}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2}(\ theta + u _{1} dx)& du &=\ theta + u _{1} dx \\&=2 u _{1}(\ theta _{1}+ u _{2} dx)-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2}) dx + u _{2}(\ theta + u _{1} dx)& du _{1}&=\ theta _{1}+ u _{2} dx \\&=[3 u _{1} u _{2}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2})] dx + u _{2}\ theta +2 u _{1}\ theta _{1}\ end { aligned }}}
Следовательно, для {\ displaystyle {\ mathcal { L }}_{ V ^{2}}(\ theta _{1})}{\ displaystyle {\ mathcal { L }}_{ V ^{2}}(\ theta _{1})}сохранения контактного идеала нам требуется

{\ displaystyle 3 u _{1} u _{2}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2})=0\ quad \ Leftrightarrow \ quad \ phi (x, u, u _{1}, u _{2})=3 u _{1} u _{2}.}{\ displaystyle 3 u _{1} u _{2}-\ phi (x, u, u _{1}, u _{2})=0\ quad \ Leftrightarrow \ quad \ phi (x, u, u _{1}, u _{2})=3 u _{1} u _{2}.}
И поэтому второе продолжение V к векторному полю на J 2(π) является

Бесконечные реактивные пространства
Обратный предел последовательности проекций {\ displaystyle \ pi _{ k +1, k }: J ^{ k +1}(\ pi)\ toJ ^{ k }(\ pi)}\ pi _{{ k +1, k }}: J ^{{ k +1}}(\ pi)\ toJ ^{ k }(\ pi)порождает бесконечное реактивное пространство J ∞ (π). Точка{\ displaystylej _{ p }^{\ infty }(\ sigma)} j _{ p }^{\ infty }(\ sigma)-это класс эквивалентности сечений π, имеющих ту же k -струю в p, что и σ для всех значений k. Естественная проекция π ∞ отображается {\ displaystylej _{ p }^{\ infty }(\ sigma)} j _{ p }^{\ infty }(\ sigma)в p.