Классическая теория парамагнетизма Ланжевена

ПАРАМАГНЕТИЗМ

Парамагнетизм- это свойство вещества, состоящего из отдельных и независимых диполей, намагничиваться, если данное вещество внести в магнитное поле, которое сообщено внешним источником.

 

Если внести любое вещество в магнитное поле, то под его действием вещество приобретает магнитный момент m, который для не слишком сильных полей можно записать:

,

где Н - напряженность магнитного поля;

c- магнитная восприимчивость.

Парамагнетики - это такие вещества, у которых c>0, парамагнитная восприимчивость c_n, значительно больше диамагнитной c₀. К парамагнитным веществам относятся и чистые металлы, в которых спины электронов проводимости, могут слабо упорядочиваться под действием магнитного поля. Парамагнетизм в этом случае незначителен, а так как на электроны проводимости тепловое движение не оказывает большого влияния, то намагниченность практически не зависит от температуры. Однако существуют вещества, которые обнаруживают сильные парамагнитные свойства, обусловленные существованием в атомах или молекулах постоянных магнитных моментов электронов с неспаренными спинами, например: EuSiO₃, FeNH₄(SO₄)₂·12H₂O, KCr(SO₄)₂·12H₂O, Cd₂(SO₄)₃·8H₂O, Cd₂O₃ и др. В этих веществах расстояние между магнитно-активными ионами достаточно велико, и взаимодействие между ними практически отсутствует.

Вследствие теплового движения магнитные моменты отдельных атомов или ионов ориентируются случайным образом. Если такую систему поместить во внешнее магнитное поле, то магнитные моменты атомов или ионов будут стремиться ориентироваться вдоль поля, в результате чего система приобретает результирующую намагниченность.

Свойство системы отдельно независимых диполей намагничиваться во внешнем магнитном поле называется парамагнетизмом.

Существует несколько теорий, которые рассматривают поведение парамагнетика во внешнем поле. При рассмотрении физики этого процесса, большую роль играют не только напряженность магнитного поля, но также температура. Впервые данную проблему рассмотрел в 1905 году Ланжевен и создал свою теорию, которая называется классической теорией парамагнетизма Ланжевена. Но она в состоянии лишь приблизительно описать поведение материала в поле. Более точно его описывает квантовая теория, которая основана, на квантовой природе магнитного и механического момента атома.

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

Основное отличие между парамагнитными и ферромагнитными материалами состоит в характере взаимодействия между соседними магнитоактивными атомами или ионами.

Рассматривая парамагнетизм, мы подчеркивали, что неспаренные спины данного атома не влияют на магнитные моменты соседнего атома, т.е. считали взаимодействие между ними ничтожно малым. В ферромагнитных веществах магнитоактивные атомы расположены достаточно близко друг к другу, что приводит к возникновению сильного взаимодействия между ними, в результате которого магнитные моменты атомов располагаются в пространстве не произвольным образом, а в зависимости от ориентации магнитных моментов атомов окружения. Такое взаимодействие приводит к тому, что магнитные моменты ориентируются в большой области кристалла, параллельно друг другу вдоль определенного направления. Такие области, в которых существует самопроизвольная намагниченность (в отсутствие внешнего поля), называются доменами. Величина спонтанного магнитного момента равна Ms - намагниченности насыщения при данной температуре. При температуре 0 К ориентация магнитных моментов является полной, и спонтанная намагниченность достигает своего максимально возможного значения. С увеличением температуры величина спонтанного момента уменьшается, вследствие влияния теплового движения на расположение магнитных моментов, и при некоторой температуре, называемой температурой Кюри, взаимодействие между магнитными ионами становится недостаточным для поддержания упорядоченного расположения спинов, и ферромагнитное вещество переходит в парамагнитное состояние. При обычных температурах ферромагнетики намагничиваются до насыщения уже в слабых внешних магнитных полях. Для них характерно: явление гистерезиса - зависимость магнитных свойств от предшествующего намагничивания; большое положительное значение магнитной проницаемости, а также существенная и нелинейная зависимость ее от напряженности поля и температуры.

Внутреннее взаимодействие, влияющее на магнитные свойства вещества, можно охарактеризовать величиной энергии этого взаимодействия. Если сравнивать эту величину с величинами других взаимодействий в кристалле, влияющих также на магнитные свойства, то можно установить природу взаимодействия. Энергия взаимодействия достаточно велика, так как температура Кюри для многих кристаллов равна 100 – 1000 K. Это означает, что при этих температурах Е_ВЗ оказывается сравнимой с энергией тепловых колебаний атомов, которая приблизительно пропорциональна значению -kT.

Отсюда сразу следует, что Е_ВЗ не связана с диполь - дипольным магнитным взаимодействием, энергия которого составляет величину E»m_Б²/r³=10^-25Дж, где r-межатомное расстояние; если сравнить эту энергию с тепловой при температуре Кюри, то получим значение Т_К=10^-2 К, что намного ниже экспериментальных данных. Естественным объяснением этого расхождения остается предположение, что магнитные свойства вещества определяются электростатическим взаимодействием между магнитными атомами. Величина электростатической энергии равна Е_ст» Q²/r²»10¹⁹ – 10²⁰ Дж, что при сравнении с тепловой энергией даст значения температуры Кюри, близкие к экспериментальным. В классической физике объяснить зависимость магнитных свойств от электростатической энергии не удалось, и только в квантовой механике это явление нашло свое объяснение. Оказалось, что энергия магнитного упорядочения, так же, как и энергия связи кристаллической решетки, определяется электростатическим взаимодействием атомов, причем такой частью этого взаимодействия, которая существенно зависит от взаимной ориентации спинов электронов. Эту часть электростатической энергии называют обменной энергией.

Обменная энергия.

Обменная энергия имеет квантовомеханическую природу и является следствием ограничений, накладываемых принципом Паули (принцип, приводящий к ассиметрии волновых функций относительно перестановки пространственных и спиновых координат пары электронов.) на волновые функции электронов, что приводит к зависимости собственных значений волновых функций от относительной ориентации спинов электронов, что можно представить "взаимодействием", ориентирующим спиновые механические, а следовательно, и магнитные моменты атомов. Силы обменного взаимодействия не являются дальнодействующими, так как значение волновой функции электрона по мере возрастания расстояния электрона от центра иона экспоненциально уменьшается, следовательно величина взаимодействия очень чувствительна к расстоянию между незаполненными оболочками магнитных ионов. Также из анализа обменного взаимодействия следует, что минимум обменной энергии для ферромагнитных веществ будет в случае положительной величины Je, при отрицательном значении обменного интеграла энергетически выгодным становится антипараллельная, то есть антиферромагнитная ориентация спиновых моментов соседних атомов.

Сближение магнитоактивных атомов приводит не только к обменному взамодействию, но и к перераспределению электронов в 3d и 4S оболочках, в этом случае результирующее распределение будет отличаться от распределения, имеющего место в свободных атомах, и эффективный результирующий спиновый момент иона будет дробным числом, что заставляет предположить, что электрон часть времени находится в 3d со-стоянии, а оставшееся время в 4S-состоянии. Можно провести аналогию с об-менным взаимодействием, и распределение электронов в таких веществах можно рассмотреть с точки зрения модели "коллективизированных" частиц, в которой имеют дело с энергетическими зонами, а не с уровнями, как это имело место в предположении о локализованных частицах. Энергетические зоны могут перекрываться (картина такая же, как при рассмотрении квантовой теории проводимости металлов), в результате чего электроны могут свободно переходить из 3d -состояния в 4S состояние и наоборот. Эту картину можно рассматривать, принимая во внимание волновые функции электронов, представляющих решение уравнения Шредингера, характеризующее статистически вероятное нахождение электрона. Отсюда следует, что электрон не является локализованной частицей, а скорее всего пространственно размазанным электронным зарядом, зачастую представляемым в виде облака. Плотность заряда в каждой точке пропорциональна абсолютной величине квадрата волновой функции.

Распределение заряда в кристалле можно представить в приближении силь-ной связи в виде линейной комбинации атомных орбиталей (метод ЛКАО). Волновые функции электронов входят в линейную комбинацию с различными коэффициентами, отражающими то, что электрон часть времени находится в 3d-состоянии, а часть в 4S -состоянии. Основываясь на таких понятиях, свойства ферромагнетиков можно рассматривать с точки зрения электронных энергетических зон (полос), представляющих собой набор близко расположенных уровней. Ширина такой зоны зависит от расстояния между атомами в кристалле, при сближении атомов происходит расщепление их энергетических уровней и расширение уровней в зоны. Ширина зоны пропорциональна интенсивности взаимодействия или степени перекрытия оболочек соседних атомов. При этом S-полоса и d-полоса накладываются друг на друга. Ферромагнетизм в переходных металлах эта модель объясняет с помощью учета обменной энергии, которая осуществляет сдвиг полос для электронов проводимости со спинами разных проекций, что приводит к минимуму анергии самопроизвольно намагниченного состояния электронного газа.

Другим направлением, также рассматривающим приближенную теорию ферромагнетизма, являются S-d или S-f обменные модели, которые основаны на предположении, что ферромагнитное состояние металлов и сплавов вызывается эффективной дальнодействующей обменной связью, обусловленной S-d (или S - f) обменом между электронами проводимости и парамагнитными ионами или косвенным обменом между ионами через возбужденное состояние электронов наружных слоев, лежащих между ними диамагнитных ионов других элементов (например, Сu). Такое приближение наиболее характерно для редкоземельных соединений, в которых незаполненные 4f -оболочки практически не перекрываются (здесь сохраняется то же локализованное состояние, что и в свободном атоме), и существование сильного прямого f-f -обменного взаимодействия невозможно. Несмотря на успешное объяснение тех или иных магнитных свойств веществ приведенными моделями, теория ферромагнетизма до сих пор испытывает определенные трудности.

 

Доменная структура магнитных материалов

 

Магнитный момент ферромагнитного образца в отсутствие внешнего магнитного поля, как правило, либо равен нулю, либо очень мал, что можно объяснить только тем, что намагни­ченность в материале распределена не однородно, а в основном замыкается внутри образца, чтобы не создавалось поле рас­сеяния. Это предположение, впервые введено Вейссом. Он предположил, что образцы магнитных материалов со­стоят из ряда маленьких областей, внутри каждой из которых намаг­ниченность равна намагниченности насыщения; однако направление намагниченности в различных областях не должно быть обязательно параллельным друг другу. Возможное схематическое распределение ферромагнитных областей с нулевым результирующим магнитным мо­ментом показано на рис. 1 (справа) для монокристалла. Еще раньше пред­полагалось, что в поликристаллических образцах каждый кристаллит может содержать одну область и что результирующий магнитный момент может быть равен нулю благодаря хаотическому распре­делению осей зерен, как пока­зано на рис. 1 (слева).

Рис. 1 Схематическое распределение ферромагнитных областей с нулевым результирующим магнитным моментом.

Увеличение результирую­щего магнитного момента об­разца под действием внешнего магнитного поля можно пред­ставить себе осуществляющим­ся по теории ферромагнитных областей с помощью двух не­зависимых процессов:

1) увели­чения объема областей, намаг­ниченность которых направлена относительно поля, за счет областей с противоположно ориентированной на­магниченностью (рис. 2, б);

2) вращения вектора намагниченности в направлении поля (рис. 2, а).

Рис.2 Увеличение результирующего момента путем: (а) – вращения вектора намагниченности, (б) – увеличения объема областей, намагниченность которых направлена относительно Н.

При более детальном изучении оказалось, что в слабых полях изменение намагниченности обычно происходит в основном за счет смещения границ областей, так что области изменяются по своим размерам. В сильных полях намагниченность обычно изменяется за счет вращения результирующего магнитного момента.

Образование доменной структуры

    Для более детального рассмотрения причин образования доменной структуры магнитных материалов, рассмотрим ферромагнитный монокристалл, имеющий форму бесконечно длинного стержня, с осью которого совпадает направление лёгкого намагничивания (рис. 3, а). Он должен представлять собой один сплошной домен, т. е. все векторы спонтанного намагничивания в нём должны быть расположены параллельно друг другу и оси стержня. Реаль­но подобный случай может быть осуществлён в очень тонкой ферромагнитной плёнке (толщиной по­рядка 10^-5-10^-6 см).

У обычных кристаллов конеч­ных размеров однодоменная магнитная структура является энер­гетически невыгодной. Благодаря су­ществованию размагничивающего по­ля Н = N I они обладают магнитной энергией W _M = N / 2. Энергетически выгодно разделение подобного кристалла на несколько доменов таким образом, чтобы соседние домены были намагничены антипараллель­но, поскольку при этом уменьшается размагничивающий фактор N (рис. 3, б, в). Чем на большее количество антипараллельных доме­нов разобьётся кристалл, тем меньше будет его магнитная энергия. Магнитная энергия ещё больше снижается, если антипараллельно намагниченные домены перпендикулярно замыкаются намагниченным доменом (рис. 3, г, д). Деление на домены обычно энергетически выгодно в тех случаях, когда ферромагнетики имеют не очень малые размеры (больше чем 10^-4-10^-5 см).

Рис. 3. Простые доменные структуры.

Расчет доменной структуры

В ненамагниченном образце магнитного материала существуют области 10^-2 – 10^-5 см, в которых магнитные моменты ориентированы параллельно друг другу. Такие области называются доменами. Каждая такая область намагничена до насыщения и имеет определенный суммарный магнитный момент.

Образование доменов внутри магнитного материала можно объяснить, исходя из известного положения о том, что устойчивым состоянием системы является то состояние, которому соответствует минимум свободной энергии.

Если бы магнитный кристалл был намагничен до насыщения, то он представлял бы собой постоянный магнит, создающий внешнее магнитное поле (поле рассеяния) (рис.5.10 а) которое обладает определенной потенциальной энергией. На рис. 5.10 а стрелкой обозначен магнитный момент домена. Приведенное на рис. 5.10 разбиение структур на ряд областей приводит к тому, что магнитные потоки, и поле рассеяния оказываются более короткими для образца, состоящего из доменов с взаимно противоположными доменами, энергия внешнего магнитного поля уменьшается в N раз по сравнению с энергией однодоменного образца. Чем мельче домены, тем меньше путь силовых линий магнитного поля через воздух и связанная с ним магнитостатическая энергия кристалла.

Рис. 5.10. Полосовые и замыкающие доменные структуры

Ещё более выгодной с энергетической точки зрения является доменная структура в случае, когда магнитный поток целиком замкнут внутри образца (рис. 5.10г, д). Граничные домены в виде трехгранных призм называются замыкающими доменами, так как они замыкают магнитный поток основных доменов внутри образца.

Дробление кристалла на домены приводит к образованию между ними граничных слоев "доменных стенок", имеющих свою энергию s_w. Эта энергия тем больше, чем больше общая длина доменных стенок. Разбиение образца на домены будет происходить до тех пор, пока величина магнитостатической энергии Е не компенсируется энергией доменных стенок s_w

Таким образом, размер равновесных доменов определяется энергией доменных границ.

В граничном слое l _C намагниченность должна изменяться от значения +М_S в правом домене до -M_Sв левом. Учитывая лишь магнитокристаллографическую анизотропию, это изменение должно осуществляться скачком на расстоянии доменной стенки, так как любые отклонения вектора намагниченности от оси легкого намагничивания приводят к увеличению энергии магнитной анизотропии. Если предположить, что изменение направления магнитного момента происходит постепенно за счет обменного взаимодействия, то для такого изменения направления моментов обменная энергия меньше, чем для первого случая.

Для уменьшения обменной энергии границы необходимо, чтобы ориентация моментов в соседних атомных плоскостях была малой. Баланс между обменной энергией и энергией анизотропия должен привести к некоторой толщине lc доменной стенки (рис.5.11).

Этот вид доменной стенки получил название стенки Блоха.

Рис. 5.11. Доменная граница между 180-градусными доменами

Поскольку каждый спин в стенке изменяет свое направление перпендикулярно доменной стенке, то энергию обменного взаимодействия Е_обм=-2JS_iS_j двух соседних атомов i и j можно записать в виде

,

где j- угол между направлениями спинов соседних атомов, J - константа обменного взаимодействия. Так как угол j мал, энергия E_обм может быть записана в виде Е_обм=JS²j².

Если принять, что доменная стенка l _C состоит из атомов l _C=na, где a - межатомное расстояние, то угол j=p/n.

Учитывая, что на единицу площади стенки приходится 1/a² атомных рядов, получаем выражение для полной обменной энергии на единицу площади стенки

.

(5.26)

Кроме обменной энергии учитываем энергию анизотропии на единицу площади стенки по порядку величины, равной

,

(5.27)

К₁ - константа анизотропии.

Для полной энергии доменной стенки на единицу площади имеем

.

(5.28)

Найдем минимум этого выражения по

,	(5.29)
.	(5.30)

Из уравнения (5.29) видно, что толщина доменной стенки увеличивается с ростом обменной энергии и уменьшается с увеличением энергии анизотропии.

Формулы для l _C и s позволяют определить толщину доменной стенки и ее энергию.

Пример: Т_C=500 К, К1=10⁵ эрг/см³, а=5 10^-8 см

s=?, l _C=?

l _C = 3 10⁵ см,s=1 эрг/см²

При определении размера доменов рассмотрим полосовую доменную структуру в кубическом образце (рис. 5.11) с ребром L. Магнитостатическая энергия куба, состоящая из n полосовых доменов может быть выражена в виде

.

где D - ширина полосового домена.

Энергия доменной стенки в этом кубе выражается формулой

.

(5.31)

При решении этих уравнений получаем выражение для полной энергии куба на единицу объема

.

(5.32)

из минимума этой энергии найдем ширину домена

,	(5.33)
,	(5.34)

при s=1 эрг/см², L=1 см, М₀=2 10² Гс получаем D=3 10^-3 см, U=5 10² эрг/см³.

Рассмотрим доменную структуру с замыкающими магнитными доменами или так называемую структуру Ландау-Лифшица [1].

Ландау и Лифшиц показали [1], что энергия доменной стенки с замкнутой структурой примерно равна энергии с полосовой структурой

.

(5.35)

Учитывая, что замыкающие домены намагничены в направлении оси трудного намагничивания, энергию магнитной кристаллографической анизотропии можно определить

.

(5.36)

Отсюда удельная энергия образца

.

(5.37)

Минимум этой энергии соответствует равновесной ширине полосового домена

.

(5.38)

Пример:

При s=1 эрг/см, L=1 см, К₁=2 10⁵ эрг/cм³ получаем D=5 10^-3 cм, U=5 10² эрг/cм³.

Из уравнения (5.34), (5.35) видно, что в сильноанизотропных кристаллах энергетически более выгодной доменной структурой является полосовая, а при малой анизотропии - структура Ландау-Лифшица.

Следует отметить, что рассмотренные доменные структуры при наблюдении их сверху представляют собой полоски равной толщины. Такую доменную структуру называют полосовой или страйп - структурой. Особенность приведенных структур состоит в том, что если к этой структуре приложить внешнее магнитное поле, перпендикулярное его плоскости Н_^, то домены, в которых направление вектора M_S параллельно H_^, начинают увеличиваться за счет доменов с противоположной ориентацией. Дальнейшее увеличение поля H_^ приводит к стягиванию доменов с противоположной ориентацией М_S в цилиндрические домены (ЦМД). Цилиндрические домены стабильно существуют в пластинах магнитоодноосных кристаллов в диапазоне полей H_^, равном примерно 10% от 4pМ_S.

Полная энергия ЦМД, изображенного на рис.5.12, складывается из энергии доменной стенки Е_д.с., энергии взаимодействия с внешним полем Е_н и магнитостатической энергией Е_м.с:

,

(5.39)

где s - энергия стенки на единицу площади.

Рис. 5.12. Цилиндрический магнитный домен с радиусом r_O
в пластине толщиной h

Рис. 5.13. Поле, действующее на ЦМД в зависимости от его радиуса

Если предположить, что s не зависит от r_o, то величину силы, действующую на стенку, можно представить в виде

.

(5.40)

Приравнивая это уравнение к нулю, можно найти равновесный радиус домена r_о. Эффективное поле, действующее на цилиндрический домен, выражается уравнением Н_эфф=F/4pМ₀rh;

.

(5.41)

Из уравнения (5.41) видно, что поле стенки Н_ст и внешнее поле Но стремятся уменьшить радиус домена, а поле размагничивания Н_м.с. - увеличить.

Баланс этих взаимодействий определяет диаметр стабильного ЦМД.

Условия равновесия ЦМД в зависимости от параметров материала и внешнего магнитного поля могут быть получены графически из зависимостей полей Н_м.с. и Н_cт+Н₀ от радиуса домена r_о.

На рис. 5.13 приведено графическое решение уравнения (5.41).

Для существования стабильной ЦМД структуры в магнитоодноосной пластине необходимы определенные соотношения между толщиной пластины h, диаметром домена d=2r_o и характеристической длиной l =s/4pМ₀, зависящей от физических параметров материалов. В зависимости от соотношения между этими величинами могут быть определены границы устойчивости ЦМД. Минимально устойчивый диаметр домена (диаметр коллапса) достигается для h примерно 3,3 l, а минимальный диаметр ЦМД, при котором возможен переход в полосовой домен, осуществляется при h = 4,21.

Пределы существования ЦМД по внешнему полю в толстых пластинах близки по величине 4pМ₀, а в тонких пленках ЦМД стабильны в узком диапазоне малых полей и имеют большие размеры.

Изложенные выводы позволяют определить параметры ЦМД, связанных с физическими константами материала и используемых при оценке пригодности их применения в практических устройствах.

К таким параметрам относятся характеристическая длина l, операционный диаметр ЦМД d, подвижность доменной границы m,скорость доменной стенки V, коэрцитивность материала Н_С, поле коллапса Н_кол. Характеристическая длина определяется выражением

где s=4(AK₁)^1/2, [1]

где А - постоянная обменной энергии;

К₁- константа одноосной анизотропии.

Подвижность доменной границы m, определяемая из зависимости скорости продвижения доменной стенки от величины приложенного внешнего поля, выражается в виде

,

(5.42)

где g- гиромагнитное отношение;

l- параметр затухания Ландау-Лифшица;

a=M_Sl/g- параметр затухания Гильберта.

Как уже указывалось ранее, для стабильного существования ЦМД в магнитных материалах необходимо существование четко выраженной одноосной анизотропии

.

(5.43)

Отношение поля анизотропии к величине намагниченности насыщения определяется как фактор качества магнитоодноосного материала

.

(5.44)

В практических ЦМД материалах принято считать необходимым значение q>3. Это связано с тем, что при q<1 возможны спонтанное зарождение доменов и отклонение формы от цилиндрической. С учетом фактора качества выражение (5.42) может быть переписано

;

из него следует, что с увеличением фактора качества подвижность границы уменьшается. Для большинства одноосных материалов это соотношение выполняется. Однако для ортоферритов, у которых q>20, подвижность стенки ЦМД достигает очень больших значений.

Возможность ЦМД перемещаться в плоскости монокристаллической пластины под действием поля смещения H_^ положено в основу запоминающих и других устройств, где носителем информации служат ЦМД.

 

Список литературы

Е.М.Лифшиц Л.Д.Ландау Теоретическая физика. Квантовая механика. - Т. 3.

С.Крупичка Физика ферритов. - Т. 1.

Савельев И.В. Курс общей физики.. - Т. 3.

Черкасов В.П.Чепарин. А.П Магнитные материалы и элементы. - 2002 r..

Я.Смит Ферриты.

 

 

ПАРАМАГНЕТИЗМ

Парамагнетизм- это свойство вещества, состоящего из отдельных и независимых диполей, намагничиваться, если данное вещество внести в магнитное поле, которое сообщено внешним источником.

 

Если внести любое вещество в магнитное поле, то под его действием вещество приобретает магнитный момент m, который для не слишком сильных полей можно записать:

,

где Н - напряженность магнитного поля;

c- магнитная восприимчивость.

Парамагнетики - это такие вещества, у которых c>0, парамагнитная восприимчивость c_n, значительно больше диамагнитной c₀. К парамагнитным веществам относятся и чистые металлы, в которых спины электронов проводимости, могут слабо упорядочиваться под действием магнитного поля. Парамагнетизм в этом случае незначителен, а так как на электроны проводимости тепловое движение не оказывает большого влияния, то намагниченность практически не зависит от температуры. Однако существуют вещества, которые обнаруживают сильные парамагнитные свойства, обусловленные существованием в атомах или молекулах постоянных магнитных моментов электронов с неспаренными спинами, например: EuSiO₃, FeNH₄(SO₄)₂·12H₂O, KCr(SO₄)₂·12H₂O, Cd₂(SO₄)₃·8H₂O, Cd₂O₃ и др. В этих веществах расстояние между магнитно-активными ионами достаточно велико, и взаимодействие между ними практически отсутствует.

Вследствие теплового движения магнитные моменты отдельных атомов или ионов ориентируются случайным образом. Если такую систему поместить во внешнее магнитное поле, то магнитные моменты атомов или ионов будут стремиться ориентироваться вдоль поля, в результате чего система приобретает результирующую намагниченность.

Свойство системы отдельно независимых диполей намагничиваться во внешнем магнитном поле называется парамагнетизмом.

Существует несколько теорий, которые рассматривают поведение парамагнетика во внешнем поле. При рассмотрении физики этого процесса, большую роль играют не только напряженность магнитного поля, но также температура. Впервые данную проблему рассмотрел в 1905 году Ланжевен и создал свою теорию, которая называется классической теорией парамагнетизма Ланжевена. Но она в состоянии лишь приблизительно описать поведение материала в поле. Более точно его описывает квантовая теория, которая основана, на квантовой природе магнитного и механического момента атома.

Классическая теория парамагнетизма Ланжевена

Рассмотрим находящийся в тепловом равновесии совокупность магнитных частиц, помещенных в магнитное поле напряженностью Н. Если предположить, что магнитные и электростатические взаимодействия между ними отсутствуют, («идеальный» парамагнитный газ), то на ориентацию диполей будет влиять лишь внешнее магнитное поле, стремящееся ориентировать магнитные диполи по полю, и тепловое движение частиц, которое стремится разрушить эту ориентацию.

Дезориентация частиц за счет теплового движения не будет полной, т.е. всегда сохраняется какая-то степень упорядочения, в результате чего появится магнитный момент системы (поляризационная намагниченность), причем вектор намагниченности будет совпадать с направлением Н. Намагниченность системы М может быть оценена при помощи закона канонического распределения Максвелла - Больцмана. Этот закон сводится к следующему утверждению: вероятность того, что данная частица, находящаяся в тепловом равновесии с другими частицами, будет обладать энергией En, - пропорциональна e^-En/kT, т.е.,

,

где С- постоянная пропорциональности

e^-En/kT – множитель Больцмана;

En – потенциальная энергия частицы во внешнем поле;

k - постоянная Больцмана.

Потенциальная энергии En может быть записана

,

где m- магнитный момент диполя;

q - угол между векторами m и Н.

Ланжевен предположил, что магнитные моменты ориентируются под любым углом к внешнему полю, но преимущественные направления моментов должны находиться под углами в диапазоне 0£q£p.

Для того чтобы определить намагниченность системы, помещенной в магнитное поле, представим в этой системе сферу радиусом r=1 и выделим в этой сфере телесный угол dw:

.

Число ориентированных частиц в телесном углу по статистике Максвелла-Больцмана запишем

.

Подставим значения En и dw

.

Обозначим через а=mН/kТ и найдем полное количество одинако­во ориентированных частиц n по всем углам q

.

Очевидно, что магнитный момент парамагнитного вещества определяется компонентами, параллельными магнитному полю, так как компоненты всех частиц, перпендикулярные внешнему полю, из соображений симметрии взаимно компенсируются. Тогда намагниченность вещества

.

Подставив в (4.8) выражение для С из (4.7) и проведя замену пределов интегрирования, получим окончательное выражение для М:

.

Решение этого уравнения дает

.

Величина, заключенная в скобки, есть выражение функции Ланжевена L(a)

.

Поэтому можно записать

,

Где М₀ = Nm - магнитный момент системы Т=0 К, т.е. когда все диполи, имеют одинаковую ориентацию. Предельные значения функции Ланжевена L(0)=0 и L(¥)=1. Отсюда вытекает следующее физическое следствие при слабых внешних полях М®0 и высоких температурах: при малых значениях аргумента функции Ланжевена cth a можно разложить в ряд

.

В силу малой величины аргумента а можно ограничитьсялишь двумя первыми членами ряда. Тогда

.

Подставим это значение в уравнение (4.10):

.

Отсюда для восприимчивости парамагнетика находим

.

Обозначив через C=m²N/k, получим аналитическое выражение закона Кюри:

.

Этот закон утверждает, что магнитная восприимчивость при слабых внешних полях и высоких температурах изменяется обратно пропорционально температуре. Графически закон Кюри представлен на рис

Рис Зависимость восприимчивости парамагнетика
и ее обратной величины от температуры

В другом предельном случае при сильных полях и низких температурах функция Ланжевена L(a)®1, а намагниченность асимптотически приближается к M₀.

Рис Зависимость относительной намагниченности парамагнетика
от обратной температуры.

На рис показана зависимость M/M₀ от величины H/T. Сплошной линией показана теоретическая зависимость, точками обозначены экспериментальные значения. Видно, что изменение намагниченности качественно описывает поведение парамагнетика. Экспериментальные значения не совпадают с кривой.

Значительно лучшие результаты дает применение квантовой теории.