Вычислительные задачи по механике

№1 Из пру­жин­но­го пи­сто­ле­та вы­стре­ли­ли вер­ти­каль­но вниз в ми­шень, на­хо­дя­щу­ю­ся на рас­сто­я­нии 2 м от него. Со­вер­шив ра­бо­ту 0,12 Дж, пуля застря­ла в ми­ше­ни. Ка­ко­ва масса пули, если пру­жи­на была сжата перед выстре­лом на 2 см, а ее жест­кость 100 Н/м?

№2 Найти силу трения, действующую на груз массой m (см. рис), ускорение движения грузов и силу натяжения нити, если h =60 см, L =1м, m =0,5 кг, µ=0,25. Решить задачу при следующих значениях массы груза M:

а) 0,1 кг; б) 0,25 кг; в) 0,3 кг; г) 0,35 кг; д) 0,5 кг.

№3. Грузы массами M = 1 кг и m связаны легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рисунок). Груз массой М находится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту α=30˚, коэффициент трения µ=0,3). Чему равно максимальное значение массы m, при котором система грузов еще не выходит из первоначального состояния покоя?

№4. Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке В наклонная плоскость без излома переходи в наружную поверхность горизонтальной трубырадиусом R. Если в точке А скорость шайбы превосходит =4м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости AB = L =1м, угол α=30˚. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой µ=0,2. Найдите внешний радиус трубы R.

№5. С какой скоростью внутри сферы радиусом R =10 c м должен вращаться небольшой шарик, чтобы он все время находился на высоте h =5 c м относительно нижней точки сферы? (см. рис)

№6. Определите отношение масс грузов, находящихся на двух поверхностях клина в равновесии (см. рис). Углы у основания клина α и β. Коэффициент трения µ.

 

Ре­ше­ние.

Со­глас­но за­ко­ну со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии, имеем два ра­вен­ства:

(1),

(2),

где и — ско­ро­сти ле­тя­щей пули со­от­вет­ствен­но на вы­со­те и не­по­сред­ствен­но перед ми­ше­нью. Вся энер­гия под­ле­тев­шей к ми­ше­ни пули по­тра­че­на на ме­ха­ни­че­скую ра­бо­ту, так что (3).

 

№7. Кусок пла­сти­ли­на стал­ки­ва­ет­ся со сколь­зя­щим нав­стре­чу по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти стола брус­ком и при­ли­па­ет к нему. Ско­ро­сти пла­сти­ли­на и брус­ка перед уда­ром на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но и равны и . Масса брус­ка в 4 раза боль­ше массы пла­сти­ли­на. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния сколь­же­ния между брус­ком и сто­лом . На какое рас­сто­я­ние пе­ре­ме­стят­ся слип­ши­е­ся бру­сок с пла­сти­ли­ном к мо­мен­ту, когда их ско­рость умень­шит­ся на 30%?

№8. На по­след­нем ав­то­са­ло­не в Дет­рой­те фирма «Мер­се­дес» пред­ста­ви­ла новый род­стер с дви­га­те­лем объёмом 4,7 литра, спо­соб­ный раз­го­нять­ся от 0 до 100 км/ч за 4,8 се­кун­ды. Счи­тая, что про­цесс раз­го­на про­ис­хо­дит по го­ри­зон­та­ли и яв­ля­ет­ся рав­но­уско­рен­ным, опре­де­ли­те, под каким углом к го­ри­зон­ту на­прав­ле­на сила, дей­ству­ю­щая на во­ди­те­ля со сто­ро­ны си­де­нья во время та­ко­го раз­го­на.

№9. Из двух ров­ных досок сде­лан желоб, пред­став­ля­ю­щий собой двугран­ный угол с рас­тво­ром . Желоб за­креп­лен так, что его ребро гори­зон­таль­но, а доски сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но вер­ти­ка­ли. В же­ло­бе на бо­ко­вой по­верх­но­сти лежит ци­линдр мас­сой m=2кг. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния между дос­ка­ми и ци­лин­дром равен . К торцу ци­лин­дра при­ло­же­на гори­зон­таль­но на­прав­лен­ная сила F=3Н. Най­ди­те мо­дуль уско­ре­ния цилиндра.

№10. При­бор на­блю­де­ния об­на­ру­жил ле­тя­щий сна­ряд и за­фик­си­ро­вал его горизонтальную ко­ор­ди­на­ту x и вы­со­ту  над Землёй (см. ри­су­нок). Через 3 с сна­ряд упал на Землю и взо­рвал­ся на рас­сто­я­нии = 1700 м от места его об­на­ру­же­ния. Чему рав­ня­лось время полёта сна­ря­да от пушки до места взры­ва, если счи­тать, что со­про­тив­ле­ние воз­ду­ха пре­не­бре­жи­мо мало? Пушка и место взры­ва на­хо­дят­ся на одной го­ри­зон­та­ли.

№11. Сна­ряд мас­сой 4 кг, ле­тя­щий со ско­ро­стью 400 м/с, раз­ры­ва­ет­ся на две рав­ные части, одна из ко­то­рых летит в на­прав­ле­нии дви­же­ния сна­ря­да, а дру­гая — в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну. В мо­мент раз­ры­ва сум­мар­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия оскол­ков уве­ли­чи­лась на ве­ли­чи­ну . Ско­рость оскол­ка, ле­тя­ще­го по на­прав­ле­нию дви­же­ния сна­ря­да, равна 900 м/с. Най­ди­те .

№12. При вы­пол­не­нии трюка «Ле­та­ю­щий ве­ло­си­пе­дист» гон­щик движет­ся по трам­пли­ну под дей­стви­ем силы тя­же­сти, на­чи­ная дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя с вы­со­ты Н (см. ри­су­нок). На краю трам­пли­на ско­рость гонщи­ка на­прав­ле­на под углом к го­ри­зон­ту. Про­ле­тев по воз­ду­ху, гон­щик при­зем­ля­ет­ся на го­ри­зон­таль­ный стол, на­хо­дя­щий­ся на той же вы­соте, что и край трам­пли­на. Ка­ко­ва вы­со­та по­ле­та h на этом трам­пли­не? Сопро­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха и тре­ни­ем пре­не­бречь.

№13. На глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти стола по­ко­ит­ся горка с двумя вер­ши­на­ми, вы­со­ты ко­то­рых h и 4 h (см. ри­су­нок). На пра­вой вер­ши­не горки на­хо­дит­ся шайба. Масса горки в 8 раз боль­ше массы шайбы. От не­зна­чи­тель­но­го толч­ка шайба и горка при­хо­дят в дви­же­ние, причём шайба дви­жет­ся влево, не от­ры­ва­ясь от глад­кой по­верх­но­сти горки, а по­сту­па­тель­но движу­ща­я­ся горка не от­ры­ва­ет­ся от стола. Най­ди­те ско­рость шайбы на левой вер­ши­не горки.

№14. Два ма­лень­ких тела бро­са­ют вер­ти­каль­но вверх из одной точки через про­ме­жу­ток вре­ме­ни Δ t = 3 c со ско­ро­стя­ми V ₁ = 20 м/с и V ₂ = 10 м/с.На какой вы­со­те H тела столк­нут­ся? Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь.

№15. На гра­ни­це раз­де­ла двух не­сме­ши­ва­ю­щих­ся жид­ко­стей, име­ю­щих плот­но­сти ρ ₁ = 900 кг/м3 и ρ ₂ = 3 ρ ₁, пла­ва­ет шарик (см. ри­су­нок). Ка­ко­ва долж­на быть плот­ность ша­ри­ка ρ, чтобы выше гра­ни­цы раз­де­ла жид­ко­стей была одна треть его объёма?

Графические задачи.

№1 Мячик бросают с земли вертикально вверх с начальной скоростью v _о. Постройте график зависимости скорости мячика от времени, считая удары о землю абсолютно упругими. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Мячик движется равноускоренно в поле силы тяжести. В начальный момент проекция скорости на вертикальную ось равна v_o. Через время v_o/g скорость обращается в ноль, а еще через такое же время ее проекция равна −v_o. В моменты удара о землю скорость мгновенно меняет направление на противоположное. Поэтому искомый график состоит из отрезков прямых.

№2 Пассажир, опоздавший к поезду, заметил, что предпоследний вагон прошел мимо него за t₁ = 10 c, а последний — за t₂ = 8 с. Считая движение поезда равноускоренным, определите время опоздания.

Решение:

Графическое решение данной задачи основано на том, что площадь под графиком скорости численно равна пройденному пути за время t₁ и t₂ — это равные длины вагонов, поэтому:

№3. В комнате высотой H к потолку одним концом прикреплена легкая пружина жесткостью k, имеющая в недеформированном состоянии длину l_о (l_о< H). На полу под пружиной размещают брусок высотой x с площадью основания S, изготовленный из материала плотностью ρ. Построить график зависимости давления бруска на пол от высоты бруска.

Если x < H − l_o, то пружина не касается бруска. В этом случае давление определяется формулой:

p = ρgx.

Если x > H − l_o, пружина будет сжиматься и давить на брусок. Величина сжатия:

lo + x − H,

действующая сила по закону Гука:

F = k(lo + x − H).

№4. К бруску массой 10 кг, находящемуся на горизонтальной поверхности, приложена сила. Учитывая, что коэффициент трения равен 0,7, определите:

• cилу трения для случая, если F = 50 Н и направлена горизонтально.
• cилу трения для случая, если F = 80 Н и направлена горизонтально.
• построить график зависимости ускорения бруска от горизонтально приложенной силы.
• с какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы равномерно перемещать брусок?

Решение:

№6. Имеются две трубы, подсоединенных к смесителю. На каждой из труб имеется кран, которым можно регулировать поток воды по трубе, изменяя его от нуля до максимального значения J_o = 1 л/с. В трубах течет вода с температурами t₁ = 10° C и t₂ = 50° C. Постройте график зависимости максимального потока воды, вытекающей из смесителя, от температуры этой воды. Тепловыми потерями пренебречь.

Предложения по оценке итогового графика. На графике должна быть видна следующая информация:

1. график состоит из двух частей, возрастающей и убывающей;

2. график построен в диапазоне температур t₁< t< t₂;

3. на графике указаны координаты трех угловых точек, а именно:

o t = 10°C, J = 1 л/с,

o t = 30°C, J = 2 л/с,

o t = 50°C, J = 1 л/с.

Поздним вечером молодой человек ростом h идет по краю горизонтального прямого тротуара с постоянной скоростью v. На расстоянии l от края тротуара стоит фонарный столб. Горящий фонарь закреплен на высоте H от поверхности земли. Постройте график зависимости скорости движения тени головы человека от координаты x.

Решение:

№7. На рисунке представлен график зависимости скорости v автомобиля от времени t. Найдите путь, пройденный автомобилем за 5 с.

№8. Тело движется по оси Ох. На графике показана зависимость проекции скорости тела на ось Ох от времени. Каков путь, пройденный телом к моменту времени t=4c?

 

№9. На рисунке приведен график зависимости проекции ускорения некоторого тела от времени. Считая проекцию начальной скорости равной 10 м/с, напишите уравнение зависимости Vₓ (t) и постройте ее график.

№10. По графику скорости, построить график перемещения.

Решение.

Чтобы построить график, необходимо определить вид зависимости S_x (t). Из графика видим, что V_x = const → движение равномерное прямолинейное → S_x (t) = V_x· t. Из графика V_x = 5 м/с → S_x (t) = 5t. Линейная зависимость, график – прямая линия под углом к осям. Для построения достаточно двух точек. Точки выбираем произвольно. Строим график.

№11. В первом опыте груз совершает гармонические колебания по закону x(t) = 3cos(5πt), где координата измеряется в см. Во втором опыте период колебаний увеличивают в 2 раза, оставив амплитуду неизменной. Какой из приведенных ниже графиков правильно отображает зависимость координаты груза от времени во втором опыте?

 

 

№12. На рисунке представлен график зависимости скорости υавтомобиля от времени

t. Найдите путь, пройденный автомобилем за 5 с.

№13. Тело движется вдоль оси Ох, причем проекция скорости uxменяется с течением времени по закону, приведенному на графике. Какой путь прошло тело за время от 4 до 16 с?

№14. Тело движется вдоль оси OX. На рисунке приведен графикзависимости проекции скорости этого тела vx от времени t. Какой путьпрошло тело за промежуток времени от t1= 2 с до t2= 5 с?

№15. По заданному графику перемещения построить график скорости.

Решение.

Зависимость перемещения от времени линейная. Следовательно, движение равномерное прямолинейное,то есть скорость постоянна → графиком является прямая линия параллельная оси времени. По графику S_x (t) определяем скорость и строим график.

 

Глава 3.