Термодинамическая модель среды. Калорическое и термическое уравнения состояния. Совершенный газ. Несжимаемая жидкость.

 

Термодинамические параметры, зависящие только от состояния системы в данный момент времени и не зависят от предыстории, называются функциями состояния

Предположим, что U не является функцией состояния. Любая функция состояния в квазистатическим процессе, а такие только рассматриваются в классической термодинамике, зависит от набора внешних параметров и температур.

 (8.1)

8.1 – калорическое уравнение состояния среды. Калорическое уравнение состояния показывает, как внутренняя энергия выражается через давление, объем и температуру.

Термические уравнения состояния(для ) Термическое уравнение состояния связывает макроскопические параметры системы.

Элементарная работа, совершаемая источником, может, представляется в виде:

 (8.2)

Совершенный газ - это газ в котором можно пренебречь объёмом молекул и взаимодействием их между собой.

Среда называется совершенным газом, если термическое и калорическое уравнения состояния имеют следующий вид:
 (8.4)

Несжимаемая жидкость — математическая модель сплошной среды, плотность которой сохраняется при изменении давления.

В случае вязкой несжимаемой жидкости решение задач упрощается, если можно предположить:

1)постоянство температуры или давления

2)независимость коэффициента переноса от температуры.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости приминает вид:

 –термодинамические условия несжимаемой жидкости.

 

\

 

 

21. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (допущения, преобразование уравнений количества движения и энергии, введение диссипативной функции и ее физический смысл, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

Рассмотрим однородную несжимаемую жидкость. Для нее 0=const –уравнение состояния. Будем предполагать, что  Т.к.  , то  и уравнение неразрывности принимает вид: (9.2)     

Тогда тензор напряжения в силу (2.2) будет:

      (9.3)

Рассм. ур-ие движения . Запишем его проекцию на ось x и подставим вместо  выражение (9.3), получим (9.4)

В силу (9.2) ур-ие (9.4) примет вид  (9.5) урав-ие импульса.

Совершенно аналогично можно получить:

Последние 3 уравнения можно записать: -уравнение импульсов. (9.8)

Как видно из уравнений (9.1),(9.5),(9.6),(9.7), они содержат 4 неизв. функций ( и следовательно образуют замкнутую систему. Это означает,что поле скорости и поле давления могут быть нахождены без ур-ии энергии.

Рассмотрим ур-ие энергии более подробно: (9.10)

Складываем диагональные компоненты: (9.11) Если  либо жидкость покоится, либо движется как абсл. твердое тело.

Уравнение энергии: (9.12)

Рассм. последнее слагаемое: (9.13)

(9.14) Ур-ие энергии для определения поле температур.

(9.15)

Рассм. ур-ие (9.15) в 2-х частных случаях:

1. Если среда неподвижна, т.е. –(9.16) Уравнение теплопроводности

2.Если нет излучения- поглощения  Деформ-нное движение влечет изменение температуры, т.е. нагрев всех частиц. В этой связи  можно интерпретировать как описывающие проебр. кин. эн-ии деформирующего движ-ия среды в тепловую энергию, т.е. диссипативная функция .

система ур-ий вязкой несжимаем.жидкости (9.18)

Известные константы: Изв. функции: Неизв. ф-ии:

Таким образом система (9.17) замкнутая система.

Имеем ур-ие (9.18) и чтобы решение интересующих нас задач, описываемой этой системой, было единственным, должно быть заданы граничные условия.

Постановка задач для установившихся течений.

1.Граничные условия на обтекаемом теле. При установившемся течении тела неподвижны, скорость точек на поверхности обтекаемого газа равна 0. На поверхности тела скорость частиц жидкости тоже равна 0. Т.е. =0, =0. (9.19)

Кроме условий для скорости ставятся условия и для температуры обычно одного из 2-х видов: либо задается темп. T жидкости у поверхности тела, например, если температура точек поверхности тела  , то (9.20); либо задается поток тепла q, идущий от тела к жидкости  . Если - коэф. теплопроводности и температура тела, то это условие можно записать Условие (9.21) означает непрерывность потока.

1) Граничные условия на разделе двух жидкостей. Поверхность Z неподвижна. Условие для скорости  (9.22)-условие непрерывности скорости при переходе через поверхность раздела. Условие для напряжений будет (9.23)

  Условие для потока тепла (сохранение потока тепла): (9.24)

2) Условие на бесконечности (9.25)

· Постановка задач для неустановившихся течений.

1) Граничные условия на поверхности тела. При нестационарных течениях тела могут перемащиваться в жидкость, могут и изменять свою форму. Пусть u(M,t)- скорость точки M.

Тогда

2) Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид (9.23-9.24). Но параметры зависят от t.

3) На бесконечности должны быть известны

22. Замкнутая система уравнений и постановка задач в гидромеханике вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости (допущения, преобразование уравнений количества движения и энергии, введение диссипативной функции и ее физический смысл, искомые функции, известные константы и зависимости, граничные условия для установившихся течений).

Согласно определению движение называется установившимся, если для любой гидродинамической величины .

Система уравнения (1.5) в этом случае может быть записана в виде

где

Искомые функции являются функциями x, у, z.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции.

1. Граничные условия на поверхности тела. Пусть установившийся поток жидкости движется относительно тела и пусть система координат неизменно связана с телом. Обозначим, как обычно, через S поверхность тела, через — нормаль к поверхности (функция точек поверхности). Возможны два случая.

а) Тело непроницаемо, т. е. жидкость не проникает через поверхность S тела. Тогда нормальная составляющая скорости на границе должна быть равна нулю:

В этом случае говорят, что тело обтекается.

б) Тело проницаемо (например, пористое тело), т. е. возможно протекание жидкости через поверхность. В этом случае поток жидкости через S является заданной функцией точек М поверхности S и

Если в жидкости находится несколько тел, неподвижных относительно друг друга, то граничные условия должны выполняться на поверхности каждого из тел.

2. Условия на поверхности раздела жидкостей. Пусть — поверхность раздела (рис. 11). Для установившегося течения эта поверхность неподвижна. Жидкость движется вдоль поверхности , не проникая через нее. Это означает, что

Существует еще условие, относящееся к давлению на поверхности раздела. Из закона количества движения следует, что для любой массы жидкости главный вектор объемных и поверхностных сил, включая силы инерции, равен нулю. Выделим элемент объема в виде шайбы вдоль поверхности раздела. Высота шайбы площадь основания . Пусть . В силу малости силы, действующие на боковую поверхность, можно не учитывать. Объемные силы также можно не учитывать, так как они пропорциональны . Равенство нулю главного вектора сил для такой шайбы приводит к условию равенства нулю суммы сил давлений, действующих на шайбу сверху и снизу т. е. дает условие

Таким образом, на поверхности раздела должны быть выполнены условия (2.5) и (2.6). Форма поверхности находится из условий задачи.

Рис. 11.

3. Условия на бесконечности. Пусть некоторое тело обтекается потоком поступательным и однородным на бесконечности. В этом случае должны быть известны

Уравнение состояния связывает р, р и Т, поэтому достаточно задать только две из этих величин.

Таким образом, из множества решений системы (2.1) надо выбрать то, которое удовлетворяет на поверхности тела условию (2.3) (если поверхность проницаема, то условию (2.4)), на поверхности раздела — условиям (2.5), (2.6), на бесконечности — условиям (2.7). Эти условия имеют общий характер и относятся к произвольным телам. Свойства жидкости (физика жидкости) отражены в уравнении состояния и в выражении для внутренней энергии.