Выходит из закона сохранения энергии. Включает в себя внутреннюю энергию и кинетическую энергию в макродвижениях

(4.1)

С точки зрения физики в внутреннюю энергию следует включить:

1)кинетическую энергию хаотического поступательного движения молекул.

2)кинетическую энергию хаотического вращательного движения молекул.

3)кинетическую энергию колебательного движения в молекулах.

4)энергию связей атомом в молекулах.(энергия диссоциации)
5)энергию связи электронной оболочки с ядром атома.(энергия ионизации)

6)энергию связи элементарной частицы в ядре атома

7)энергию потенциального взаимодействия между молекулами.

8)энергию взаимодействия с другими телами.

С точки зрения МЖГ во внутреннюю энергию следует включить лишь те состояния, которые изменяются с течением времени.

 , Т – энергия единицы массы. R – газовая постоянная сорта газа.

(4.2)

 (4.3)

12. Вектор  и его компоненты в декартовых координатах. Связь  с угловой скоростью вращения жидкой частицы.

Скорость любой точки жидкой частицы может быть представлена в виде

Где - скорость полюса, - чисто деформационная скорость, -скорость точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы с угловой скоростью .

Вектор Ω= rotv=2ω- удвоенная угловая скорость, с которой затвердевшая жидкая частица вращается вокруг оси, проходящей через полюс. Проекция вихря скорости

=  -  = 2 ,

=  -  = 2 ,

=  -  = 2 .

Проекцию вектора угловой скорости на какую-либо ось можно одновременно рассматривать как угловую скорость вращения относительно этой оси. Поэтому проекция вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат.

 

Теорема Гельмгольца.

Составим ряд Тейлора для скорости в точке М.

Проекции скоростей на оси.

Введем в рассмотрение матрицу E.

 (5.6)

Полученное соотношение 5.6 представляет собой теорему Гельмгольца.

 

 

15. Модель вязкой ньютоновской жидкости (газа) (определение, свойства, происхождение, физический смысл коэффициентов в выражении тензора напряжений через тензор скоростей деформаций).

 Реологические модели в МЖГ. Реологической моделью называют зависимость тензора напряжений в среде от термодинамических и деформационных параметров среды.

Рассмотрим в МЖГ 2 реологические модели:

1. Модель идеальной жидкости

2. Модель вязкой ньютоновской жидкости(является более общей включает в себя первую как частный случай).

Рассмотрим 2 модель, а потом 1, как частный случай.

Модель вязкой ньютоновской жидкости – среда, для которой выполняются следующие соотношения для тензора напряжений:

 (6.1)
E – Тензор скоростей.

I – Единичный тензор.

P – Давление.

Ϛ – Коэффициент объемной вязкости.

μ – Коэффициент динамической вязкости.

(6.2)

Существует 3 свойства модели вязкой ньютоновской жидкости:
1)Коэф-ты р, Ϛ, μ – скалярны. Значение не зависит от выбора системы координат, с точки зрения матаематики. С точки зрения МЖГ означает, что изотропичность (одинаковость по всем направлениям) реологических свойств среды.
2)Зависимость компонент тензора напряжений  от компонент тензора скоростей деформации  является линейной(свойство можно проследить из формулы 6.2)

3)Если жидкость неподвижна или движется как абсолютно твердое тело, то в ней действуют только нормальные напряжения.
, остальные Нормальные напряжения в этом случае не зависят от ориентировки площадки.

(2.8)

(2.10)

О происхождении модели в формуле 6.1.

 (1.8)

(6.3) Формула Стокса(1845 г.)
Соотношение 6.1(как и 6.3) является интеллектуальным обобщением огромного количества наблюдений и измерений.

Физический смысл

В главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и главными осями тензора напряжений.

Выражения для компонент тензора напряжений в вязкой ньютоновской среде (в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости). Тензор вязких напряжений (выражения его диагональных и недиагональных компонент через компоненты тензора скоростей деформаций). Коэффициент динамической вязкости (размерность, зависимость от температуры для газов и жидкостей).

Выражения для компонент тензора напряжений.

Выражения для компонент тензора напряжений в вязкой ньютоновской среде (в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости).

 (6.8)

 

 (6.9)

Пусть

 (6.10)

Наряду с для несжимаемой жидкости часто рассматривают величину ν, называемую кинематическим коэффициентом вязкости . Коэффициент  может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного воздействия, его можно вычислить теоретически. Вообще говоря, , но зависимость от давления слабая.

Тензор вязких напряжений (выражения его диагональных и недиагональных компонент через компоненты тензора скоростей деформаций).

 (6.11)

Физический смысл динамического коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен касательному напряжению, возникающему между слоями жидкости, движущимися друг относительно друга со скоростью, равной единице, при расстоянии между этими слоями, равном единице длины.

В отличие от жидкостей, вязкость газов увеличивается с увеличением температуры (у жидкостей она уменьшается при увеличении температуры).

Формула Сазерленда может быть использована для определения вязкости идеального газа в зависимости от температуры:

 (6.4)

Для жидкостей:

 (6.5)

Размерность динамического коэффициента вязкости h в системе СИ есть Па×с:
1 Па×с = 1 кг/(м с)

 

17. Модель идеальной жидкости (газа) (определение, выражения для компонент тензора напряжений, уравнения количества движения и энергии).

Идеальная жидкость(газ) называется среда(в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Так как в ней отсутствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.), и в которой тензор напряжений равен:

 (6.12)

Идеальный газ, - у которого отсутствуют силы взаимодействия между молекулами, а размеры молекул много меньше межмолекулярных расстояний.
Ур-е состояния ид.газа - PV=RT

Выражения для компонент тензора напряжений в вязкой ньютоновской среде (в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости).  (6.8)    (6.9)

Уравнение кол-ва движения для стационарного потока(одномерного):

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по x при постоянной плотности жидкости получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

Уравнение количества движения в дифференциальной форме.

Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовываем интеграл Коши по площади к объему.           

Получаем интегральную запись закона в виде

Так как интегральная форма имеет место для любого объема , то, следовательно

Выполнив дифференцирование в первом слагаемом, можем переписать это в виде:

Или в проекциях на оси координат:

Слева в уравнениях проекция на оси стоит оператор полной производной. Эти уравнения называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях.

Уравнения энергии

Выходит из закона сохранения энергии. Включает в себя внутреннюю энергию и кинетическую энергию в макродвижениях.

(4.1)

С точки зрения физики в внутреннюю энергию следует включить:

1)кинетическую энергию хаотического поступательного движения молекул.

2)кинетическую энергию хаотического вращательного движения молекул.

3)кинетическую энергию колебательного движения в молекулах.

4)энергию связей атомом в молекулах.(энергия диссоциации)
5)энергию связи электронной оболочки с ядром атома.(энергия ионизации)

6)энергию связи элементарной частицы в ядре атома

7)энергию потенциального взаимодействия между молекулами.

8)энергию взаимодействия с другими телами.

С точки зрения МЖГ во внутреннюю энергию следует включить лишь те состояния, которые изменяются с течением времени.

Из молекулярной физики нам известно, что внутренняя энергия одноатомного газа равна:

 , Т – энергия единицы массы. R – газовая постоянная сорта газа.

(4.2)

 (4.3)

 (4.4)

Во время движения полного жидкого объема, его полная энергия в общем случае будет меняться.
1)Работа внешних сил, приложенных к

2)Работа поверхностных сил, приложенных к , со стороны жидкости вне .

3)Подвод тепла к за счет механизма объемного поглощения тепла.

4)Подвод тепла к  через плоскость S.

 

 

Вектор плотности потока тепла (определение, физические причины теплопроводности в жидкостях и газах). Закон Фурье (математическое выражение, размерность коэффициента теплопроводности и его зависимость от температуры для газов и жидкостей).

- направление в сторону теплового потока. Кол-во тепла, проходящее через единичную площадь. Тепло в жидкостях может передаваться за счет 2х существенно разных механизмов:

1) Молекулярная диффузия

2) Молекулярная теплопроводность

В обычных условиях механизмы теплопроводности существенно доминируют над диффузией так, что последнее не играет роли. Молекулярная теплопроводность хорошо описывается законом Фурье. Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad T (то есть в сторону скорейшего убывания температуры). Это выражение известно как закон теплопроводности Фурье:

 , коэф-т теплопроводности Дж/(м*с*К)(7.1)

 (7.2) число Прандтля

Prandtl: 150K<T<1200K

Pr - const.

150K≤T≤700K

Cp ≈ const

 (7.3)

Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и составляет 0,006÷0,6 Вт/(м·К). Следует отметить, что верхнее значение относится к гелию и водороду, коэффициент теплопроводности которых в 5—10 раз больше, чем у других газов. Коэффициент теплопроводности воздуха при 0 ⁰С равен 0,0244 Вт/(м·К). Для жидкости λ =0,07÷0,7 Вт/(м·К) и, как правило, уменьшается с увеличением температуры. Коэффициент теплопроводности воды с увеличением температуры возрастает до максимального значения 0,7 Вт/(м·К) при t=120 ⁰С и дальше уменьшается. Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых λ =20÷418 Вт/(м·К). Самый теплопроводный металл — серебро. Для большинства металлов коэффициент теплопроводности убывает с возрастанием температуры, а также при наличии разного рода примесей. Поэтому коэффициент теплопроводности легированных сталей значительно ниже, чем чистого железа.