Рассмотрим неавтономную систему

{\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}

{\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}

Это неавтономно, потому что входные {\displaystyle w} данные являются функцией времени. Предположим, что входные {\displaystyle w(t)} данные ограничены.

Брать {\displaystyle V=e^{2}+g^{2}} дает {\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}

Это говорит о том, что {\displaystyle V(t)\leq V(0)} по первым двум условиям и, следовательно {\displaystyle e}, и {\displaystyle g} ограничены. Но это ничего не говорит о сходимости {\displaystyle e} к нулю. Более того, теорема об инвариантном множестве не может быть применена, поскольку динамика неавтономна.

Используя лемму Барбалата:

{\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}.

Это ограничено {\displaystyle e}, потому {\displaystyle g} что и {\displaystyle w} ограничено. Это подразумевает {\displaystyle {\dot {V}}\to 0}, как {\displaystyle t\to \infty } и следовательно {\displaystyle e\to 0}. Это доказывает, что ошибка сходится.

См. также [ править ]

• Функция Ляпунова
• Теория возмущений
• Принцип инвариантности ЛаСалля
• Гипотеза Маркуса – Ямабе

Ссылки [ править ]

1. ^ Перейти к: ^{а б} Ляпунов, А. М. Общая проблема устойчивости движения (На русском языке), Докторская диссертация, Унив. Харьков 1892 Английские переводы: (1) Стабильность движения, Академическая пресса, Нью - Йорк и Лондон, 1966 (2) Общая проблема стабильности движения, (А. Т. Фуллер, пер.) Тейлор и Фрэнсис, Лондон, 1992. В него включена биография Смирнова и обширная библиография работ Ляпунова.

2. ^ Четаев, Н. Г. Об устойчивых траекториях динамики, Казанский университет научных заметок, том 4, № 1 1936; Стабильность движения, Первоначально опубликованная на русском языке в 1946 году ОГИЗ. Гос. изд - во технико - теорет. лит., Москва - Ленинград. Перевод Мортона Надлера, Оксфорд, 1961, 200 страниц.

3. ^ Летов А. М. (1955). Устойчивость нелинейных регулируемых систем [Stability of Nonlinear Control Systems] (in Russian). Москва: Гостехиздат. англ. тр. Принстон 1961

4. ^ Калман, Р. Э.; Бертрам, Дж. Ф. (1960). " Анализ и проектирование систем управления По " Второму методу " Ляпунова: I — Системы непрерывного времени ". Журнал фундаментальной инженерии. 82 (2): 371–393. doi: 10.1115/1.3662604.

5. ^ ЛаСалль, Дж. П.; Лефшец, С. (1961). Устойчивость по второму методу Ляпунова с приложениями. Нью - Йорк: Академическая пресса.

6. ^ Parks, P. C. (1962). " Метод Ляпунова в теории автоматического управления ". Контроль. I ноября 1962 года II декабря 1962 года.

7. ^ Кальман, Р. Э. (1963). " Функции Ляпунова для задачи Лурье в автоматическом управлении ". Proc Natl Acad Sci США. 49 (2): 201–205. Нагрудный код: 1963 ПНАС...49..201 К. doi: 10.1073/pnas.49.2.201. ЧВК 299777. PMID 16591048.

8. ^ Смит, М. Дж.; Вистен, М. Б. (1995). " Непрерывная модель распределения трафика изо дня в день и существование непрерывного динамического равновесия пользователей ". Анналы оперативных исследований. 60 (1): 59-79. doi: 10.1007/BF02031940. S2CID 14034490.

9. ^ Го, Б. С. (1977). " Глобальная стабильность в многовидовых системах ". Американский натуралист. 111 (977): 135–143. doi: 10.1086/283144. S2CID 84826590.

10. ^ Малкин И. Г. Теория устойчивости движения, Москва 1952 (Гостехиздат) Глава II параграф 4 (русский) Англ. перевод, Бюро языковой службы, Вашингтон, AEC-tr-3352; первоначально О стабильности при постоянно действующих возмущениях Прикл. Мат. 1944, т. 8 № 3 241-245 (русский); Амер. Математика. Соц. перев. № 8

11. ^ Я. Barb ă lat, Syst è mes d' é quations diff é rentielles d'oscillations non Lin é aires, Rev. Math. Чистое приложение 4 (1959) 267-270, стр. 269.

12. ^ Б. Фаркас и др., Вариации леммы Барбалата, Амер. Математика. Ежемесячно (2016) 128, № 8, 825-830, DOI: 10.4169/ амер. математика. ежемесячно.123.8.825, стр. 827.

13. ^ Б. Фаркас и др., Вариации леммы Барбалата, Амер. Математика. Ежемесячно (2016) 128, № 8, 825-830, DOI: 10.4169/ амер. математика. ежемесячно.123.8.825, стр. 826.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бхатия, Нам Паршад; Сеге, Джорджио П. (2002). Теория устойчивости динамических систем. Прыгун. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Червин, Роберт (1971). Устойчивость по Ляпунову и управление с обратной связью двухпоточных плазменных систем (кандидат технических наук). Колумбийский университет.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Спрингер. Стр. 407-428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Парки, П. С. (1992). " Теория устойчивости А. М. Ляпунова — 100 лет спустя ". Журнал математического управления и информации IMA. 9 (4): 275–303. doi: 10.1093/imamci/9.4.275.
• Слотин, Жан - Жак Э.; Вейпинг Ли (1991). Прикладное Нелинейное Управление. Нью - Джерси: Прентис Холл.
• Teschl, G. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провидение: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Уиггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и Хаос (2- е изд.). НЬЮ - ЙОРК: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-00177-7.

Эта статья включает материал из асимптотически стабильной программыPlanetMath, которая лицензирована по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike.

показать v t e Дифференциальные уравнения

показать Контроль полномочий

Категории:

• Теория устойчивости
• Динамические системы

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability