Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему

{\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}},

где {\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} обозначает вектор состояния системы, {\displaystyle {\mathcal {D}}} открытый набор, содержащий начало координат, и {\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} представляет собой непрерывное векторное поле вкл {\displaystyle {\mathcal {D}}}. Предположим {\displaystyle f}, имеет равновесие на {\displaystyle x_{e}} так, что {\displaystyle f(x_{e})=0} тогда

1. Это равновесие называется устойчивым по Ляпунову, если для каждого {\displaystyle \epsilon >0} существует {\displaystyle \delta >0} такое, что, если {\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }, то для каждого {\displaystyle t\geq 0} мы имеем {\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }.

2. Равновесие вышеуказанной системы считается асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует {\displaystyle \delta >0} такое, что если {\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }, то {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}.

3. Равновесие вышеупомянутой системы считается экспоненциально стабильным, если оно асимптотически устойчиво и существует {\displaystyle \alpha >0,\beta >0,\delta >0} такое, что если {\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }, то {\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}} для всех {\displaystyle t\geq 0}.

Концептуально значения вышеприведенных терминов заключаются в следующем:

1. Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения, начинающиеся " достаточно близко " к равновесию (на расстоянии {\displaystyle \delta } от него), остаются " достаточно близкими " навсегда (на расстоянии {\displaystyle \epsilon } от него). Обратите внимание, что это должно быть верно для любого {\displaystyle \epsilon }, кого вы захотите выбрать.

Асимптотическая устойчивость означает, что решения, которые начинаются достаточно близко, не только остаются достаточно близкими, но и в конечном итоге сходятся к равновесию.

3. Экспоненциальная стабильность означает, что решения не только сходятся, но фактически сходятся быстрее или, по крайней мере, с определенной известной скоростью {\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}.

Траектория {\displaystyle x(t)=\phi (t)} (локально) привлекательна, если

{\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0} как {\displaystyle t\rightarrow \infty }

для всех траекторий {\displaystyle x(t)}, которые начинаются достаточно близко {\displaystyle \phi (t)} и глобально привлекательны, если это свойство справедливо для всех траекторий.

То есть, если x принадлежит внутренней части его стабильного многообразия, оно асимптотически устойчиво, если оно одновременно привлекательно и стабильно. (Есть примеры, показывающие, что привлекательность не подразумевает асимптотическую устойчивость. Такие примеры легко создать с помощью гомоклинических соединений.)

Если якобиан динамической системы в равновесии оказывается матрицей устойчивости (т. Е. Если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то равновесие асимптотически устойчиво.

Система отклонений [ править ]

Вместо того, чтобы рассматривать устойчивость только вблизи точки равновесия (постоянное решение {\displaystyle x(t)=x_{e}}), можно сформулировать аналогичные определения устойчивости вблизи произвольного решения {\displaystyle x(t)=\phi (t)}. Однако более общий случай можно свести к равновесию путем изменения переменных, называемых " системой отклонений ". Определите {\displaystyle y=x-\phi (t)}, подчиняясь дифференциальному уравнению:

{\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}.

Это уже не автономная система, но у нее есть гарантированная точка равновесия {\displaystyle y=0}, стабильность которой эквивалентна стабильности исходного решения {\displaystyle x(t)=\phi (t)}.

Второй метод Ляпунова для устойчивости [ править ]

Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода демонстрации устойчивости. ^[1] Первый метод разработал решение в серии, которая затем была доказана сходящейся в определенных пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или Прямым методом, использует функцию Ляпунова V(x), которая имеет аналогию с потенциальной функцией классической динамики. Он вводится следующим образом для системы {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}, имеющей точку равновесия в {\displaystyle x=0}. Рассмотрим функцию {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }, такую, что

• {\displaystyle V(x)=0} если и только если {\displaystyle x=0}
• {\displaystyle V(x)>0} если и только если {\displaystyle x\neq 0}
• {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0} для всех значений {\displaystyle x\neq 0}. Примечание: для асимптотической устойчивости {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0} {\displaystyle x\neq 0} требуется значение for.

Тогда V(x) называется функцией Ляпунова, и система стабильна в смысле Ляпунова (обратите внимание, что {\displaystyle V(0)=0} это необходимо; в противном случае, например {\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}, было бы " доказано ", что {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x} она локально стабильна). Для заключения о глобальной стабильности требуется дополнительное условие, называемое " правильностью " или " радиальной неограниченностью ". Аналогично следует глобальная асимптотическая устойчивость (ГАЗ).

Легче визуализировать этот метод анализа, думая о физической системе (например, о вибрирующей пружине и массе) и рассматривая энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого окончательного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором. Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, и для абстрактных математических систем, экономических систем или биологических систем понятие энергии может быть неприменимо.

Понимание Ляпунова состояло в том, что стабильность может быть доказана без необходимости знания истинной физической энергии, при условии, что функция Ляпунова может быть найдена, удовлетворяющая вышеуказанным ограничениям.

Определение для систем с дискретным временем [ править ]

Определение для систем с дискретным временем почти идентично определению для систем с непрерывным временем. Приведенное ниже определение обеспечивает это, используя альтернативный язык, обычно используемый в других математических текстах.

Пусть (X, d) - метрическое пространство, а f: X → X - непрерывная функция. Точка x в X называется стабильной по Ляпунову, если,

{\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}