известны из курса математики? Какими способами решения этих задач

могут воспользоваться учащиеся начальных классов? Приведите примеры.

(По статьям Белокуровой Е.Е. и др.)

 

Методика обучения решению комбинаторных задачам и заданий комбинаторного характера предусматривает три этапа работы. На первом этапе при выполнении заданий комбинаторного характера младшие школьники составляют новые объекты, осуществляя хаотический перебор. На данном этапе учитель не ставит цели найти все варианты. Особое внимание следует уделять сравнению объектов, которые состоят из отдельных элементов.

Сравнение проводится по следующим критериям:

- по количеству составленных объектов;

- составу, входящих в объект элементов;

- порядку расположения элементов в объекте. Приведем примеры таких задач.

1. У Маши был мяч. Одна половинка мяча красная, другая — желтая, посередине проходят две полосы: синяя и зеленая. Нарисуйте, как при помощи этих цветов можно раскрасить мяч по-другому.

2. Даша решила посадить розу, тюльпан и ромашку. Нарисуйте, как можно посадить цветы в один ряд.

3. Имеется 3 кубика конструктора «Лего»: белый, желтый, зеленый. Нарисуйте несколько различных построек из этих кубиков.

4. Используя цифры 1, 3, 8, 9, оставьте всевозможные трехзначные числа. Приобретение навыков хаотического перебора способствует появлению более высокой степени организации деятельности — использованию при решении заданий комбинаторного характера систематического перебора. Следующий этап состоит в нахождении учащимися всех возможных вариантов решения комбинаторных задач.

Цель данного этапа — обучение школьников систематическому перебору всех возможных вариантов. При решении задач на данном этапе может осуществляться как полный, так и сокращенный перебор.

Приведем примеры задач, при решении которых учащиеся осуществляют полный перебор.

1. У Саши имеется 3 видеокассеты с мультфильмами и 2 кассеты с фильмами про Гарри Поттера. Сколькими способами он может выбрать одну кассету для просмотра?

2. У куклы Барби имеется 3 различных бальных платья и 2 шляпки: с вуалью и с перьями. Сколькими способами можно составить наряд для Барби?

3. Используя цифры 1, 3, 8, 9 составь всевозможные трехзначные числа. Составь всевозможные трехзначные числа так, чтобы цифры в записи числа не повторялись.

Приведем примеры задач, при решении которых учащиеся осуществляют сокращенный перебор.

1. Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, 6 так, чтобы число десятков было больше числа единиц.

2. Имеется 4 фигуры: большой и маленький треугольники, большой и маленький круги. Сколько существует способов расположения этих фигур в ряд, если на первое место поставить большой треугольник и одинаковые по форме фигуры не будут стоять рядом?

3. Запишите все четные двузначные числа, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, 6.

Особенность задач, которые предлагаются для решения на третьем этапе, состоит в увеличении возможных вариантов перебора.

С увеличением возможных вариантов меняются средства организации перебора: при решении таких задач целесообразно использовать таблицы, графы и «дерево возможностей», позволяющие логично строить ход рассуждений, четко провести полный перебор, не упустив никаких вариантов.

Решение задач с использованием графов является основным содержанием третьего этапа в обучении младших школьников решению комбинаторных задач. С увеличением возможных вариантов меняются средства организации перебора: при решении таких задач целесообразно использовать таблицы, графы и «дерево возможностей», позволяющие логично строить ход рассуждений, четко провести полный перебор, не упустив никаких вариантов.

Решение задач с использованием графов является основным содержанием третьего этапа в обучении младших школьников решению комбинаторных задач. Процесс обучения решению задач с помощью графов также предполагает несколько этапов.

На подготовительном этапе учащиеся переводят условие задачи на язык графических символов, при этом формируются умения переходить от конкретного предмета к его модели, умения символически изображать связи между объектами. Учителю необходимо уметь ввести условное обозначение объектов и связей между ними; построить графическую модель, отражающую все данные задачи.

Следующий этап предполагает работу над задачами с небольшим числом объектов и связей между ними. Характерной особенностью второго этапа обучения является постепенное увеличение количества рассматриваемых объектов; увеличение количества связей между объектами; необходимость использования для решения задач более одного вида графов.

Так, в учебниках математики под редакцией Л. Г. Петерсон младших школьников знакомят с применением граф-дерева для решения комбинаторных задач.

Вначале учат младших школьников понимать «язык» графов. Предварительная работа над графами помогает проводить перебор в определенной системе и не упускать какие-либо возможности. Затем учащиеся используют графы при решении комбинаторных задач.

Приведем примеры. Задача. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых использованы только цифры 1, 4, 0? Требуемый граф изображен на рисунке 1.

Каждая ветвь этого дерева изображает одно из данных чисел.

Кроме того, можно заметить, что количество чисел можно найти как произведение 2×3×3.

Задача. Из цифр 5, 8, 4, 0 составьте все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр.

Сколько среди них чисел, меньших 800? Если числа, меньше 800, то первой цифрой в числе может быть либо 5, либо 4.

Ставим две точки (Рис. 2), и составим сначала все числа с цифрой 5, при этом второй цифрой может быть либо 8, либо 4, либо 0. Если первая цифра 5, вторая 8, то третьей могут быть либо 4, либо 0 и т. д. Данный граф помогает

проводить перебор в определенной системе и не упускать какие-либо возможности. Задача. Несколько приятелей при встрече пожали друг другу руки. Сколько встретилось приятелей, если рукопожатий было 10?

В процессе анализа выясняется, что решить задачу, как предыдущие, не удается, так как неизвестно, сколько поставить точек, зато известно количество рукопожатий, то есть количество отрезков или ребер графа.

Поэтому в данной ситуации можно предложить ученикам рассмотреть последовательно варианты:

- если приятелей было двое (то получается одно рукопожатие, а это не соответствует условию задачи);

- если приятелей было трое (то рукопожатий было три);

- если приятелей было четверо (рукопожатий − шесть);

- если приятелей было пятеро, то получается десять рукопожатий.

Таким образом, если рукопожатий было десять, то встретилось пять приятелей.

Опыт работы показывает, что начальный курс математики должен включать в себя пропедевтическое знакомство младших школьников с комбинаторными задачами и методами их решения на соответствующем уровне. Учащимся начальных классов, как правило, приходится решать задачи на упорядочивание элементов некоторого множества, на образование и подсчет числа кортежей заданной длины, составленных из элементов некоторого множества; задачи в которых требуется осуществить выбор подмножеств с определенными свойствами. В основе способов решения ряда задач лежат правило суммы и правило произведения, хотя они обычно в явном виде младшим школьникам не формулируются. По мнению методистов и психологов, включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Решение комбинаторных задач дает возможность расширить знания учащихся о процессе решения задачи, о количестве и характере результата.