Умение проверять составленный алгоритм.

Важным средством формирования обобщённого способа действия на уроках математики является алгоритм.

Многие действия в своей жизни человек совершает по определённым правилам. При этом эффективность действий во многом зависит от того, насколько чётко человек представляет то, что он должен делать в каждый момент времени, в какой последовательности и каким должен быть результат его действий.

Другими словами, результат деятельности напрямую зависит от того, насколько он представляет себе алгоритмическую сущность своих действий. Современная жизнь насыщена различными техническими средствами, в частности, компьютерной техникой. Это требует от человека строгого соблюдения определённой последовательности действий при их использовании, что, в свою очередь, невозможно без предварительного освоения соответствующих алгоритмов.

Таким образом, освоение алгоритмов выполняемых действий становится важным компонентом деятельности человека в современном мире, составной частью его культуры мышления и поведения. Алгоритм является одним из основных понятий, используемых в различных областях знаний.

В связи с этим можно утверждать, что главной целью использования алгоритмов на уроках математики является развитие алгоритмического, конструктивного, логического мышления учеников, а также формирование операционного типа мышления, которое направлено на выбор оптимального решения определённой поставленной задачи из нескольких возможных. Развитие этих специфических видов мышления даёт весомый вклад в развитие общего научного мировоззрения и умственных способностей личности.

2. Раскройте содержание первого этапа процесса формирования алгоритмического мышления учащихся. Приведите примерыразличных упражнений и дидактических игр, которые можно использовать с этой целью. Подготовьте необходимую наглядность.

Цель формирующего этапа - разработка совокупности

заданий, способствующих развитию алгоритмического мышления младших школьников и реализация их на уроках математики.

 

Детей знакомят с различными видами алгоритмов:

1) линейный

например, приготовление чая: 1. Наливаем воду в чайник. 2. Ставим чайник на газ. 3. Берём заварочный чайник и засыпаем в него заварку. 4. Заливаем кипячёной водой и 5.Пьём чай.

2) разветвлённый  

например, звонок по стационарному телефону:

  

                   Циклический

например, режим дня, смена времён года.

Одним из распространённых упражнений в 1 классе для развития алгоритмического мышления является игра «Робот». Учитель сообщает, что робот (показываем рисунок) движется по расчерченному листу бумаги в соответствии со следующими командами:

↑ ↓ → ← - основные команды.

Но можно

С помощью эти знаков можно закодировать любые действия «робота», выполнив которые в тетради мы можем получить рисунок какого-либо предмета или знака. Рядом со стрелками можно указать количество шагов. Например, 3↑ 3→ 3↓.

Кроме этого задания используются команды «построй чертёж». Можно предложить такие задания:

1. по чертежу составь алгоритм его построения;

2. найди ошибки в чертеже, если считаешь, что он построен по данной программе;

3. найди ошибки в программе, если считаешь, что по ней построен этот чертёж;

4. закончи чертёж по этой программе;

5. закончи программу по чертежу;

6. установи соответствие;

7. выбери рациональный алгоритм для построения этого чертежа.

Позднее при изучении математических понятий алгоритм включается как в процесс изучения математических понятий, так и в процесс закрепления. Мы сообщаем ученикам алгоритмы устных и письменных вычислений, алгоритмы решения задач и т.д.. На этапе закрепления можно предложить загадки в форме алгоритмических предписаний. Например, просим составить программу для нахождения значения следующего выражения 15+(2+7)-3:

Для кодирования можно использовать стрелки разной формы, например,

              → +

                    -

                       *

                       :

В схеме можно использовать цвета или фигуры разной формы и размера для обозначения действия или числа. С помощью фигур разных цветов, форм, размера обозначают узлы алгоритмических схем. Помимо линейных схем используют разветвлённые и циклические схемы.

Разветвлённый

      

  Основной формой предъявления ученикам алгоритмических предписаний являются блок – схемы, граф – схемы, таблицы.

Блок – схемы отличаются от граф – схем тем, что обычно в своих узлах содержат описания какого-либо действия.

Граф- схемы фиксируют состояние алгоритмического процесса, а стрелки – производимые преобразования. Например,

Таблица – содержит несколько строк. Указан способ её заполнения. Заполнение таблицы готовит к восприятию идеи описания циклических процессов. Например, при изучении темы «Сложение и вычитание в пределах 10» можно предложить следующие задания:

+	5	7	8	1	4
3

 

+	5	6	3	2
1
2

Содержание заданий:

-уточнение понятия «алгоритм»;

-изучение и выполнение алгоритмов различных типов (линейного, разветвленного, цикличного) и представленных в различных формах (словесной, графической, в виде блок-схемы);

-построение моделей процесса решения задачи;

-составление алгоритмов (линейных);

-решение задач, в том числе алгоритмического характера.

Задание 1. На рисунках изображено, что делал Толя однажды утром. Эти картинки перепутаны. Но их легко поставить по порядку с помощью программы действий Толи, в которой порядок операций показан стрелками:

Можно ли в программе Толи переставить местами зарядку и заправку постели? А одевание и путь в школу?

Задание 2. Назови каждое действие в алгоритме посадки дерева. Можно ли поменять местами какие-либо действия?

Алгоритм посадки дерева.

Задание 3. Лена любит вареную картошку со сметаной. Расставь по порядку действия ее мамы по приготовлению этого блюда. Какие операции в этом алгоритме можно переставить?

1. Посолила картошку.

2. Бросила картошку в кипяток.

3. Купила в магазине картофель и сметану.

4. Погасила огонь и слила кипяток.

5. Налила в кастрюлю воду и поставила на огонь.

6. Полила картофель сметаной.

7. Положила картофель на тарелку.

8. Зажгла газовую плиту.

9. Почистила картофель

Задание 4. Уходя, гасите свет.

Учитель: это алгоритм?

Дети: нет.

Учитель: и постоянно, добавляя и конкретизируя данное предложение, мы приходим к выводу - нет. А как будет звучать эта фраза, чтобы её мог выполнить любой?

Дети: уходя из помещения последним, если свет горел, выключи его.

Задание 5.

Учитель: алгоритм приготовления чая «Беру чайник, ставлю его на огонь. Когда вода закипит, снимаю с огня и ополаскиваю заварной чайник, чтобы он был теплым, засыпаю нужное количество сухого чая и даю настояться несколько минут.» Это алгоритм или нет?

Предположения детей.

Вот здесь дети должны увидеть ошибку. «Беру чайник и ставлю его на огонь… А если в чайнике нет воды?

Учитель: да, это не алгоритм. Сделаем из него алгоритм: «Беру чайник и проверяю - есть ли в нём вода, если нет - наливаю воду и ставлю на огонь, а если да (вода есть)- сразу ставлю его на огонь. Когда вода закипит, снимаю с огня и ополаскиваю заварной чайник, чтобы он был теплым, засыпаю нужное количество сухого чая и даю настояться несколько минут.»

Задание 6

 

Задание 7

Задание 8

Задание 9

3. Покажите возможность использования алгоритмов при изучении основных математических понятий по темам: а) нумерация; б) арифметические действия; в) задачи; г) геометрический материал; д) величины; е) алгебраический материал. Приведите примеры таких алгоритмов.

 

Выполняя любые задания, ученик использует в своих суждениях план, который определяет «шаги», ведущие к достижению поставленной цели. Иначе говоря, использует алгоритм – совокупность математических операций, выполняемых в заданном порядке, которые позволяют решать учебные задачи определённого типа.

Использование в учебной деятельности алгоритмов позволяет учащимся начальных классов:

- учиться рассуждать, переносить общие суждения на частные;

- развивать математическую речь; последовательно, грамотно излагать применяемые знания;

- ускорить осознание изучаемого материала;

- увеличить количество тренировочных упражнений;

- больше времени уделять самостоятельной работе;

- формировать навыки самоконтроля.

 

НУМЕРАЦИЯ

 

 

 

Алгоритм написания цифры 5:

 

 

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

 

ЗАДАЧИ

Алгоритм осмысления задачи:

1. Прочитай правильно задачу и поставь логическое ударение.

2. Представь ситуацию, описанную в задаче.

3. Разбей задачу на смысловые части.

4. Переформулируй текст задачи:

— замени термин содержательным описанием или замени содержательное описание терминами; — исключи части текста, не влияющие на результат решения;

— измени порядок слов и предложений, дополни текст пояснениями.

5. Построй модель.

Алгоритм решения задачи:

1. Прочитай задачу. Пойми и запомни ее условие и вопрос.

2. Ответь на вопросы: Что известно? Что надо узнать? Можно ли сформулировать задачу иначе, проще?

3. Выполни схематический рисунок (чертеж) к задаче.

4. Подумай, как можно найти неизвестное? Для этого:

а) вспомни нужное правило, формулы;

б) составь план решения задачи.

5. Запиши решение задачи по действиям (с пояснением) или выражением.

6. Проверь решение задачи. Подумай, правдоподобен ли результат; можно ли составить и решить обратную задачу; нельзя ли решить задачу другим способом, проще.

7. Сформулируй и запиши ответ задачи.

Алгоритм решения задачи на движение:

1. Прочитай текст задачи про себя.

2. Прочитай текст задачи вслух. Представь жизненную ситуацию, о ко‑ торой говорится в задаче. Ответь на вопросы:

О ком (чем) говорится в задаче?

Что говорится о направлении движения?

Что показывают числа?

Что нужно узнать в задаче?

3. Выполни иллюстрацию к задаче. Подумай, как обозначить на чертеже:

а) путь, расстояние;

б) направление движения;

в) место встречи? Выполни чертеж.

4. Повтори задачу по иллюстрации.

5. Составь план решения задачи.

6. Запиши решение задачи по действиям (с пояснением) или выражением.

7. Проверь ход и результат решения задачи. Возможны ли другие результаты решения?

8. Сформулируй и запиши ответ задачи.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Алгоритм вычитания отрезков:

1) Начертить луч

2) Измерить при помощи циркуля отрезок первый

3) Отложить этот отрезок, выделить его “дугой”

4) Измерить второй отрезок

5) Построить второй отрезок начиная от начала луча, выделить его “дугой.”

6) Выделить оставшуюся часть – отрезок – это будет разностью отрезков

- При вычитании отрезков оба отрезка нужно построить на луче от его начала

План построения прямоугольника:

1) Построить произвольную прямую;

2) Отложить на ней нижнее основание;

3) Принимая его концы за вершины углов, с помощью чертежного треугольника построить прямые углы;

4) На сторонах этих углов от концов нижнего основания от­ложить боковые стороны;

5) Концы боковых сторон соединить отрезком.

 

План построения треугольника:

1) Провести произвольную прямую. Одна из данных сторон принимается за основание будущего треугольника.

2) Затем раствором циркуля равным второй стороне, из точки А как из центра проводится дуга, а раствором циркуля, равным третьей стороне из точки С как из центра проводится вторая дуга.

3) Точка пересечения дуг обозначается буквой В, точка В соединяется отрезками с точками А и С.

Алгоритм построения угла:

1) Начертить луч.

2) Совместить центр транспортира с началом луча так, чтобы луч проходил через начало отсчета на шкале транспортира.

3) Учитывая вид угла, найти на нужном ряду необходимое значение угла и поставить на бумаге точку.

4) Соединить начало луча с отмеченной точкой.

5) Проверить вид угла, который нужно построить. Искомый угол построен.

ВЕЛИЧИНЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Алгоритм решения уравнений на нахождение неизвестной части через использование предметной иллюстрации

1) Прочитай компоненты уравнения, соотнеся их с понятиями: целое, часть, часть.

2) Зачеркни в целом известную часть.

3) Запиши оставшуюся часть.

I слагаемое – часть,

II слагаемое – часть,

сумма – целое.

 

Алгоритм может быть сформулирован в процессе изучения материала и служит базой для рассуждений при выполнении заданий данного типа.

Составим и решим уравнение, заданное в условиях, отличных от прежних.

Сформулируем алгоритм нахождения корня уравнения, основанный на способе графического моделирования.

Предложим вспомогательные и математические модели уравнений с использованием числового отрезка.

Для обсуждения способа нахождения корня уравнения предложим систему вопросов:

- С какого числа записано уравнение? Почему?

-  Когда в уравнении ставят знак «–», а когда «+»?

- Какое число записывают после знака «=»? Почему?

- Как найти корень уравнения, опираясь на числовой отрезок?

Осуществим план составления уравнения и нахождения его корня.

Алгоритм решения уравнения с помощью числового отрезка

1) Запишу число, от которого направлена стрелка.

2) Поставлю знак арифметического действия (если направление движения влево – «–», вправо – «+»).

3) Обозначу неизвестный компонент буквой х.

4) Запишу знак равенства и число, на котором завершено движение стрелки.

5) Посчитаю, сколько единиц между числами.

6) Запишу ответ.

 

Алгоритм решения уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения

1) Заменю сумму одинаковых слагаемых действием умножения.

2) Сравню левую и правую части уравнения.

3) Сделаю вывод.

17 + 17 = 17 ∙ х

17 ∙ 2 = 17 ∙ х

2 = х

Алгоритм можно предлагать в различных формах.

1. Словесная запись предполагает описание последовательности выполнения действий на естественном языке. Например:

Алгоритм решения уравнений через взаимосвязь между компонентами и результатами арифметических действий в две ступени

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Установлю, чем выражены компоненты этого действия.

3) Вспомню и применю правило нахождения неизвестного компонента.

4) Преобразую правую часть уравнения.

5) Прочитаю полученное уравнение, называя компоненты.

6) Вспомню и применю правило нахождения неизвестного компонента.

7) Найду корень уравнения.

8) Проверю, сделаю вывод.

(х + 3): 8 = 5

х + 3 = 5 ∙ 8

х + 3 = 40

х = 40 – 3

х = 37

(37 + 3): 8 = 5

2 = 5

 

2. Запись, где алгоритм представлен в виде программы действий. Например:

Программа нахождения неизвестного уменьшаемого

(здесь под знаками     и  подразумеваются численные значения)

3. Запись алгоритма на языке блок-схем. Они состоят из блоков и стрелок, которые указывают последовательность выполнения действий. Например:

Алгоритм решения уравнений на основе части и целого

Основной целью обучения составлению алгоритмов и их использования на уроках математики в начальной школе является формирование у детей умения планировать свои действия, осуществлять поиск решения поставленной перед ними задачи. Одновременно дети осваивают соответствующий объём знаний, предусмотренный программой.

4.    Как сформировать умение младших школьников составлять  алгоритмические предписания? Приведите примеры различных упражнений с этой целью.

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) – сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью её решение. Но определённую подготовку к её достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Для этого, начиная с 1-го класса, нужно, прежде всего, учить детей «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинать эту работу следует с простейших алгоритмов, доступных и понятных им.

Можно составить алгоритм перехода улицы с нерегулируемым и регулируемым перекрёстком, алгоритмы пользования различными бытовыми приборами, приготовления какого-либо блюда (рецепт приготовления), представить в виде последовательных операций путь от дома до школы, от школы до ближайшей остановки автобуса и т.д.

Способ приготовления кофейного напитка написан на коробке и представляет собой следующий алгоритм:

1. Налить стакан горячей воды в кастрюлю.

2. Взять чайную ложку напитка.

3. Засыпать (всыпать) кофейный напиток в кастрюлю с водой.

4. Нагреть содержимое кастрюли до кипения.

5. Дать напитку отстояться.

6. Налить напиток в стакан.

 

Рассматривая такие инструкции, сам термин «алгоритм» можно не вводить, а говорить о правилах, в которых выделены пункты, указывающие на определённые действия, в результате выполнения которых решается поставленная задача.

Следует заметить, что сам термин «алгоритм» можно употреблять только условно, так как те правила и предписания, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, не обладают всеми свойствами, его характеризующими.

Алгоритмы в начальных классах описывают последовательность действий на конкретном примере не в общем виде, в них находят отражение не все операции, входящие в состав выполняемых действий, поэтому их последовательность строго не определена. Например, последовательность действий при умножении чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число (800 ∙ 4) выполняется так:

1. Представим первый множитель в виде произведения однозначного числа и единицы, оканчивающейся нулями:

               (8 ∙ 100) ∙ 4.

2. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

             (8 ∙ 100) ∙ 4 = 8 ∙ (100 ∙ 4).

3. Воспользуемся переместительным свойством умножения:

8 ∙ (100 ∙ 4) = 8 ∙ (4 ∙ 100).

4.Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

8 ∙ (4 ∙ 100) = (8 ∙ 4) ∙ 100.

5.Заменим произведение в скобках его значением:

             (8 ∙ 4) ∙ 100 = 32 ∙ 100.

1. При умножении числа на 1 с нулями нужно приписать к числу столько нулей, сколько их во втором множителе: 32 ∙ 100= 3200.

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчётливо все операции, учитель может предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит детям осознать способ деятельности. Например:

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9 ∙ (8 ∙ 100)    800 ∙ 7

(9 ∙ 8) ∙ 100    (8 ∙ 7) ∙ 100

(9 ∙ 100) ∙ 8     8 ∙ (7 ∙ 100)

9∙ 100             8 ∙ 700

72 ∙ 100               56 ∙ 100

Объясни, как получено выражение, записанное справа:

8 ∙ 6 ∙ 10 = 40 ∙ 6 2 ∙ 8 ∙ 10 = 20 ∙ 8

8 ∙ 5 ∙ 10 = 8 ∙ 50 5 ∙ 7 ∙ 10 = 7 ∙ 50

Можно ли утверждать, что значения произведений в каждой паре одинаковы:

45 ∙ 10  54 ∙ 10    32 ∙ 10

9 ∙ 50       60 ∙ 9        8 ∙ 40

Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать данные математические задания в виде определённой программы.

Например, задание «найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше предыдущего» можно представить в виде алгоритмического предписания так:

2. Запиши число 3.

3. Увеличь его на 2.

4. Полученный результат увеличь на 2.

5. Повторяй операцию 3 до тех пор, пока не запишешь 5 чисел.

Словесное алгоритмическое предписание можно заменить схематическим:

Это позволит учащимся более чётко представить каждую операцию и последовательность их выполнения.

Наряду со словесными и схематическими предписаниями можно задать алгоритм в виде таблицы.

Например, задание: «Запиши числа от 1 до 6. Каждое увеличь: а) на 2; б) на 3» можно представить в такой таблице:

+	1	2	3	4	5	6
2
3

Таким образом, алгоритмические предписания можно задавать словесным способом, схемой и таблицей.

Действуя с конкретными математическими объектами и обобщениями в виде правил, дети овладевают умением выделять элементарные шаги своих действий и определять их последовательность.

Например, правило проверки сложения можно сформулировать в виде алгоритмического предписания следующим образом. Для того чтобы проверить сложение вычитанием, нужно:

1) из суммы вычесть одно из слагаемых;

2) сравнить полученный результат с другим слагаемым;

3) если полученный результат равен другому слагаемому, то сложение выполнено верно;

4) в противном случае ищи ошибку.

Для формирования умения составлять алгоритмы нужно научить детей: находить общий способ действия; выделять основные, элементарные действия, из которых состоит данное; планировать последовательность выделенных действий; правильно записывать алгоритм.

Рассмотрим задания, цель которых – выявление способа действия:

Даны числа (см. рисунок). Составь выражения и найди их значения. Сколько всего примеров на сложение можно составить? Как нужно рассуждать при этом, чтобы не пропустить ни одного случая?

При выполнении данного задания ученики осознают необходимость выделения общего способа действия. Например, фиксировать первое слагаемое 31, в качестве второго прибавлять все числа второго столбика, затем, в качестве первого слагаемого фиксировать, например, число 41 и опять выбирать все числа из второго столбика, и т.д. Можно фиксировать второе слагаемое и перебирать все числа первого столбика. Важно, чтобы ребёнок понял, что, придерживаясь какого-то определённого способа действия, он не упустит ни одного случая и ни один из случаев не запишет дважды.

В зале три люстры и 6 окон. К празднику для украшения от каждой люстры к каждому окну протянули гирлянду. Сколько всего повесили гирлянд? (При решении можно использовать схематический рисунок.)

Для формирования у учащихся умения выявлять способ действия полезны комбинаторные задания. Их особенность в том, что они имеют не одно, а множество решений, и при их выполнении необходимо осуществлять перебор в рациональной последовательности. Например:

Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 55522 (цифру 5 можно повторять три раза, 2 – два раза).

Для решения этой комбинаторной задачи можно воспользоваться построением «дерева возможностей». Выписывается сначала одна цифра, с которой можно начать запись числа. Дальнейший алгоритм действий сводится к записи цифр, которые можно поставить после каждой цифры, пока не получим пятизначное число. Следуя данному алгоритму, необходимо комбинировать и подсчитывать, сколько раз повторились цифры 5 и 2.

Получились «веточки» с различными числами: 55522, 55252, 55225, 52552, 52525, 52255. Затем записывается цифра 2.

Записываем числа, двигаясь по «веточкам»: 22555, 25525, 25552, 25255. Ответ: можно записать 10 чисел.

Программа Петерсон Л. Г.

По данной программе вводится понятие «алгоритм», а также рассматриваются виды алгоритма.

М2П ч.1 с.75