Кручение прямого стержня некруглого  поперечного сечения

При кручении стержня некруглого поперечного сечения гипотеза плоских сечений неприменима. В процессе деформации поперечные сечения искривляются.

Кручение стержня прямоугольного сечения.

Искривления (депланации) достигают наибольшей величины посредине грани стержня и сходят на нет у ребер (рисунок 1.13).

 

Рисунок 1.13

 

Исследования показывают, что наибольшие касательные напряжения τ _max при кручении стержня прямоугольного сечения возникают посредине длинной стороны (рисунок 1.14).

 

 

Рисунок 1.14

Наибольшее касательное напряжение τ _max,   Па, определяется по формуле:

                                                                                            (65)

 

где М _z – крутящий момент, Н∙м;

W _к –  момент сопротивления при кручении, м³.

Наибольшее касательное напряжение τ', Па, у поверхности сечения посредине коротких сторон определяется по формуле:

 

                                                                                           (66)

 

где γ – числовой коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольного сечения , ;

τ _max – наибольшее касательное напряжение у поверхности сечения посредине длинных сторон, Па.

Абсолютный угол закручивания φ, рад, участка стержня определяется по формуле:

 

                                                                                   (67)

где М _z – крутящий момент, Н∙м;

   l – длина участка стержня, м;

  G – модуль сдвига, Па;

  J _к – момент инерции при кручении, м⁴.

Относительный угол закручивания θ, рад/м, участка стержня определяется по формуле:

 

                                                            (68)

 

где М _z – крутящий момент, Н∙м;

  G – модуль сдвига, Па;

  J _к – момент инерции сечения, м⁴.

Формулы для расчета полярного момента инерции и полярного момента сопротивления для прямоугольного сечения представлены в таблице 1. 2.

 

Таблица 1.2 – Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления для прямоугольного сечения

	J к	W к
у	(69)	(70)
α, β и γ – числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон прямоугольного сечения ;   b – меньшая сторона прямоугольного сечения, м.

 

Значения числовых коэффициентов α, β и γ приведены в таблице 1.3.

 

Таблица 1.3 – Значения числовых коэффициентов α, β и γ

Коэф- ты	Величина
	1	1,5	1,75	2,0	2,5	3,0	4,0	6,0	8,0	10,0
α β γ	0,140 0,208 1,000	0,294 0,346 0,859	0,375 0,418 0,820	0,457 0,493 0,795	0,622 0,645 0,766	0,790 0,801 0,753	1,123 1,128 0,745	1,789 1,789 0,743	2,456 2,456 0,742	3,123 3,123 0,742

 

Задание к расчетно-проектировочной работе

 

Выбор варианта задания и требования к оформлению:

1) Необходимо выбрать из таблиц 2.1 – 2.5, прилагаемых к условию задания, данные в соответствии со своим вариантом. Номер схемы нагружения соответствует номеру варианта.

2) Расчетно-проектировочная работа выполняется на бумаге формата А4.

3) Расчетно-проектировочная работа должна содержать условие задания, расчетно-графическую схему с указанием на ней в числах всех величин и решения с кратким объяснением. Расчеты выполняются в единицах системы СИ (для удобства допускается использование производных единиц).

 

Расчетно-проектировочная работа «Расчет на прочность и жесткость стержня при кручении»

Задача №1

Дан стальной стержень (модуль упругости   G = 8·10⁴ Мпа), нагруженный сосредоточенными моментами М₁, М₂, М₃ . Стержень состоит из трех участков, два из которых имеют одинаковый тип и размер поперечного сечения.

Требуется:

1 Построить эпюру крутящего момента М _z  по длине бруса.

2 Определить из расчета на прочность (при τ_Т=140 Мпа; n=2,5) размеры поперечных сечений стержня: прямоугольное поперечное сечение (h \ b =2); круглое сплошное поперечное сечение или круглое полое (). Выполнить проверку условия прочности стержня по участкам.

3 Построить эпюру максимальных касательных напряжений τ _max  и эпюры распределения касательных напряжений по поперечным сечениям.

     4 Определить изменение угла закручивания стержня под действием внешних крутящих моментов и построить эпюру абсолютных углов закручивания поперечных сечений. Выполнить проверку условия жесткости стержня, если φ⁰ _adm =1⁰.

Таблица 2.1 – Исходные данные

№ варианта	М1, Н∙м	М2, Н∙м	М3, Н∙м	l1, м	l 2, м	l 3, м
1	2	3	4	5	6	7
1	200	150	100	0,15	0,20	0,30
2	320	190	330	0,23	0,19	0,18
3	240	90	400	0,25	0,18	0,32
4	120	210	180	0,31	0,15	0,20
5	400	470	320	0,25	0,31	0,17
6	350	180	130	0,18	0,23	0,33
7	230	50	420	0,21	0,30	0,23
8	590	480	250	0,32	0,27	0,33
9	520	50	170	0,26	0,17	0,32
10	530	160	110	0,16	0,21	0,31
11	580	150	250	0,22	0,15	0, 30
12	560	370	230	0,21	0,32	0,19
13	140	110	160	0,20	0,30	0,21
14	480	110	240	0,26	0,17	0, 31
15	300	200	420	0,23	0,31	0,22
16	60	160	410	0,21	0,28	0,19
17	110	520	300	0,22	0,32	0,21
18	210	370	260	0,26	0,15	0,19
19	450	470	300	0, 31	0,26	0,32
20	230	50	410	0, 24	0,32	0,18
21	450	200	480	0,30	0,25	0,31
22	60	210	190	0,23	0,16	0,30
23	120	110	280	0,19	0,27	0,31
24	120	430	180	0,20	0,31	0,17
25	180	170	120	0,17	0,22	0,32
26	480	450	280	0,33	0,28	0,31
27	250	300	200	0,21	0,31	0,22
28	310	280	340	0,16	0,32	0,15
29	420	220	360	0,31	0,14	0,27
30	380	200	340	0,24	0, 30	0,21

Таблица 2.2 – Схемы нагружения бруса

№1	№2
№3	№4
№5	№6
№7	№8
№9	№10

Продолжение таблицы 2.2

№11	№12
№13	№14
№15	№16
№17	№18
№19	№20

Продолжение таблицы 2.2

№21	№22
№23	№24
№25	№26
№27	№28
№29	№30

Задача №2

От электродвигателя на вал I посредством ременной передачи (шкив диаметром D и шкив диаметром D₁) передается мощность Р при частоте вращения вала электродвигателя n. С вала I посредством фрикционной передачи поступает на вал II мощность Р₁ (шкив диаметром D₂ и шкив диаметром D₃)_. С валов I и II поступают к рабочим машинам мощности Р₂, Р₃, Р₄ и Р₅ . Сечения валов считать по всей длине постоянными (рисунок 3.3). Требуется: построить эпюры крутящих моментов для валов I и II и определить диаметры валов d _I и d _II  из условия прочности и жесткости. Полученное по расчету значение диаметра (мм) округлить до ближайшего числа, оканчивающегося на 0 или 5.

Таблица 2.3 – Исходные данные

№ в	Р, кВт	D, мм	n, об /мин	Р1, кВт	Р2, кВт	Р3, кВт	Р4, кВт	Р5, кВт	D 1, мм	D 2, мм	D 3, мм	τ adm, Мпа	Θ adm, рад / м
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	20	200	800	13	4	3	8	5	300	210	400	15	0,004
2	21	210	850	16	5	9	5	2	320	220	410	16	0,005
3	22	220	900	15	7	5	6	4	310	230	420	17	0,006
4	23	230	920	17	6	8	5	4	340	240	430	18	0,007
5	24	250	970	19	5	7	8	4	330	250	440	19	0,008
6	25	200	900	16	6	3	7	9	350	260	450	20	0,009
7	26	210	950	18	8	6	8	4	340	270	460	21	0,011
8	27	220	820	15	12	2	8	5	350	280	470	22	0,012
9	28	230	980	18	10	5	7	6	300	290	480	23	0,013
10	29	250	940	16	13	5	4	7	340	280	490	24	0,014
11	30	200	950	16	14	8	5	3	310	270	400	23	0,015
12	29	210	860	14	15	4	8	2	350	260	410	22	0,016
13	28	220	970	16	12	5	7	4	330	250	420	21	0,017
14	27	230	980	17	10	8	3	6	320	240	430	20	0,004
15	26	250	890	16	3	7	7	9	350	230	440	19	0,005
16	25	200	900	15	8	2	9	6	310	220	450	18	0,006
17	24	210	910	18	6	7	6	5	310	210	460	17	0,007
18	23	220	920	15	8	3	7	5	340	240	470	16	0,008
19	22	230	930	19	3	6	7	6	330	250	480	15	0,009
20	21	250	940	15	6	2	3	10	350	260	490	16	0,011
21	20	200	980	16	4	3	4	9	340	270	400	17	0,012
22	21	210	960	17	3	1	8	9	350	280	410	18	0,013
23	22	220	970	15	2	5	9	6	300	290	420	19	0,014
24	23	230	980	15	3	5	4	11	340	280	430	20	0,015
25	24	250	900	17	5	2	3	14	310	240	440	21	0,016
26	25	200	950	19	5	1	9	10	350	250	450	22	0,017
27	26	210	960	18	5	3	11	7	330	260	460	23	0,005
28	27	220	970	16	11	4	10	2	320	270	470	24	0,006
29	28	230	980	19	5	4	9	10	350	280	480	23	0,007
30	29	250	990	17	7	5	11	6	340	290	490	22	0,008

Таблица 2.4 – Схемы нагружения бруса

№1	№2
№3	№4
№5	№6
№7	№8

 

Продолжение таблицы 2.4

№9	№10
№11	№12
№13	№14
№15	№16

 

Продолжение таблицы 2.4

№17	№18
№19	№20
№21	№22
№23	№24

 

Продолжение таблицы 2.4

№25	№26
№27	№28
№29	№30

4 Пример выполнения расчетно-проектировочной работы «Расчет на прочность и жесткость стержня при кручении»

Задача №1

Дан стальной стержень (модуль упругости   G = 8·10⁴ МПа), нагруженный сосредоточенными моментами М₁, М₂, М₃ . Стержень состоит из трех участков, два из которых имеют одинаковый тип и размер поперечного сечения.

Требуется:

1 Построить эпюру крутящего момента М _z  по длине бруса.

2 Определить из расчета на прочность (при τ_Т=140 МПа; n=2,5) размеры поперечных сечений стержня: прямоугольное поперечное сечение (h \ b =2); круглое сплошное поперечное сечение или круглое полое ( =0,7). Выполнить проверку условия прочности стержня по участкам.

3 Построить эпюру максимальных касательных напряжений τ _max и эпюры распределения касательных напряжений по поперечным сечениям.

4 Определить изменение угла закручивания стержня под действием внешних крутящих моментов и построить эпюру абсолютных углов закручивания поперечных сечений. Выполнить проверку условия жесткости стержня, если φ⁰ _adm =1⁰.

Дано: М1=490 Н∙м; М2=110 Н∙м; М3=260 Н∙м; l 1 =0,2 м; l 2 =0,15 м; l 3 =0,31м; τТ=140 МПа; G = 8·104 МПа;  n=2,5; φ0 adm =10.

Рисунок 3.1

1Определим реакции опор.

Введем декартову систему координат. Ось z совместим с осью бруса; оси x и y расположим в плоскости поперечного сечения (рисунок 3.2 а). За положительное направление осей выберем направления, указанные на чертеже.

 Под действием внешней нагрузки в жестко защемленной опоре возникает реактивный момент М_А (рисунок 3.2 а), который определяется из уравнения равновесия статики. Направление реактивного момента М_А выбираем произвольно. Условимся, что если момент направлен по ходу часовой стрелки, то будем считать его отрицательным.

 

                               

Реактивный момент М_А имеет знак «-», Это означает, что реактивный момент М_А направлен в противоположную сторону по отношению к выбранному направлению рисунок 3.2 а).

2 Определим крутящий момент М _z на каждом участке нагружения стержня и построим эпюру.

Разбиваем данный ступенчатый стержень на участки. Границам участков являются места приложения внешних крутящих моментов и изменения размеров поперечного сечения. Обозначим границы участков буквами А, В, С и D, начиная от жесткой заделки. Стержень состоит из трех участков нагружения: участок АВ, участок ВС и участок С D (рисунок 3.2 а). Причем, участки АВ и ВС имеют одинаковые тип и размеры поперечного сечения - круглое сплошное сечение; участок С D – прямоугольное сечение.

Для определения крутящих моментов М _z используем метод сечений: на каждом участке проведем сечение, перпендикулярное оси стержня; отбросим одну часть стержня; рассмотрим равновесие оставшейся части. Рассмотрим каждый участок в отдельности. Составим уравнения крутящих моментов на каждом участке стержня.

Участок АВ (0 ≤ z ₁ ≤ 0,2 м )

Проведем сечение I-I, перпендикулярное оси стержня, на расстоянии z ₁ от точки А. Отбросим правую от сечения часть стержня. Рассмотрим равновесие оставшейся левой части. На левую часть стержня действует реактивный момент М_А, который направлен против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны поперечного сечения, следовательно, по условному правилу знаков подставляем его значение в формулу со знаком «+». Таким образом, в поперечном сечении I-I возникает крутящий момент :

        

(уравнение константы).

 

Участок ВС, (0 ≤ z ₂ ≤ 0,15 м )

Проведем сечение II-II на расстоянии z ₂ от точки В. Отбросим правую от сечения часть стержня. Рассмотрим всю левую часть. На левую часть действуют реактивный момент М _A и внешний крутящий момент М₁. Если смотреть со стороны поперечного сечения, то реактивный момент М_А направлен против хода часовой стрелки следовательно, подставляем его значение в формулу со знаком «+»; крутящий момент М₁ направлен по ходу часовой стрелки, следовательно, подставляем его значение в формулу со знаком «-». Таким образом, в поперечном сечении II-II возникает крутящий момент :

(уравнение константы).

 

Участок CD (0 ≤ z ₃ ≤ 0,31 м )

Проведем сечение III-III на расстоянии z ₃ от точки D. Отбросим правую от сечения часть стержня. Рассмотрим всю левую часть. На левую часть стержня действуют реактивный момент М _A и внешние крутящие моменты М₁ и М₂. Если смотреть со стороны поперечного сечения, то реактивный момент М_А направлен против хода часовой стрелки, следовательно, подставляем его значение в формулу со знаком «+»; крутящий момент М₁ направлен по ходу часовой стрелки, следовательно, подставляем его значение в формулу со знаком «-»; крутящий момент М₂ направлен против хода часовой стрелки, следовательно, подставляем его значение в формулу со знаком «+». Таким образом, в поперечном сечении III-III возникает крутящий момент :

(уравнение константы).

По найденным значениям крутящих моментов для каждого участка строим эпюру крутящих моментов   М _z (рисунок 3.2 б).

3 Определим из расчета на прочность при τ_Т=140 МПа; n=2,5 размеры поперечных сечений стержня. Выполним проверку условия прочности. Построим эпюру максимальных касательных напряжений τ _max и эпюры распределения касательных напряжений по поперечным сечениям.

Для определения размеров поперечных сечений используем формулу проектного расчета. Определим сечения, в которых возникает максимальный крутящий момент (опасные сечения), на каждом участке бруса. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Следовательно, на каждом участке все сечения равноопасны.

По условию задачи участки АВ и ВС имеют одинаковые тип и размеры поперечного сечения. На участке ВС крутящий момент по абсолютному значению больше, чем на участке АВ. Поэтому расчет размеров поперечного сечения будем вести по участку ВС.

Участок ВС (0 ≤ z ₂ ≤ 0,15 м )

Участок ВС по условию задачи имеет круглое сплошное поперечное сечение диаметром d.

Требуемый из условия прочности полярный момент сопротивления определяется по формуле:

С учетом того, что полярный момент сопротивления для сплошного круглого сечения определяется по формуле:

 

 

диаметр круглого поперечного сечения определим по формуле:

 

 

 

Назначаем d =32,3 мм.   

Определим максимальные касательные напряжения при назначенных размерах поперечного сечения стержня на участке ВС, учитывая, что  фактический момент сопротивления определяется по формуле :

(уравнение константы).

 

Так как все сечения в пределах участка равноопасны, то τ _ВС =τ _max.

Выполним проверку условия прочности:

 

 

 54,89 МПа <  56 МПа.

 

Недогрузка стержня на участке ВС составляет:

 

Недогрузка не превышает 5 %, следовательно, условие прочности на участке ВС выполняется.

Участок АВ (0 ≤ z ₁ ≤ 0,2 м )

Определим максимальные касательные напряжения при назначенных размерах поперечного сечения стержня на участке АВ, учитывая, что фактический момент сопротивления определяется по формуле :

 (уравнение константы).

Так как все сечения в пределах участка равноопасны, то τ _АВ = τ _max.    

Выполним проверку условия прочности:

 

17,81 МПа <  56 МПа.

   

Недогрузка стержня на участке АВ составляет:

 

 

Участок С D (0 ≤ z ₃ ≤ 0,31 м )

Участок С D по условию задачи имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами b и h, причем h \ b =2.

Требуемый из условия прочности при кручении  момент сопротивления определяется по формуле:

 Момент сопротивления при кручении для прямоугольного сечения определяется по формуле:

 

 

Значение коэффициента β выбираем из таблицы в зависимости от соотношения сторон прямоугольника: при