К выполнению расчетно-проектировочной работы

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

                                            Оренбург 2009           

 

УДК 539.414 (07)

ББК 30.121 я7

Ф 91

Рецензент

Доцент П.Н. Ельчанинов 

 

Фролова О.А.

Ф 91      Кручение стержня: методические указания к выполнению расчетно-проектировочной работы /О.А. Фролова, В.С. Гарипов. - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009. -50 с.

В методических указаниях по сопротивлению материалов приведены основные сведения из теории, варианты заданий к расчетно-проектировочной работе и примеры решения типовых задач с пояснениями.

Методические указания предназначены для выполнения расчетно-проектировочной работы для студентов инженерных специальностей.

                   

 

 

                                                                                   © Фролова О.А.,

                                                                                       Гарипов В.С., 2009

                                                                                   © ГОУ ОГУ, 2009

 

Содержание

 

1 Основные сведения из теории…………….………………..….……….......4

1.1 Основные понятия. Крутящий момент………………………….….…......4

1.2 Напряжения и деформации при кручении стержня круглого

 поперечного сечения…………………….…………..………………….……..6

1.3 Виды расчетов на прочность и жесткость……………………………….12

1.4 Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении…….…..17

1.5 Кручение прямого стержня некруглого поперечного сечения…………18

2  Задание к расчетно-проектировочной работе……………………….……21

2.1 Расчетно-проектировочная работа «Расчет на прочность и жесткость

 стержня при кручении»…………………………………………….…………21

2.1.1 Задача №1………………………………………………………………..21

2.1.2 Задача №2……………………………………………………………..…26

3  Пример выполнения расчетно-проектировочной работы работа

 «Расчет на прочность и жесткость стержня при кручении»……………......31

3.1Задача №1……………………………………………………………..….…31

3.2 Задача №2…………………………………………………………….….…40

4  Литература, рекомендуемая для изучения темы ………………………….48

Приложение А Формулы для определения размеров поперечных сечений круглых стержней ……………………………………………………...………49

 

 

Основные сведения из теории

Основные понятия. Крутящий момент

Кручение – это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса при приложении внешних крутящих моментов возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М _z.

Для определения крутящего момента М _z,возникающего в поперечном сечении стержня применяют метод сечений. Мысленно рассекаем стержень плоскостью α, перпендикулярной к его оси, на две части и рассматриваем равновесие одной из них (рисунок 1.1).

 

 

 

Рисунок 1.1

 

Крутящий момент М _z, Н∙м,  в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих на стержень по одну сторону от сечения:

 

                                      .                                              (1)

 

Знак крутящего момента физического смысла не имеет и общепринятого правила знаков не существует. Однако иногда для удобства построения эпюры крутящего момента внешние крутящие моменты  подставляют в формулу (1) в соответствии с правилом знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит  внешний крутящий момент М направленным против часовой стрелке, то его значение подставляют в формулу со знаком «+»; если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит внешний крутящий момент М направленным по часовой стрелке, то его значение подставляют в формулу со знаком «-» (рисунок 1.2 а, б).

Рисунок 1.2

 

Изменение крутящих моментов по длине стержня изображается графически путем построения эпюры крутящих моментов.

     Деформации кручения подвергаются многие элементы различных конструкций и деталей машин: валы различных приводных устройств, трансмиссионные валы, пружины, болты, вертолетные лопасти, лопатки вращающихся деталей. Однако на практике чаще всего встречается одновременное действие кручения и изгиба. При относительно небольших изгибающих моментах деформацию изгиба можно не учитывать и рассчитывать стержень только на кручение.

Валы – детали, предназначенные для передачи крутящего момента вдоль своей оси и поддержания вращающихся деталей машин: зубчатых колес, шкивов, звездочек.

    Известно, что крутящий момент М определяется по формуле:

 

                                                                          (2)

 

где Р – мощность вала;

  ω – угловая скорость вращения вала.

    Если вал делает в минуту n оборотов, то угол поворота вала за 1 с, выраженный в радианах, равен .

  Тогда угловая скорость вала ω, рад/с:

 

                                                                                   (3)

 

где n – частота вращения вала, об/мин;

При расчете валов часто бывают заданы передаваемая мощность Р и угловая скорость вращения вала ω, рад/с:   или число оборотов n, об/мин. При этом крутящий момент М с учетом формул (46) и (47) будет определяться по следующим формулам:

- если мощность задана в кВт, то учитывая, что 1 кВт = 974 , крутящий момент М, Н∙м, равен:

 

                                     (4)

или

                                                                      (5)

                  

- если мощность задана в лошадиных силах (л. С.), то учитывая, что

1 л. С. =0,736 кВт=716,86  , крутящий момент М, Н∙м, равен:

    

                                            (6)   

или        

                                                                     (7)

 

 

Расчет на прочность.

Условие прочности выражается неравенством:

 

                                           (27)

где   τ _max – наибольшее касательное напряжение при кручении;

   τ _adm - допускаемое касательное напряжение при кручении.

В большинстве случаев допускаемые касательные напряжения на кручение принимают в зависимости от допускаемых нормальных напряжений на растяжение для того же материала:

- для стали τ _adm (0,55…0,6) σ _adm;

 

- для чугуна

 

Эти значения допускаемых касательных напряжений относятся к случаям работы элементов конструкций на чистое кручение при статическом нагружении. 

Валы, рассчитываемые на кручение, кроме кручения, испытывают изгиб и действие переменных во времени напряжений. Поэтому при расчете валов на кручение статической нагрузкой необходимо принять пониженные значения допускаемых напряжений. Для валов из конструкционной углеродистой  стали принимают τ _adm =15-35 Мпа.

Кроме того, допускаемое напряжение зависит от свойств материала стержня и от принятого коэффициента запаса прочности:

- для пластичного материала допускаемое касательное напряжение определяется по пределу текучести при кручении

 

                                                                                            (28)

 

где   τ_Т – предел текучести при кручении;

  n -  запас  прочности;

- для хрупкого материала допускаемое касательное напряжение определяется по пределу прочности при кручении

 

                                                                                                        (29)

 

где τ_В – предел прочности при кручении;

  n -  запас  прочности.

В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды расчета на прочность:

- проверочный расчет (проверка наибольшего расчетного напряжения в стержне)

                                                                                 (30)

 

- проектный расчет ( подбор размеров поперечного сечения стержня):

 

                                                                                      (31)

 

Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня, в пределах которого усилие М _z и жесткость поперечного сечения постоянны, из условия прочности будут определяться по формулам:

 

 

- для круглого сплошного сечения с учетом того, что	- для круглого полого сечения с учетом того, что

 

При расчете валов часто бывают заданы передаваемая мощность Р и угловая скорость вращения вала ω или число оборотов n. При этом размеры поперечных сечений будут определяться по формулам:

 

- для круглого сплошного сечения	- для круглого полого сечения
Если задана мощность Р, кВт и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или число оборотов n, об/мин (с учетом того, что , Нм)
(34)         (35)	(36)    (37)
Если задана мощность Р, л.с. и угловая скорость вращения вала ω, рад/с или число оборотов n, об/мин (с учетом того, что , Нм)
(38)           (39)	(40)   (41)

     

  - определение допускаемого значения крутящего момента

 

                                                                                    (42)

 

Расчет на жесткость.

Для нормальной работы некоторых конструкций необходимо, чтобы деформации их элементов не превышали допускаемой величины. При чрезмерно большой длине вал может получать большие углы закручивания. При остановках это вызывает явление пружинения, которое выводит из строя подшипники. Большие углы закручивания особенно опасны при передаче переменного во времени момента, так как при этом возникают опасные для прочности бруса крутильные колебания.

Условие жесткости  стержня при кручении выражается неравенством:

 

                                                                                              (43)

 

где φ – абсолютный угол закручивания, рад, гр ад;

  φ _adm – допускаемыйабсолютный угол закручивания, рад, град;

или

                                                                                             (44)

 

где - относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины), рад/м, град/м;

    θ _adm – допускаемый относительный угол закручивания, рад/м, град/м.

Значения допускаемых относительных углов закручивания θ _adm для разных конструкций и разных видов нагрузки колеблются в широких пределах: от 0,002 до 0,035 рад/м или от 0,15 до 2 град/м;наиболее распространены значения  от 0,00438 до 0,0175 рад/м или от 0,25 до 1 град/м.

В зависимости от поставленной задачи различают следующие виды расчета на жесткость:

- проверочный расчет

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
(45)	(47)
(46)	(48)

 

- проектный расчет

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
(49)	(51)
(50)	(52)

                   

                           

Размеры поперечных сечений круглых стержней (диаметр d, м для стержня круглого сплошного поперечного сечения; диаметры D и d, м для стержня круглого полого поперечного сечения) для участка стержня, в пределах которого усилие М _z и жесткость поперечного сечения постоянны, из условия жесткости будут определяться по формулам:

 

- для круглого сплошного сечения с учетом того, что

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
- φ adm, рад: - φ o adm, градус:	- θ adm, рад/м: - , град/м:

 

- для круглого полого сечения с учетом того, что                                                     

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
- φ adm, рад:   - φ o adm, градус:	- θ adm, рад/м:   - θ o adm, град/м:

     

 

  Если задана мощность Р, кВт или л.с., угловая скорость вращения вала ω, рад/с или число оборотов n, об/мин, то размеры поперечных сечений из условия жесткости будут определяться по формулам, приведенным в приложении А.

 

 

   - определение допускаемого значения крутящего момента

По абсолютному углу закручивания	По относительному углу закручивания
(61)	(63)
(62)	(64)

 

 

    1.4Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении

В поперечном сечении стержня действуют касательные напряжения, распределенные по линейному закону. В силу закона парности касательных напряжений (τ_α= - τ_β) в диаметральных сечениях также возникают касательные напряжения (рисунок 1.8).

 

 

Рисунок 1.8

 

На гранях элемента, образованного двумя параллельными осевыми и поперечными сечениями, в стержне будут возникать только касательные напряжения – это состояние чистого сдвига (рисунок 1.9).

 

 

Рисунок 1.9

 

Согласно теории напряженного состояния в сечениях, наклоненных к оси, будут действовать также и нормальные напряжения. По площадкам, расположенным под углом 45⁰  к сечению, действуют наибольшие нормальные напряжения.

Таким образом,  при кручении во всех площадках стержня имеет место двухосное неоднородное напряженное состояние.

Характер разрушения (сдвиг или отрыв) бруса при кручении зависит от способности материалов сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений:

- при кручении стальных стержней разрушение происходит по сечению перпендикулярному к оси бруса под действием касательных напряжений, действующих в этом сечении (рисунок 1.10);

 

 

Рисунок 1.10

 

- при кручении чугунных стержней разрушение происходит под действием нормальных растягивающих напряжений, максимальные значения которых имеют место в сечениях, идущих по винтовой линии и пересекающих образующие под углом 45⁰ (рисунок 1.11);

 

 

Рисунок 1.11

 

- при кручении деревянных стержней с продольным расположением волокон вдоль оси кручения разрушение происходит от касательных напряжений, действующих вдоль волокон (рисунок 1.12).

 

 

Рисунок 1.12

 

Задание к расчетно-проектировочной работе

 

Выбор варианта задания и требования к оформлению:

1) Необходимо выбрать из таблиц 2.1 – 2.5, прилагаемых к условию задания, данные в соответствии со своим вариантом. Номер схемы нагружения соответствует номеру варианта.

2) Расчетно-проектировочная работа выполняется на бумаге формата А4.

3) Расчетно-проектировочная работа должна содержать условие задания, расчетно-графическую схему с указанием на ней в числах всех величин и решения с кратким объяснением. Расчеты выполняются в единицах системы СИ (для удобства допускается использование производных единиц).

 

Задача №1

Дан стальной стержень (модуль упругости   G = 8·10⁴ Мпа), нагруженный сосредоточенными моментами М₁, М₂, М₃ . Стержень состоит из трех участков, два из которых имеют одинаковый тип и размер поперечного сечения.

Требуется:

1 Построить эпюру крутящего момента М _z  по длине бруса.

2 Определить из расчета на прочность (при τ_Т=140 Мпа; n=2,5) размеры поперечных сечений стержня: прямоугольное поперечное сечение (h \ b =2); круглое сплошное поперечное сечение или круглое полое (). Выполнить проверку условия прочности стержня по участкам.

3 Построить эпюру максимальных касательных напряжений τ _max  и эпюры распределения касательных напряжений по поперечным сечениям.

     4 Определить изменение угла закручивания стержня под действием внешних крутящих моментов и построить эпюру абсолютных углов закручивания поперечных сечений. Выполнить проверку условия жесткости стержня, если φ⁰ _adm =1⁰.

Таблица 2.1 – Исходные данные

№ варианта	М1, Н∙м	М2, Н∙м	М3, Н∙м	l1, м	l 2, м	l 3, м
1	2	3	4	5	6	7
1	200	150	100	0,15	0,20	0,30
2	320	190	330	0,23	0,19	0,18
3	240	90	400	0,25	0,18	0,32
4	120	210	180	0,31	0,15	0,20
5	400	470	320	0,25	0,31	0,17
6	350	180	130	0,18	0,23	0,33
7	230	50	420	0,21	0,30	0,23
8	590	480	250	0,32	0,27	0,33
9	520	50	170	0,26	0,17	0,32
10	530	160	110	0,16	0,21	0,31
11	580	150	250	0,22	0,15	0, 30
12	560	370	230	0,21	0,32	0,19
13	140	110	160	0,20	0,30	0,21
14	480	110	240	0,26	0,17	0, 31
15	300	200	420	0,23	0,31	0,22
16	60	160	410	0,21	0,28	0,19
17	110	520	300	0,22	0,32	0,21
18	210	370	260	0,26	0,15	0,19
19	450	470	300	0, 31	0,26	0,32
20	230	50	410	0, 24	0,32	0,18
21	450	200	480	0,30	0,25	0,31
22	60	210	190	0,23	0,16	0,30
23	120	110	280	0,19	0,27	0,31
24	120	430	180	0,20	0,31	0,17
25	180	170	120	0,17	0,22	0,32
26	480	450	280	0,33	0,28	0,31
27	250	300	200	0,21	0,31	0,22
28	310	280	340	0,16	0,32	0,15
29	420	220	360	0,31	0,14	0,27
30	380	200	340	0,24	0, 30	0,21

Таблица 2.2 – Схемы нагружения бруса

№1	№2
№3	№4
№5	№6
№7	№8
№9	№10

Продолжение таблицы 2.2

№11	№12
№13	№14
№15	№16
№17	№18
№19	№20

Продолжение таблицы 2.2

№21	№22
№23	№24
№25	№26
№27	№28
№29	№30

Задача №2

От электродвигателя на вал I посредством ременной передачи (шкив диаметром D и шкив диаметром D₁) передается мощность Р при частоте вращения вала электродвигателя n. С вала I посредством фрикционной передачи поступает на вал II мощность Р₁ (шкив диаметром D₂ и шкив диаметром D₃)_. С валов I и II поступают к рабочим машинам мощности Р₂, Р₃, Р₄ и Р₅ . Сечения валов считать по всей длине постоянными (рисунок 3.3). Требуется: построить эпюры крутящих моментов для валов I и II и определить диаметры валов d _I и d _II  из условия прочности и жесткости. Полученное по расчету значение диаметра (мм) округлить до ближайшего числа, оканчивающегося на 0 или 5.

Таблица 2.3 – Исходные данные

№ в	Р, кВт	D, мм	n, об /мин	Р1, кВт	Р2, кВт	Р3, кВт	Р4, кВт	Р5, кВт	D 1, мм	D 2, мм	D 3, мм	τ adm, Мпа	Θ adm, рад / м
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	20	200	800	13	4	3	8	5	300	210	400	15	0,004
2	21	210	850	16	5	9	5	2	320	220	410	16	0,005
3	22	220	900	15	7	5	6	4	310	230	420	17	0,006
4	23	230	920	17	6	8	5	4	340	240	430	18	0,007
5	24	250	970	19	5	7	8	4	330	250	440	19	0,008
6	25	200	900	16	6	3	7	9	350	260	450	20	0,009
7	26	210	950	18	8	6	8	4	340	270	460	21	0,011
8	27	220	820	15	12	2	8	5	350	280	470	22	0,012
9	28	230	980	18	10	5	7	6	300	290	480	23	0,013
10	29	250	940	16	13	5	4	7	340	280	490	24	0,014
11	30	200	950	16	14	8	5	3	310	270	400	23	0,015
12	29	210	860	14	15	4	8	2	350	260	410	22	0,016
13	28	220	970	16	12	5	7	4	330	250	420	21	0,017
14	27	230	980	17	10	8	3	6	320	240	430	20	0,004
15	26	250	890	16	3	7	7	9	350	230	440	19	0,005
16	25	200	900	15	8	2	9	6	310	220	450	18	0,006
17	24	210	910	18	6	7	6	5	310	210	460	17	0,007
18	23	220	920	15	8	3	7	5	340	240	470	16	0,008
19	22	230	930	19	3	6	7	6	330	250	480	15	0,009
20	21	250	940	15	6	2	3	10	350	260	490	16	0,011
21	20	200	980	16	4	3	4	9	340	270	400	17	0,012
22	21	210	960	17	3	1	8	9	350	280	410	18	0,013
23	22	220	970	15	2	5	9	6	300	290	420	19	0,014
24	23	230	980	15	3	5	4	11	340	280	430	20	0,015
25	24	250	900	17	5	2	3	14	310	240	440	21	0,016
26	25	200	950	19	5	1	9	10	350	250	450	22	0,017
27	26	210	960	18	5	3	11	7	330	260	460	23	0,005
28	27	220	970	16	11	4	10	2	320	270	470	24	0,006
29	28	230	980	19	5	4	9	10	350	280	480	23	0,007
30	29	250	990	17	7	5	11	6	340	290	490	22	0,008

Таблица 2.4 – Схемы нагружения бруса

№1	№2
№3	№4
№5	№6
№7	№8

 

Продолжение таблицы 2.4

№9