Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2022-02-10 | 101 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Понятие вектора в пространстве.
П1. Основные понятия.
Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут (рис. 1).
Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.
Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.
Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут (рис. 1).
Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой (рис. 2).
Опр. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка . Пишут . Длина нулевого вектора равна нулю .
Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .
Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными , если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: , , , , , и не коллинеарны.
П2. Равенство векторов.
Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Например, на рис. 3: а) , так как и , б) , так как , в) , так как , но .
Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
П3. Сложение и вычитание векторов.
Правило треугольника. Чтобы найти сумму двух векторов и нужно от произвольной точки отложить вектор , а затем от точки отложить вектор , тогда вектор (рис. 4).
Это правило можно сформулировать короче: для любых трёх точек , , имеет место равенство. .
Аналогично вводится правило суммы нескольких векторов.
|
Свойства суммы векторов. Для любых векторов справедливы равенства:
1) (коммутативность сложения, переместительный закон),
2) (ассоциативность сложения, сочетательный закон).
Опр. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Очевидно, вектор является противоположным вектору , то есть .
Опр. Разностью векторов и называется вектор, равный сумме вектора и вектора , противоположного вектору , то есть .
Например, .
Метод координат в пространстве.
П2. Координаты вектора.
Зададим в пространстве прямоугольную декартову систему координат . На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор (вектор длины один): , , . Данные вектора называются координатными векторами. Очевидно, что координатные вектора не компланарны. Значит, по теореме §1, любой вектора можно разложить по данным трём векторам, то есть представить в виде , причем коэффициенты разложения , , определяются единственны образом и называются координатами вектора в данной системе координат. Пишут .
Например, в прямоугольном параллелепипеде (рис. 4), у которого , , выполняется , , , , , , , .
Свойства операций над векторами. Пусть , – произвольные вектора, , – произвольные точки, - середина отрезка , – произвольное число, тогда:
1) вектора и равны тогда и только тогда, когда , , ;
2) каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: ;
3) каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов: ;
4) каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число: ;
5) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала: ;
6) каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов ;
7) длина вектора может быть вычислена по формуле ; следовательно, длина вектора .
|
Понятие вектора в пространстве.
П1. Основные понятия.
Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут (рис. 1).
Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.
Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.
Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут (рис. 1).
Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой (рис. 2).
Опр. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка . Пишут . Длина нулевого вектора равна нулю .
Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .
Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными , если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: , , , , , и не коллинеарны.
П2. Равенство векторов.
Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Например, на рис. 3: а) , так как и , б) , так как , в) , так как , но .
Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!