Задачи на арифметическую прогрессию (из открытого банка заданий ОГЭ)

1. Дана арифметическая прогрессия: -30; -24; -18;… Найти сумму первых десяти членов.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из (последующего члена) (предыдущий). (Или из – ):

.

Теперь воспользуемся формулой для суммы

Ответ: -30

2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из (последующего члена) (предыдущий). (Или из – ):

.

Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::

Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

 

3.Арифметическая прогрессия задана условиями: , . Найти .

Так как между последующим и предыдущим членами (из условия) разность равна 3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем :

Ответ: 38

Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Найти надо количество задач, решенных в последний день – то есть 12 член прогрессии.

– в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

Находим 12 член прогрессии:

Ответ: 57

5. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов – 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

Откуда

Ответ: 30

 

Глава 3 Связь арифметическойпрогрессии со школьными предметами

3.1. Прогрессия в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

 ... Не мог он ямба от хорея,

 Как мы не бились отличить...

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...                                     A.С. Пушкин 

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»               

Прогрессия: 1; 3;5; 7...                                      Б.Л. Пастернак

«бУря мглОю нЕбо крОет»

прогрессия 1; 3; 5; 7.                       

А.С. Пушкин.

 

Прогрессия в музыке.

В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия бывает точная или неточная. В точной, мотив повторяется на другой ступени буквально, т. е. с сохранением не только названий всех своих интервалов, но и их точной величины. В неточной прогрессии допускаются отступления от точной величины интервалов мотива, и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессия в музыке называется секвенцией.

 

Выводы

Понятие «прогрессия» возникло и исторически развивалось из практической деятельности человека, это подтверждают задачи на прогрессии, дошедшие до нас из глубины веков.

Прогрессии известны так давно, что нельзя точно определить, кто их открыл.

Много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых учебниках по математике, в занимательных книгах по математике.

Данные знания применимы в жизненных ситуациях, доказательством чего является изменение в заданиях №14 ОГЭ (новая версия 2021). Решая данные задания, учащиеся имеют возможность успешно сдать итоговою аттестацию.

Как никогда убеждаемся в правоте высказывания «Математика не только царица, но и служанка всех наук».

Поставленная цель проекта -показать важность знаний по теме арифметическая прогрессия в жизни человека на примерах экзаменационных материалов, установить картину возникновения понятия прогрессии; выявление интересных фактов о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

 

Информационные ресурсы

— Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ С.М. Никольский, М.К. ПотаповМ.:–М.: Просвещение, 2015г;

— Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. М.:Мнемозина, 2014г.;

— Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2015г;

— Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е.. -М.: Мнеозина, 2015г.;

— Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М.:Дрофа, 2015г.;

— Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990г.

— Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989г.

— http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

— http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op

— http://festival.1september.ru/articles/568100/

https://mega-talant.com/biblioteka/prezentaciya-zadacha-14-oge-matematika-2021-104022.html