Назначение лекарственных препаратов

Задача: Больной принимает гомеопатическое лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

()- арифметическая прогрессия
= 5
d =5
: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
Найти:
            Решение: =а₁+d(n-1)
            40=5+5(n-1),

n=8

= n;

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период. Всего он принял 180+40+180=400 (капель), тогда всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька.

В спорте

Задача: В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

        Решение: Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию (а ), первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов (количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n.

 

(1,5+0,5n)∙n =14

_D=9+112=121

 – не подходит по смыслу

Ответ: допущено 4 промаха.

Задача: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение:

(a )- арифметическая прогрессия.

a₁=1400; d= -100, S_n=5000.

 Надо найти n.

10000= (2800-100 n+100) n;

100 n²-2900 n+10000=0;  

n²-29 n+100=0;

n=25, n=4.                                     

n=4 (при n=25 а_n=-1000, чего быть не может)

Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

 

 

2.3. Историческая задача ( старинная еврейская задача)

На 10 братьев приходится  мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого - 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?

Решение: Необходимо знать, что 1 мина = 60 шекелям.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии, равной 100 шекелям и известному 8-му члену, определить разность арифметической прогрессии.

a =a +7d  a =6-7d

Ответ: d= -1,6.

2.4. Задачи с экономическим содержанием

Это стоит знать:

В основе капитализации процентов лежит начисление процента на процент. То есть с определенной периодичностью проценты присоединяются к сумме вклада и в дальнейшем они начисляются уже на увеличенную суму депозита. Еще такую схему начисления называют сложным процентом.

Задача №1: Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение: (a )- арифметическая прогрессия, где a = 880, а разность арифметической прогрессии равна 0,4a .

a a d = a +0,4a ·3= 2,2a = 880; a =

Ответ: первоначальный вклад равен 400 рублей.

 

Задача №2: 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение: (a )- арифметическая прогрессия, где a = 750, а a =1500.

a  = a  + 4d, d = 187,5 рублей составляет ежегодный прирост на вклад.

750 руб -100%

187,5руб – х%

х=

Ответ: вклад в банке под 25% годовых.

Задача №3: Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Решение: (b )- арифметическая прогрессия, b =1200; b =1650;

Так как цена товара увеличилась в два раза, то она стала равна 2100 рублей.

b = 2b ; 2100 = 1050+50(n-1)

            50(n-1) = 1050

n-1 = 21

n = 20

Ответ: через 20 повышений.

 

Задача №4: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

Решение: (b )-арифметическая прогрессия, , а

Из этих двух равенств получаем систему уравнений и решаем ее:

Теперь найдем суммарную зарплату работника «ФИАТА» за год:

S

Ответ: за год доход работника составил 39300 $.

2.5. Задача с физическим содержанием

Задача: Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

Решение:  (b )-арифметическая прогрессия, в которой b =7, d=3. Найти необходимо b .

 

Ответ: за 8 секунду тело пролетит 28 метров.

2.6. Минисправочник, подборка задач для решения и подготовки ОГЭ (приложения)

Определение

Арифметической прогрессией - называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

Свойства арифметической прогрессии

Формула n-го числа арифметической прогрессии имеет вид:

Последовательность (а_n) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т.е.

Сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная

Сумма

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n, т.е.

Формулы нахождения суммы