Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2021-06-24 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Контрольная работа
Вариант 1
Тема «Дифференциальные уравнения»
1. Найти решение линейного дифференциального уравнения
(1) , (2) (3)
Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
2. Определить сходимость числового ряда
3. Найти область сходимости функционального ряда:
4. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1) (2) по степеням
Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного переменного»
5. Вычислить и записать в алгебраической форме .
6. Решить уравнение: .
7. Вычислить и записать в тригонометрической форме
8. Изобразить область, ограниченную линиями а) ; б)
Тема «Теория вероятностей и математическая статистика»
9. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке - 40%, на втором - 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1.5%. Случайным образом взята одна деталь для контроля. Найти вероятности событий: 1) деталь бракованная; 2) деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.
10. Вероятность появления опечатки на странице книги, содержащей 100 страниц, равна 0.03. Найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток: 1) по биномиальной формуле; 2) по формуле Пуассона.
11. СВ задана законом распределения. Найти: 1) числовые характеристики , ; 2) функцию распределения и построить ее график; 3)вероятность ; 4) закон распределения величины СВ . Вычислить , дважды, используя свойства (по результатам предыдущих пунктов) и непосредственно составленный закон распределения.
10 | 12 | 20 | 25 | 30 | |
? | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 |
12. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X: Найти: 1) С; 2) F(x); 3) mX;4) DX; 5) s(x); 6) Р(X < 2); 7) построить график и F(x).
|
13. Математическая статистика.
1) Результаты измерений представлены таблицей. Составить вариационный ряд, разбив всю вариацию на 9–10 интервалов.
2) Построить: а) полигон частот;
б) гистограмму частот;
в) график эмпирической функции распределения.
3) Выдвинуть гипотезу о распределении генеральной совокупности.
4) Найти числовые характеристики выборки: , , , .
5) Найти доверительные интервалы для генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения по следующим уровням надежности:
.
6) Построить кривую распределения по опытным данным. Сравнить её с графиком идеально нормального распределения, используя , .
7) Проверить правило ''3-x ''.
8) Применив критерий согласия Пирсона–χ2 с заданным уравнением надежности , окончательно принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о распределении генеральной совокупности.
72 | 96 | 85 | 95 | 91 | 88 | 86 | 79 | 86 | 72 |
82 | 68 | 71 | 87 | 89 | 89 | 81 | 81 | 79 | 79 |
84 | 91 | 87 | 83 | 90 | 69 | 100 | 96 | 79 | 94 |
93 | 86 | 81 | 83 | 84 | 92 | 93 | 85 | 84 | 88 |
63 | 87 | 87 | 81 | 95 | 90 | 69 | 95 | 96 | 84 |
82 | 79 | 88 | 83 | 90 | 92 | 80 | 81 | 85 | 81 |
84 | 96 | 86 | 94 | 85 | 92 | 79 | 75 | 94 | 66 |
88 | 79 | 89 | 75 | 92 | 79 | 78 | 95 | 84 | 91 |
91 | 74 | 73 | 73 | 85 | 85 | 76 | 83 | 76 | 86 |
71 | 85 | 92 | 84 | 90 | 82 | 90 | 73 | 89 | 87 |
Вариант 2
Тема «Дифференциальные уравнения»
1. Найти решение линейного дифференциального уравнения
(1) , (2) (3)
Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»
2. Определить сходимость числового ряда
3. Найти область сходимости функционального ряда:
4. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1) (2) по степеням
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 0
Переменного»
5) Найти , , , если , .
Решение.
;
;
;
.
6) Решить уравнение .
Решение.
Раскроем скобки: .
Создадим систему: .
Следовательно, Получаем:
7) Найти все значения .
Решение.
Запишем в тригонометрической форме: .
|
Теперь используем формулу Муавра
, .
Отсюда получаем три значения корня:
, , ; , , ; |
Рисунок 1. |
, , . | |
Изобразим полученные значения на окружности радиуса (рис. 2). Как видно из рисунка, являются вершинами правильного треугольника. | |
8) Изобразить область, ограниченную линиями:
а)
Решение.
Преобразуем:
б)
|
9) Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Пусть события – студент сдаст i -ый экзамен .
Написать формулу, выражающую следующие события через события и вычислить вероятность этих событий:
а) событие В - студент будет сдан только 2–ой экзамен;
б) событие С - студентом будет сдан только один экзамен;
в) событие D - студентом будут сданы три экзамена;
г) событие E - студентом будет сдано два экзамена;
д) событие F - студентом будет сдан хотя бы один экзамен.
Решение.
Т.к. события – студент сдаст i -ый экзамен , тогда вероятности
i | сдачи экзаменов | не сдачи экзаменов |
1 | ||
2 | ||
3 |
а) Событие В – студент сдаст только 2-ой экзамен состоит в том, что студент сдаст 2-ой экзамен и не сдаст 1-ый и 3-ий экзамены, т.е. , учитывая что события независимы, получим
.
б) Событие С – студент сдаст один экзамен из трех, т.е. сдаст или 1-й экзамен из трех, или 2-й, или 3-й из трех экзаменов. Следовательно, событие .
Т.к. события несовместны, то
в) Событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. . Тогда
.
г) Событие Е – студент сдаст два экзамен из трех, т.е. не сдаст или 1-й экзамен из трех, или 2-й, или 3-й из трех экзаменов.
Следовательно, событие . Т. к. события несовместны, то
д) Пусть событие F – студент сдаст хотя бы один экзамен. Удобнее записать это событие, если перейти к противоположному событию: .
Противоположное событие заключается в том, что студент не сдаст ни один экзамен, т.е. и 1-й не сдаст, и 2-й не сдаст, и 3-й не сдаст.
Значит, событие и вероятность данного события равна
.
Ответ: а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) , .
10) При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью . Пусть событие двигатель начнет работать при i -ом включении зажигания. Событие В состоит в том, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; С – для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.
|
Написать формулу выражающую события В и С через события и вычислить вероятность этих событий.
Решение.
Т. к. событие – двигатель начнет работать при i-ом включении зажигания, то .
Тогда событие В – двигатель начнет работать при третьим зажигании, следовательно, при 1-ом и при 2-ом зажигание не сработало. Событие В можно представить в виде и вероятность этого события равна
.
Событие С – для запуска придется включать зажигание не более трех раз. Событие С – наступит, если двигатель начнет работать при 1-м, или при 2-м, или при 3-м включении, т.е. и, следовательно, вероятность события С
Ответ: , ;
,
11) Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти вероятность того, что среди 96 студентов на лекцию опоздает не более 3-х человек 1) по биномиальной формуле, 2) по формуле Пуассона.
Решение.
Решение задачи основывается на вычислении вероятностей .
Событие А – «на лекцию опоздает не более 3-х человек» означает, что опоздает или 0, или 1, или 2, или 3 студента, т. е. k = 0, или k = 1, или k = 2, или k = 3.
Искомая вероятность определяется:
.
Вычислим разными способами.
1) по биномиальной формуле (формуле Бернулли): ,
где , .
2) Т. к. , и , то искомую вероятность можно вычислить по приближенной формуле Пуассона
, где .
Вычисляем вероятность по формуле Пуассона
Таким образом, получаем
Ответ: а) , б)
1 | 2 | 3 | ||
12) СВ задана законом распределения. | ? |
Найти:
1) числовые характеристики , ;
2) функцию распределения и построить ее график;
3) вероятность ;
4) закон распределения величины СВ . Вычислить , дважды, используя свойства (по результатам предыдущих пунктов) и непосредственно по составленному закону распределения.
Решение.
В задаче рассматривается дискретная СВ Х, заданная рядом распределения. По свойству ряда Отсюда получаем
1) Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
.
Среднее квадратическое отклонение: .
2) Функция распределения имеет вид (рис. 1): | |
Рис. 1 |
3) .
4) – дискретная СВ. Составим для нее ряд распределения:
7 | 5 | 3 | |
Вычислим числовые характеристики СВ , используя составленный ряд:
|
.
.
Вычислим числовые характеристики СВ , используя их свойства:
.
.
Ответ: , , , , .
14) Плотность вероятности непрерывной СВ X задана функцией
Найти:
1) | параметр С и построить график ; |
2) | интегральную функцию и построить ее график; |
3) | математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ; |
4) | вероятность дважды, используя дифференциальную и интегральную функции. Результат проиллюстрируйте на графиках. |
Решение.
Данный закон распределения является непрерывным.
1) По свойству плотности (дифференциальной функции):
.
Получаем функцию:
и ее график (рис. 3). | ||
Рис. 3 |
2) Найдём интегральную функцию, учитывая свойства:
· если , то ;
· если , то
;
· если , то
.
· если , то
.
В итоге получаем функцию и её график (рис. 4) | |
Рис. 4 |
3) Вычислим числовые характеристики:
· математическое ожидание:
;
· дисперсию по формуле :
;
;
· среднее квадратическое отклонение: .
4) Найдём вероятность того, что СВ X примет значения из интервала двумя способами:
q . Здесь вероятность численно равна площади выделенной фигуры (рис. 5). q . В этом случае вероятность численно равна длине отрезка на оси (рис. 6). При этом результаты вычислений совпадают при различных способах. | |
Рис. 5 | |
Рис. 6 |
Ответ: ;
; ; ; .
15) В результате опыта получена выборочная совокупность:
88 | 104 | 91 | 97 | 77 | 103 | 86 | 79 | 86 | 100 | 84 | 74 | 76 | 75 | 93 | 103 | 80 | 96 | 72 | 95 |
82 | 68 | 71 | 87 | 89 | 89 | 81 | 81 | 70 | 79 | 81 | 102 | 75 | 80 | 90 | 85 | 82 | 77 | 94 | 102 |
84 | 91 | 87 | 83 | 90 | 69 | 83 | 96 | 79 | 94 | 87 | 95 | 99 | 83 | 80 | 93 | 90 | 79 | 93 | 105 |
93 | 86 | 81 | 83 | 84 | 92 | 93 | 85 | 84 | 88 | 95 | 85 | 84 | 90 | 93 | 95 | 98 | 88 | 79 | 91 |
77 | 85 | 93 | 85 | 87 | 100 | 76 | 79 | 90 | 91 | 86 | 88 | 93 | 80 | 88 | 88 | 90 | 68 | 89 | 90 |
1. По данной таблице составить интервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на 8-10 интервалов.
2. По сгруппированным данным построить:
а) | полигон относительных частот; |
б) | гистограмму относительных частот; |
в) | график эмпирической функции распределения. |
3. Найти числовые характеристики выборочной совокупности: , , , , s.
4. Построить:
а) | на чертеже гистограммы её теоретический аналог ; |
б) | на чертеже эмпирической функции её теоретический аналог . |
5. По виду гистограммы и эмпирической функции распределения выборки выдвинуть гипотезу о распределении генеральной совокупности.
6. Проверить выполнение правила «трёх сигм».
7. Применив критерий согласия Пирсона с заданным уровнем значимости , окончательно принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о распределении генеральной совокупности.
8. Построить на одном чертеже:
а) | полигон относительных частот и кривую распределения . Сравнить график с графиком идеально нормального распределения; |
б) | гистограмму теоретических вероятностей (относительных частот) и график . |
9. Найти доверительные интервалы для генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения по уровню надёжности .
|
Решение.
1. Разобьем всю вариацию объёмом на частичных интервалов равной длины и посчитаем частоты попадания наблюдаемых значений в частичные интервалы.
Длину интервала находим по формуле .
За начало первого интервала примем . Получим последовательность интервалов: [66; 70], (70; 74], …, (102; 106].
Составим вариационный ряд частот и относительных частот:
интервал | середина интервала | частота | относительная частота | |
1 | [66; 70] | 68 | 4 | 0,04 |
2 | (70; 74] | 72 | 3 | 0,03 |
3 | (74; 78] | 76 | 7 | 0,07 |
4 | (78; 82] | 80 | 16 | 0,16 |
5 | (82; 86] | 84 | 18 | 0,18 |
6 | (86; 90] | 88 | 20 | 0,20 |
7 | (90; 94] | 92 | 15 | 0,15 |
8 | (94; 98] | 96 | 7 | 0,07 |
9 | (98; 102] | 100 | 6 | 0,06 |
10 | (102; 106] | 104 | 4 | 0,04 |
Σ | – | – | 100 | 1 |
Отметим, что – объём выборки; .
Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. В частности, относительные частоты являются статистическими аналогами вероятностей полной группы несовместных событий.
2. Вторым этапом обработки статистических данных является построение полигона, гистограммы относительных частот и эмпирической функции распределения. а) Полигон относительных частот вариационного ряда – ломаная линия, соединяющая точки . График полигона представлен на рис. 11. | Рис. 11 |
Полигон относительных частот является статистическим аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины Х.
б) Гистограмма относительных частот изображается только для интервального ряда и имеет вид ступенчатой фигуры (рис. 12). На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой . | Рис. 12 |
Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) непрерывной случайной величины Х.
в) График эмпирической функции распределения непрерывной случайной величины X совпадает с кумулятой (графиком накопленных частот).
Отметим на плоскости точки, соответствующие значениям функции на концах интервалов, и соединим их отрезками прямых (рис. 13).
70 | 74 | 78 | 82 | 86 | 90 | 94 | 98 | 102 | |||
0 | 0,04 | 0,07 | 0,14 | 0,30 | 0,48 | 0,68 | 0,83 | 0,90 | 0,96 | 1 |
Рис. 13
Эмпирическая функция распределения является статистическим аналогом интегральной функции распределения случайной величины Х.
3. Найдем числовые характеристики выборки.
Выборочные характеристики – это функции наблюдений, приближённо оценивающие соответствующие числовые характеристики случайной величины.
1) Мода находится внутри интервала, для которого соответствующая частота максимальна. В нашем случае , при этом .
Моду можно определить на чертеже гистограммы (рис. 12) или вычислить по формуле
,
где – длина частичного интервала ,
– частость, соответствующая предыдущему частичному интервалу ,
– частость, соответствующая следующему частичному интервалу .
Тогда получим
.
2) Медиана интервального вариационного ряда принадлежит тому частотному интервалу, для которого накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины всей суммы частот. Геометрически прямая делит площадь гистограммы пополам.
Медиана может быть приближённо найдена на чертеже графика (рис. 13), как значение признака, для которого . Для данного вариационного ряда значение .
Значение вычисляем по формуле
.
Тогда получим
.
3) Для нахождения выборочной средней , выборочной дисперсии , выборочного среднего квадратического отклонения (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.
i | |||||
1 | 68 | 4 | 0,04 | 2,72 | 184,96 |
2 | 72 | 3 | 0,03 | 2,16 | 155,52 |
3 | 76 | 7 | 0,07 | 5,32 | 404,32 |
4 | 80 | 16 | 0,16 | 12,80 | 1024,00 |
5 | 84 | 18 | 0,18 | 15,12 | 1270,08 |
6 | 88 | 20 | 0,2 | 17,60 | 1548,80 |
7 | 92 | 15 | 0,15 | 13,80 | 1269,60 |
8 | 96 | 7 | 0,07 | 6,72 | 645,12 |
9 | 100 | 6 | 0,06 | 6,00 | 600,00 |
10 | 104 | 4 | 0,04 | 4,16 | 432,64 |
Σ | – | 100 | 1 | 86,4 | 7535,04 |
Находим выборочное среднее:
;
выборочную дисперсию:
;
выборочное среднее квадратическое отклонение: ;
исправленную выборочную дисперсию:
;
исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
.
Т. к. число наблюдений достаточно велико, то вместо можно использовать неисправленную выборочную дисперсию .
4. Точечной оценкой математического ожидания является средняя выборочная , тогда полагаем ; точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, т. е. .
а) Вид гистограммы относительных частот напоминает график плотности функции нормального распределения непрерывной случайной величины .
Построим на одном чертеже с гистограммой относительных частот
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!