Глава 6. Геометрический метод

(с использованием циркуля и измерительной линейки с прямым углом или угольника)

Прежде всего стоит заметить, что использование этого метода обещает значительные погрешности, которые могут зависеть и от чистоты построения чертежей, и от точности измерительных инструментов.

Этот метод предполагает знание двух теорем геометрии:

а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла (h = )

, но если , то

б) Свойство вписанного угла,опирающегося на диаметр окружности∠АВС= 90º

А подробнее это можно описать так: Положите перед собой чистый лист, циркуль и карандаш с линейкой. Попробуем геометрическим способом извлечь квадратный корень числа 7. Работаем в сантиметрах.

Начертим отрезок АС = АН + НС, то есть АС = 1+ 7 = 8(см)

Найдём середину АС – точку О (АО = ОС) и при помощи циркуля построим окружность с центром О и радиусом ОС и отметим точку Н на отрезке АС так, что АН = 1 см, построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС.

Измерим длину полученного отрезка ВН.  Получили 2 см и 6 мм.

Этот результат и будет примерно равен .

Вывод: геометрическим способом нашли результат  ≈ 2,6

Минусы этого способа сразу понятны: неточность в измерениях и построении, однако его можно применять в ситуациях недоступности калькулятора и отсутствия клеточной бумаги, что тоже иногда может спасти ситуацию.

Глава 7. Графический метод.

Графический метод извлечения квадратных корней наш учитель математики предлагает использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b = х², полученном из = х путём возведения в квадрат первого.С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник:Построим на клеточной бумаге в одной системе координат два графика функций у = b и у = х². Найдём точку пересечения в первой четверти системы координат. Абсцисса этой точки и будет соответствовать значению квадратного корня из числа b.

Например, поработаем с . Решим графически уравнение 11= х². у = 11 – прямая, параллельная оси абсцисс,а у = х² - классическая парабола. При построении на клеточной бумаге х = 3,3,аточное вычисление       МК = 3,3166.

Какие же неудобства и трудности испытывают при применении такого способа решения данной проблемы:

1)предварительная подготовка –  построение графика параболы;

2) ограничение размером тетрадного листа (о чём сразу предупреждали), поэтому невозможно извлечение чисел, больших 40, так как длина тетрадного листа 40 клеток;

3)неточность в построении кривых линий иполучение больших погрешностей, в отличие от других методов.

Глава 8. Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность: не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

 =  + , гдеX - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75 

X = 75,S = 81. Это означает, что = 9.

Просчитаем по этой формуле :

= 9 +  = 9 –  = 9  –  0,333 = 8,667

При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности. Метод несложный и удобный.

Глава 9. Метод вычетов нечётного числа

Этот способ предлагает преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк своим ученикам. Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1,3,5,7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний.Это и будет ответ.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

            36  – 1 = 35 – 3 = 32  – 5 = 27 – 7 = 20  –  9 = 11  – 11 = 0 

Общее количество вычитаний = 6, поэтому = 6.

    121  – 1 = 120 – 3 =117 – 5 =112  – 7 =105  – 9 = 96 – 11 = 85 – 13 =

                 =72  – 15 =57 – 17 = 40 – 19 =21  – 21 =0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому  = 11.

Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом ивы поймёте, что он «работает»,безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень длинный в решении.

 

 

Глава 10. Другие методы

В ходе моего исследования я отыскала ещё несколько способов решения моей проблемы. Это метод степенных рядов высших степеней и метод определения путём составления таблицы. Изучив эти алгоритмы, я оценила их сложность и в некоторых местах непонимание, поэтому не стала глубоко изучать эти методы, понимая, что это уровень высшей математики или даже научной диссертации.

Если метод степенных рядов сложен в вычислении и запоминании огромной формулы, то метод таблицы так запутан, что его сложно даже пересказать, а тем более овладеть для практики.

 Заключение

Во время работы я нашла не один, а нескольких способов извлечения квадратных корней. В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много таких способов, начиная со способа математиков  Древнего Вавилона и заканчивая способом степенных рядов сложных степеней из разделов высшей математики. Мною были изучены, описаны и отработаны на практике 9 способов. Работа по данной теме меня так увлекла, что я решила продолжить свои исследования уже за рамками своего проекта. В учебнике алгебры автор знакомит восьмиклассников с корнями третьей степени и других степеней, предлагая подождать с их изучением до 11 класса. Но мне стало очень интересно узнать и про эту новую для меня тему в математике. И в продолжение моего исследования я хочу разобрать те способы, которые пока мне сложно разобрать, и выяснить, существуют ли  способы извлечения корня третьей степени без калькулятора.

Таким образом, хочу подвести итог проделанной работы и сделать вывод. На основании результатов данного исследования доказано, что науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора. У всех способов различные алгоритмы и степень сложности вычислений, но не один из них не входит в школьный курс, так как относится к разделу высшей или прикладной математики. В ходе исследования были отработаны 9 способов, а их практическое применение доказало все недостатки и преимущества каждого из методов.

В ходе работы было доказано на практике, что умение извлекать корни без калькулятора не только полезно и актуально, но и очень увлекательно.

Список использованной литературы и сайты Интернета:

1. Мордкович А.Г. Алгебра, 8 класс, учебник - Москва, Мнемозина, 2005г

2. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.

3. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.

4. http://festival.1september.ru

5. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

 

 

 

 

Приложение1

 

Этот способ нахождения хорошо известен как российским учёным, так и зарубежной общественности. Убедиться в этом легко, зайдя на любой научный или образовательный форум. Ссылки на этот способ почти во всех комментариях студентов и школьников. О нём пишут учёные и исследователи СНГ, Канады, Великобритании и Америки. Я разобрала несколько десятковпримеров по этому способу, поэтому недостатка материала в изучении не испытывала. Предлагаю несколько  примеров: