Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-05-22 | 321 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Случайная величина, принимающая несчетное число значений (значения которой заполняют некоторый промежуток) и имеющая плотность, называется случайной величиной с абсолютно непрерывным законом распределения или (абсолютно) непрерывной случайной величиной..
В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b ], (–µ; a), [ b;µ), (–µ; µ).
При описании непрерывной случайной величины невозможно выписать и пронумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество.
Замечание. Вернемся к нашей аналогии со стержнем. Теперь на нем не точечные массы, а сам он представляет собой стержень переменной плотности, протянувшийся от наименьшего до наибольшего значения случайной величины. Очевидно, что вопрос о массе в конкретной точке теперь невозможно поставить, а можно лишь говорить о массе, распределенной в некотором объеме (на некотором участке нашего стержня).
Таким образом, вместо вероятности-массы мы получаем плотность (вероятности). Из-за схожести физической и вероятностной плотности последнюю чаще всего обозначают, как в физике, буквой ρ (греческая ро). Другой распространенный вариант – р – подчеркивает связь с вероятностью.
Замечание. Если Х – непрерывная случайная величина, то равенство Х = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что, однако, не влечёт за собой невозможности события. Поэтому, применительно к абсолютно непрерывным случайным величинам, говорят только о вероятности попасть в промежуток.
|
Пусть Х – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < Х < х + D х
P (х < Х < х + D х).
Здесь D х – величина малого интервала.
Очевидно, что если D х ® 0, то P (х < Х < х + D х)® 0. Обозначим r(х) предел отношения P (х < Х < х + D х) к при D х ® 0, если такой предел существует:
Функция r(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из этой формулы следует равенство, справедливое для малых величин D х, которое также можно считать определением функции r(х):
P (х < Х < х + D х) r(x)D х
Очевидно, что r(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина Х примет значение из промежутка [ a, b ] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x 1, х 2,¼, хn удовлетворяющие условию а=х 0< х 1< x 2<¼< xn < b=xn+ 1. Эти числа разобьют промежуток [ a, b ] на n +1 частей, представляющих собой промежутки [ х 0, х 1), [ х 1, х 2), ¼,[ хn, b ]. Введём обозначения:
D х 0= х 1 – х 0, D х 1= х 2 – х 1, ¼, D хn = b – хn,
и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина D хi стремится к нулю. Будем считать функцию r (x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [ a; b ] от функции p (x), равный искомой вероятности:
P (a £ Х £ b) = (3)
|
Замечание. С другой стороны, вероятность попасть в промежуток есть разность значений функции распределения на концах промежутка.
|
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для r (х) – её плотности распределения справедливо равенство
Для удобства иногда считают функцию r(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.
Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция r(х), удовлетворяющая двум условиям:
1) r(х) ³ 0;
2)
Определение. Законом распределения непрерывной случайной величины является ее плотность.
Можно задавать случайную величину, задавая функцию r(х), удовлетворяющую этим условиям.
В качестве примера рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [ a; b ]. В этом случае r(х) постоянна внутри этого промежутка:
По свойству 2) функции r (х)
Отсюда . График функции
r (х) представлен на рисунке 2.
Замечанание. Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.
Напоминание. Пусть Х – непрерывная случайная величина. Функция F (x), которая определяется равенством
,
называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины Х. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения r (х) называют еще дифференциальной функцией распределения.
Замечание. Определение. Иногда плотность (закон распределения) определяют «в обратную сторону»: Плотность есть подинтегральная функция функции распределения абсолютно непрерывной случайной величины.
.
Замечание. Таким образом, если известна плотность распределения случайной величины, для нахождения функции распределения необходимо взять от нее указанный выше интеграл, а если, наоборот, известна функция распределения, то плотность находится дифференцированием (взятием производной) этой функции.
|
Нахождение неизвестного параметра плотности находится с помощью свойства 2) – равенства 1 интеграла от плотности по всей числовой оси.
Например, если на всей оси Х r(х) = 2С / (1 + x2) Найти С. Рассмотрев интеграл от r по всей оси, получим С = 1/2p
Отступление.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!