Тема: «О расширении множества натуральных чисел»

Лекция №19

По математике

Тема: «О расширении множества натуральных чисел»

План:

Введение

2. Понятие дроби

3. Положительные рациональные числа

4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

5. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

6. Действительные числа

Введение

Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел - получили рациональные числа, а в V в до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в.

Взаимосвязи между различными множествами чисел (N, Z, Q и R) можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис. 1).

Рис.1

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказательств; более подробно будет изложен материал, связанный с рациональными числами.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q₊ положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.

Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 2). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е.

Рис. 2

И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ·Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ — называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n -ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде ·Е, где символ — называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n- натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь — называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 2, где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке д: целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок д: будет состоять из 28

28 таких частей и его длина будет выражаться дробью .

Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью .

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k- натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = nр.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Две дроби и называются равными, если mq = np.

Если дроби равны, то пишут = .

Например, = , так как 17 · 21 = 119 · 3 = 357, а ≠ , потому что 17 · 27 = 459, 19 · 23 = 437 и 459≠437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство mn = mn справедливо для любых натуральных чисел тип. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из mq = nр следует, что р n = qm (m, n, p, q N). Оно транзитивно: если = и = , то = . В самом деле, так как = , то mq = nр, а так как = , то ps = qr. Умножив обе части равенства mq = nр на s, а равенства рs = qr на n, получим mqs = nps и nps = qrs. Откуда mqs = qrn или ms = nr. Последнее равенство означает, что = . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(5, 17) =1.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(n, q).

Задача. Привести к наименьшему общему знаменателю и .

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3·5, 35 = 5·7. Тогда К(15, 35) = 3·5·7 = 105. Поскольку 105= 15·7 = 35·3,то = = , = = .

 

Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби мри измерении длины отрезка.

Пусть х- отрезок, длину которого надо измерить, е- единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е - буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е, и отрезка х₁, который короче отрезка е (рис. 3), т.е.

 

 

Рис.3

n·Е < X < (n + 1) ·Е. Числа n и n+ 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.

Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е₁ - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке х₁. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е₁ уложился в отрезке х₁ точно n раз. Тогда длина и отрезка х выражается конечной десятичной дробью:

X = ·Е= ·Е. Например, X = 3,4·Е.

2) Отрезок х₁ оказывается состоящим из n отрезков, равных е₁, и отрезка х₂, который короче отрезка е₁. Тогда ·Е<Х ·Е, где и

- приближенные значения длины отрезка х с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е₂ -сотую часть отрезка е.

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1) На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезка х выразится конечной десятичной дробью вида .

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом , который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого достаточно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5—. Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: 5 = 5,666....

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот вопрос отрицателен существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата ABCD выражается несократимой дробью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство 1²+1²= . Из него следует, что m² = 2п². Значит, m²- четное число, тогда и число m -четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, m = 2р. Заменив в равенстве m² = 2n² число m на 2р, получаем, что 4р² = 2n², т.е. 2р² = n². Отсюда следует, что n² четно, следовательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n чётны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о её несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа через процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так, , , - это иррациональное числа. Иррациональными являются также tg5, sin 31, числа π = 3,14..., е = 2,7828... и другие

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J₊.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R₊. Таким образом, Q₊ J₊ = R₊. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 4.

Рис.4

Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел нужны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R₊, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Лекция №19

По математике

Тема: «О расширении множества натуральных чисел»

План:

Введение

2. Понятие дроби

3. Положительные рациональные числа

4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

5. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

6. Действительные числа

Введение

Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно: не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел - получили рациональные числа, а в V в до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными. Строгое определение действительного числа и обоснование его свойств было дано в XIX в.

Взаимосвязи между различными множествами чисел (N, Z, Q и R) можно изобразить наглядно при помощи кругов Эйлера (рис. 1).

Рис.1

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказательств; более подробно будет изложен материал, связанный с рациональными числами.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q₊ положительных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.

Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 2). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е.

Рис. 2

И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ·Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ — называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n -ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде ·Е, где символ — называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n- натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь — называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 2, где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке д: целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок д: будет состоять из 28

28 таких частей и его длина будет выражаться дробью .

Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью .

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k- натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = nр.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Две дроби и называются равными, если mq = np.

Если дроби равны, то пишут = .

Например, = , так как 17 · 21 = 119 · 3 = 357, а ≠ , потому что 17 · 27 = 459, 19 · 23 = 437 и 459≠437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство mn = mn справедливо для любых натуральных чисел тип. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из mq = nр следует, что р n = qm (m, n, p, q N). Оно транзитивно: если = и = , то = . В самом деле, так как = , то mq = nр, а так как = , то ps = qr. Умножив обе части равенства mq = nр на s, а равенства рs = qr на n, получим mqs = nps и nps = qrs. Откуда mqs = qrn или ms = nr. Последнее равенство означает, что = . Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(5, 17) =1.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(n, q).

Задача. Привести к наименьшему общему знаменателю и .

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3·5, 35 = 5·7. Тогда К(15, 35) = 3·5·7 = 105. Поскольку 105= 15·7 = 35·3,то = = , = = .