С   постоянными коэффициентами

6.1. Р е ш е н и е з а д а ч и К о ш и д л я у р а в н е н и й

 

Рассмотрим задачу наиболее часто встречающую в теории автоматического управления систем – задачу Коши для линейных дифференциальных уравнений.

Пусть задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

  x^{( п )} + a₁ x ^{( п - 1)} +... a _п x = f(t),                                            (6.1)

где п – порядок уравнения; a ₁ , a ₂  ,..., a _п = const; f (t) – заданная функция.

 Требуется найти решение уравнения (6.1), удовлетворяющее начальным условиям, заданным в точке t = t ₀:                     

     х (t ₀) = x ₀, х' (t ₀) = х ₁ , ..., x ^{(п -1)} (t ₀) = х_{п- 1}

где x ₀, х ₁,...,  х_{п- 1}  - заданные числа.

Будем предполагать, что искомая функция x (t), все ее рассматриваемые производные, а также функция f (t) являются оригиналами. 

При решении поставленной задачи операционным методом различают  д в а с л у ч а я н а ч а л ь н ы х у с л о в и й: начальные условия заданы в т о ч к е t ₀ = 0 и в т о ч к е t ₀ ≠ 0.

П е р в ы й с л у ч а й: начальные условия заданы в т о ч к е t ₀ = 0,     т.е.:

  х (0) = x ₀, х' (0) = х₁ ,..., x ^{(п- 1)} (0) = х_{п- 1}                      (6.2)

         При т а к и х начальных условиях, обозначив x (t) ≓    Х (p) и f (t) ≓ F (p), с р а з у применим к обеим частям уравнения (6.1) преобразование Лапласа, используя при этом теорему о дифференцировании оригинала (3.4):

х′ (t)  ≓ р Х(p) - х (0),

х′′(t) ≓ р² Х (p) - р х (0) - х' (0)и так далее…                                                           

и свойство линейности изображения. В результате получим вместо дифференциального уравнения (6.1) с начальными условиями (6.2) операторное уравнение или уравнение в изображениях:

(р^п + a₁ p ^{п - 1} +... + а_п) X(p) - R_{n- 1} (p) = F(р),              (6.3)

где R_{n - 1} (p) - многочлен от  р  степени n – 1, коэффициенты которого зависят от начальных данных x ₀, х₁ ,...,   х_{п- 1}  и который тождественно равен н у л ю, если х (0) = х' (0) =...= x ^{(п -1)} (0) = 0.

Полученное алгебраическое уравнение (6.3) всегда можно представить в виде:

             Q_n (p) X(p) - R_{n- 1} (p) = F(р).                                         (6.4)

Многочлен от р степени n Q_n (p)= р^п + a ₁ p ^{п- 1} +... + а_п  называется характеристическим многочленом данного уравнения.

Разрешая уравнение (6.4) относительно X (p),    находим операторное решение дифференциального уравнения (6.1):

.                                             (6.5)

Оригинал x (t), для которого функция (6.5) является изображением, и будет искомым решением задачи Коши.

В т о р о й с л у ч а й: начальные условия заданы в т о ч к е t ₀ ≠ 0.   

 В этом случае перед применением операционного метода

н е о б х о д и м о п р е о б р а з о в а т ь у с л о в и е поставленной задачи:   сделать линейную замену независимой переменной t = τ + t ₀  , чтобызадача Коши при t = t ₀ ≠ 0 свелась к задаче с начальными условиями в точке τ = 0 (к случаю 1)

Например (см. также пример 6.4), рассмотрим для простоты дифференциальное уравнение второго порядка

  x ′′ + a ₁ x ′ + a ₂ x = f (t).                                                   (6.6)

Пусть требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям:                      

     х (t ₀) = x ₀и х' (t ₀ ) = х ₁,где t ₀ ≠ 0

Положим t = τ + t ₀и сделаемв уравнении(6.6) замену:

 х (t) = х (t ₀ + τ) = х (τ),         f (t) = f (τ + t ₀) = f (τ),  

   х ′ (t) = х ′ (τ + t ₀) = х ′ (τ),           х ′′ (t) = х ′′ (τ + t ₀) = х ′′ (τ).

           Получим задачу Коши для       уравнения

             x ′′ + a ₁ x ′ + a ₂ x = f (τ)                                     

с начальными условиями,     заданными в точке τ = 0:

 х (0) = x ₀    и    х' (0) = х ₁    (задача свелась к случаю 1).

Операционный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений перед классическими методами имеет

 п р е и м у щ е с т в а:

1) сразу получается решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, минуя получение общего интеграла этого уравнения. Если требуется, то можно найти общий интеграл дифференциального уравнения операционным методом (см. пример 6. 5);

2) метод применим, если правая часть рассматриваемого дифференциального уравнения является р а з р ы в н о й функцией, которую в классическом анализе обычно записывают с помощью нескольких различных аналитических выражений (см. пример 6.6).

Пример. 6.1. Решить задачу Коши

  x ′′ +   x = 2 cos t;    х (0) = 0, х' (0) = - 1.

Решение. Пусть x (t)      ≓     Х (p). Применим к обеим частям заданного уравнения преобразование Лапласа. Учитывая, что

х′′(t) ≓ р ² Х (p) - р х (0) - х' (0) = р ² Х (p)+ 1 и     cos t ≓  ,  получим операторное уравнение:

р ² Х (p) + 1 + Х (p) = ,    т.е.   (р² + 1) Х (p) = .

Найдем операторное решение дифференциального уравнения:

 Х (p) = .       Полученную дробь Х (p) разобьем на сумму простейших: Х (p) = .

Восстановим оригинал для Х (p).  Для этого, например, воспользуемся таблицей изображений функций (см. главу 2):

 ≒ t sin t;       ≒    sin t.

Итак, искомое решение x (t) = t sin t -    sin t = (t – 1) sin t.

Пример. 6.2. Найти решение уравнения       x ′′′ (t) + 4 x ′ (t) = 1, удовлетворяющее условиям

х (0) = х' (0) = х'′ (0) = 0.

Решение. Пусть x (t)      ≓    Х (p). Операторное уравнение при нулевых начальных условий имеет вид:       р ³ Х (p) + 4 рХ (p) = .

Отсюда    Х (p) = . Так как    

= ,    то, 

выполнив обращение, найдем искомое решение x (t) = .

Пример. 6.3. Найти решение уравнения       x ′′  +   x ′ - 2 х = е ^t, удовлетворяющее условиям: х (0) = -1, х' (0) = 0.

Решение. Пусть x (t)      ≓    Х (p). Переходим к уравнению в изображениях р ² Х (p) + р +рХ (p) + 1 – 2 Х (p)  = . Отсюда

       Х (p) = .

Представим изображение Х (p) в виде суммы простейших:

Х (p) = + .

Переходя от изображений к оригиналам, получим искомое решение:         x (t) = + .

Пример. 6.4. Найти решение уравнения x ′′ (t) +   x ′ (t) = t,

удовлетворяющее начальным условиям: х (1) = 1, х ′ (1) = 0.

Решение.    Положим t = τ + 1 и х (t) = х (τ + 1) = х (τ).

х ′ (t) = х ′ (τ + 1) = х ′  (τ),,     х ′′ (t) = х ′′ (τ + 1) = х ′′ (τ).