Общее геометрическое свойство кривых второго порядка(директриса и эксцентриситет). Уравнение этих кривых в полярной системе координат.

Взаимное расположение плоскостей.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть P^Q<=>N₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

Нормированное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости.

Прямая в пространстве. Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Теорема о скрещивающихся прямых и расстояние между ними.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

p­­q<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁^N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0

 

Поверхности вращения.

Поверхности вращения, поверхности, образуемые вращением плоской кривой вокруг прямой (оси П. в.), расположенной в плоскости этой линии.

 Пусть в плоскости О yz задана кривая L уравнением: F (y; z)=0 (1)

Будем вращать эту кривую вокруг оси Оу. При вращении каждая точка кривой описывает окружность. Поверхность, полученная при вращении кривой, называется поверхностью вращения. Возьмем на линии L точку N(y, z). При

вращении вокруг оси О у точка N описывает

окружность. Возьмем на окружности точку

M(X, Y, Z), не принадлежащую плоскостям O yz и O xy. Пусть проекцией точки М на плоскость О ху будет точка K, а проекцией точки N на ось О у - точка P. Тогда MP=NР - радиус вращения точки N.

На рис.1  NP = z, MK = Z, РK = X, OP = Y.

Из прямоугольного треугольника MKP имеем

  z=+-кв корень(X в 2 + Z в 2).

Кроме того, ордината точки M на окружности равна ординате точки N на кривой L, т. е. y= Y. Получим систему:

{z=+- кв корень(X в 2 + Z в 2); y= Y.

Если в уравнение (1) вместо y и z подставить их значения из системы, то получим:

F(Y; +- кв корень(X в 2 + Z в 2)=0

Таким образом, если линия F(y, z)= 0 расположена в плоскости O yz и вращается вокруг О у, для того,чтобы получить уравнение поверхности вращения,достаточно у заменить на Y, а вторую координату z заменить на

+- кв корень(X в 2 + Z в 2). Если, же задана линия на плоскости О ху: F(y, z)= 0 и вращение происходит вокруг оси О х, то уравнение поверхности вращения

имеет вид: F (X; +- кв корень(X в 2 + Z в 2)=0.

Исследовавание поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

Цилиндрические поверхности.

Цилиндрическая поверхность, поверхность, описываемая прямой линией (образующей Ц. п.), которая движется, оставаясь параллельной заданному направлению и скользя по заданной кривой (направляюще и). Если ось Oz прямоугольной системы координат параллельна образующей Ц. п., то уравнение Ц. п. будет F (x, у)= 0. Если образующие Ц. п. параллельны прямой ax + by + с = 0, лежащей в плоскости хОу, то уравнение Ц. п. имеет вид z = f (ax + by). Если направляющей служит окружность, эллипс, гипербола или парабола, то Ц. п. называется соответственно круглым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим цилиндром.

Цилиндрическая поверхность задается в некоторой надлежаще выбранной

для данной поверхности канонической системе координат уравнением

F (x; y)= 0 (1)

Кривая (1), определенная уравнением (1) в плоскости O xy, является направляющей кривой(основанием) цилиндрической поверхности. Образующая цилиндрической поверхности прямая параллельна оси O z (рис.1).Прямая M0 M - образующая. У точки

M(x0; y0; z) аппликата z может быть любой.

Например, если направляющей будет эллипс:

, а образующая параллельна оси O z, то получится эллиптический цилиндр (рис. 2).Пусть направляющей будет парабола y= z в кв, а образующая параллельна оси

О х. Тогда получается параболический цилиндр (рис.3).

 

Конические поверхности.

Определение. Поверхность называется конической, если она образована

перемещением в пространстве прямой (называемой образующей конической

поверхности), проходящей через одну и ту же точку M 0, называемую вершиной конической поверхности и пересекающей при этом некоторую линию L, называемую направляющей конической поверхности. Пусть в пространстве имеются две поверхности F 1 и F 2, которые, пересекаясь, образуют линию L. Уравнения этой линии определяются системой.

L: F 1(x; y; z)=0

   F 2(x; y; z)=0

Зафиксируем точку M 0(x 0; y 0; z 0. Проведем прямую, проходящую через точку M 0   и какую-либо точку N (x 0; y 0; z 0)  линии L. Если прямая M 0 N движется в пространстве так, что она проходит через точку M 0 - вершину конической поверхности и при этом пересекает линию L, то при этом образуется

коническая поверхность (рис. 1).

Обозначим координаты текущей точки конической поверхности через М(X;Y;Z). Составим уравнения прямой в пространстве, проходящей через точки M 0 и N. Точка поверхности M(X;Y;Z) принадлежит прямой M 0 N, определяемой уравнениями

(2)

Если из уравнений (1) и (2) исключить x,y,z, то получится уравнение кони-

ческой поверхности: Ф(X; Y; Z)= 0. (3)

Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

 

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

 

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

 

Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

 

 

12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

 

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

 

Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M₀M||S

 

13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

l   m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}