Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2021-12-11 | 32 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Нормальные напряжения в поперечных сечениях. При центральном растяжении (сжатии) стержней в их поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие – продольная сила N.
Поэтому в этих сечениях будут возникать только нормальные напряжения . Поскольку других нормальных напряжений в поперечных сечениях нет, будем в дальнейшем опускать индекс у напряжения, обозначая .
В соответствии с гипотезой плоских сечений сечения, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации.
Можно показать, что применение этой гипотезы приводит к простой формуле для определения нормальных напряжений при растяжении и сжатии.
. | (2.5) |
Эти напряжения постоянны по сечению (рис. 2.5)
Рис 2.5. Распределение нормальных напряжений по сечению при растяжении
При известной эпюре продольных сил формула (2.5) позволяет довольно просто построить эпюру . Для этого необходимо в характерных сечениях разделить значение силы N на площадь поперечного сечения А. Если площадь постоянна по длине стержня, эпюра будет полностью подобна эпюре N.
Напряжения на наклонных площадках. Рассмотрим элемент стержня, образованный поперечным и наклонным к оси стержня сечениями (рис. 2.7, а). Стержень растягивается силами F по его концам.
Рис 2.7. Напряжения на наклонных площадках
Обозначим площадь наклонного сечения А, тогда площадь горизонтальной площадки будет равна А × соs α (рис. 2.7,б), где α – угол поворота нормали наклонного сечения относительно оси х. Очевидно, что продольная сила равна N = F = s х × (А соs α) = p n А и постоянна по длине стержня. Поэтому полные напряжения p n = s х соs α.
|
Разложим вектор полного напряжения p n на две составляющие sα и t α и составим два уравнения равновесия и для выделенного треугольного элемента.
; | (2.6) |
Обозначая s x = s, из этих уравнений найдем
; . | (2.7) |
Из равенств (2.7) видно, что sa и ta являются периодическими функциями, зависящими от угла a наклона сечения. При различных углах a:
а) a = 0 (поперечное сечение); sa = s; ta = 0;
б) a = 90° (продольное сечение); sa = 0; ta = 0;
в) a = 45° (наклонное под углом 45° сечение); sa = s /2; ta = s/2.
Из второго равенства (2.7) можно установить, что касательные напряжения достигают максимума на площадках, наклоненных к поперечному сечению под углом 45 ° ( sin 90° = 1) и равны половине значения нормальных напряжений в поперечном сечении:
. | (2.8) |
Максимальные нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях и определяются по формуле (2.5).
Деформации. Рассмотрим деформированное состояние стержней при растяжении и сжатии. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии – наоборот. Это легко наблюдать в опытах с резиновыми образцами, в которых деформации достаточно велики.
Рис 2.8. Деформирование стержня при растяжении
Рассмотрим, какие деформации возникают при растяжении стержня (рис. 2.8).
Величина D l = l – l 0 называется абсолютным удлинением, или абсолютной линейной продольной деформацией стержня (здесь l 0 – первоначальная длина, а l – длина после деформации). Величины D h = h – h0 и D b= b – b0 называются абсолютными линейными поперечными деформациями (здесь h 0 и b 0 – первоначальные поперечные размеры, h и b – поперечные размеры после деформации). Абсолютные деформации измеряются в единицах длины (метрах, сантиметрах, миллиметрах).
Если разделить величины абсолютных деформаций на первоначальные размеры, то получим величины, называемые относительными линейными деформациями. Согласно принятым ранее обозначениям осей координат (х – вдоль оси стержня, а y и z – в поперечном сечении), относительные продольные деформации будут обозначаться , а относительные поперечные деформации – и . Продольную и поперечные относительные деформации можно определить по формулам:
|
; ; . | (2.9) |
Учитывая, что , , можно заметить, что при растяжении стержня поперечные деформации будут отрицательными. Для изотропных материалов . Из многочисленных опытов установлено, что отношение поперечных деформаций к продольным для каждого конкретного материала является постоянной величиной:
. | (2.10) |
Константа называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона и является одной из двух упругих характеристик материала (постоянных упругости). Очевидно, что коэффициент Пуассона является безразмерной величиной. Значения для некоторых материалов приведены в табл. 2.1. Для всех материалов величина лежит в пределах от 0 до 0,5. Материал, у которого = 0,5, называется несжимаемым. Таким материалом, у которого = 0,5, является резина на основе натурального каучука. Материал, имеющий = 0, – это, например, кора пробкового дерева.
Учитывая, что продольные и поперечные деформации имеют разный знак, будет справедливым следующее выражение:
. | (2.11) |
Обозначая e x = e, e y = e z = e¢, формулу для определения коэффициента Пуассона можно переписать в часто встречающемся в учебниках по сопротивлению материалов виде:
. | (2.12) |
Закон Гука. Связь между напряжениями и деформациями была установлена экспериментально в 1676 г. английским ученым Робертом Гуком Эта связь в случае одноосного растяжения (сжатия) имеет вид
. | (2.13) |
и называется законом Гука. Для краткости можно опустить индексы и записать закон Гука в виде
или . | (2.14) |
Коэффициент пропорциональности Е, входящий в закон Гука, называется модулем упругости, или модулем Юнга. Модуль упругости является второй упругой характеристикой материалов после коэффициента Пуассона и характеризует важное их свойство – жесткость. Чем больше Е, тем более жесткий материал мы имеем.
Учитывая, что линейные деформации являются безразмерными величинами, можно заключить, что размерность модуля упругости такая же, как и у напряжений (МПа).
|
График зависимости s(e) представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат (рис. 2.9). Графическая интерпретация модуля упругости на этом рисунке часто обозначается как тангенс угла наклона прямой к оси . Однако следует заметить, что запись tg следует воспринимать условно, так как размерность у модуля упругости – МПа, а тангенс – безразмерная величина.
Рис 2.9. Графическое изображение закона Гука
Значения модуля Юнга для разных материалов лежат в очень широких пределах. Например, для резины он равен 1–10 МПа, а для стали – больше 2·105 МПа. В табл. 2.1 приведены примерные значения Е для некоторых материалов.
Таблица 2.1
Модули упругости Е и коэффициенты Пуассона ν
(примерные величины)
Материал | Е, МПа | ν |
Сталь | » 2·105 | » 0,3 |
Алюминий, медь | » 1 ·105 | » 0,3 |
Бетон | » 2·104 | » 0,15 |
Кирпичная кладка | » 3·103 | » 0,2 |
Дерево | » 1·104 вдоль волокон » 400 поперек волокон | » 0,45 |
Резина на основе каучука | »10 | 0,5 |
Пробковая кора | »5 | 0 |
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!