Дифференциальная зависимость между q и N

Основные понятия. Метод сечений.

Растяжение или сжатие возникает, когда равнодействующие внешних нагрузок действуют вдоль оси стержня. В поперечном сечении стержня имеет место только одна внутренняя сила N, действующая вдоль его оси. Эту внутреннюю силу называют продольной силой или нормальной силой (действует по нормали к поперечному сечению). На рис. 2.1 изображен прямой стержень, работающий на растяжение.

Рис 2.1. Прямой стержень, работающий на растяжение

Правило знаков для продольной силы. Продольная сила будет положительной, если она вызывает растяжение, т.е., направлена от сечения.

Знак продольной силы не зависит от направления оси координат, а определяется физическим воздействием на сечение. Если продольная сила будет направлена к сечению, то она вызывает сжатие (сжимающая сила) и перед ней ставят знак «минус». Если она направлена от сечения, то перед ней ставят знак «плюс» (растягивающая сила). На рис. 2.2. изображена положительная продольная сила, действующая на крайние сечения малого элемента, вырезанного из прямого стержня.

 

Рис 2.2. К правилу знака продольной силы N

 

Знак сжимающей силы имеет значение в расчетах на прочность в строительстве. Бетон, кирпичная или каменная кладка плохо работают на растяжение и хорошо – на сжатие. Например, арки древних каменных храмов, сохранившиеся до сегодняшних дней – это элементы строительных конструкций, в поперечных сечениях которых имеют место только сжимающие продольные силы. Конечно, древние строители не выполняли расчетов, а набирали опыт по мере работы.

Сталь одинаково хорошо сопротивляется и сжатию, и растяжению. Стальную арматуру закладывают в растянутые зоны бетона для того, чтобы он не разрушался от растяжения. Получившийся материал называется железобетоном.

Метод сечений. Для определения внутренних усилий в стержнях используется метод сечений, суть которого состоит в следующем.

 

1. Разрезают стержень на две части плоскостью, перпендикулярной оси (проводят поперечное сечение).

2. Отбрасывают одну из двух частей стержня.

3. Заменяют действие отброшенной части на оставшуюся часть стержня неизвестными внутренними усилиями.

4. Уравнения равновесия, составленные для оставшейся части стержня, позволяют определить внутренние усилия.

Вычислив продольные силы в различных сечениях, можно построить график зависимости , который называется эпюрой продольной силы.

 

Эпюра продольных сил

Эпюрой продольных сил называется график функции N (x).

Рассмотрим прямой стержень, загруженный продольными нагрузками и находящийся в равновесии (рис. 2.4). Предположим, что ось Ох (на рисунке не показана), направлена вправо.

Рис 2.4. Определение продольной силы методом сечений

 

Определим продольную силу в произвольном сечении К.

В соответствии с методом сечений отбросим левую часть и составим уравнение равновесия для правой части, направив неизвестную силу N от сечения (предполагая ее растягивающей):

 

Находим продольную силу:

(2.2)

 

Таким образом, продольную силу в поперечном сечении можно найти суммированием внешних сил, которые находятся справа от сечения.

Отбросим теперь правую часть и рассмотрим уравнение равновесия для левой части:

 

 

Находим продольную силу:

(2.3)

 

Отсюда следует, что продольную силу в поперечном сечении можно найти также суммированием внешних сил, которые находятся слева от сечения.

На основании формул (2.2) и (2.3) можно сделать следующий вывод: продольная сила в поперечном сечении стержня – это сумма проекций на ось стержня внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

(2.4)

 

Продольной силой можно считать проекцию главного вектора системы внешних сил, расположенных с одной стороны от сечения, на ось стержня. Эта проекция приложена в точке центра тяжести сечения, причем, если она направлена в сторону внешней нормали по отношению к оставшейся части, то она будет положительной.

Проиллюстрируем, как можно найти силу N в произвольном сечении (рис. 2.5).

Рис 2.5. К определению продольной силы

 

Нужно провести сечение, перенести к нему силы, расположенные с одной стороны от сечения, и просуммировать их, причем те силы, которые «давят» на сечение, нужно брать со знаком «минус», а те силы, которые направлены от сечения, следует брать со знаком «плюс».

Отметим некоторые общие правила построения эпюр продольных сил.

Эпюра строится на линии, параллельной оси стержня (иногда ее называют базовой линией или базой эпюры). Через характерные сечения проводятся выносные линии, на которых в определенном масштабе откладываются значения N в этих сечениях и соединяются линиями. Над эпюрой указывается обозначение функции (в данных примерах N) и ее размерность. Эпюра заштриховывается перпендикулярно оси, при этом каждая штриховая линия как бы указывает значение N в соответствующем сечении. Внутри эпюры в кружочках указывается знак N на соответствующем участке. При этом, как правило, положительные значения откладываются в правую сторону (если эпюра построена на горизонтальной линии, то положительные значения откладывают вверх).

На основании изучения построенных эпюр и следствий из дифференциальной зависимости можно отметить характерные особенности эпюры N, которые обычно используют для ее контроля.

 

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре N имеется скачок на величину этой силы.

2. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра N имеет линейный характер, причем изменение функции N(х) на участке равно ql.

3. На участке, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра N является постоянной.

 

Пример 2.1.

Дано:

− материал троса – сталь с расчетным сопротивлением = 200 МПа;

− нормативный вес груза F = 3 тс» 30 кН (полезно знать, что 1 т силы примерно равна 10 кН).

 

Требуется: подобрать сечение стального троса, т.е. его диаметр d.

Рис. 2.18. К задаче на прочность

 

Решение.

Так как оба коэффициента запаса равны , то расчетная сила F _р будет равна нормативной силе F, т.е. . Будем рассматривать трос как стержень, работающий на растяжение. Применяя метод сечений и рассматривая равновесие нижней части стержня, можно легко показать, что расчетная продольная сила N является постоянной по длине троса и равной расчетному весу, т.е. 30 кН. Для удобства вычислений R лучше переводить в кН/см², т.е. = 200 МПа = 20 кН/см².

Из (2.25) находим:

,

т.е. требуемая площадь поперечного сечения равна 1,5 см².

Учитывая, что A = p· d ²/4, находим требуемый диаметр троса:

 

 

Пример 2.2.

Дано:

− материал троса – сталь с расчетным сопротивлением = 235 МПа;

− площадь поперечного сечения троса А = 1,5 см².

Требуется: вычислить допустимое усилие в тросе и вес груза, который может выдержать трос.

Решение.

Из (2.24) = 23,5·1·1,5 = 35,25 кН. Допустимое расчетное усилие в тросе, а, следовательно, и расчетный вес груза равны 35,25 кН. Нормативный вес груза будет получен после деления расчетного веса на и, также будет равен 35,25 кН. Естественно, что трос указанной площади сечения может выдержать и меньший расчетный груз.

 

Пример 2.3.

Дано:

− материал троса – сталь с расчетным сопротивлением = 220 МПа;

− площадь поперечного сечения троса А = 1,2 см²;

− нормативный вес груза F = 2 тс» 20 кН.

Требуется: проверить прочность троса.

Решение.

Расчетный вес груза при условии() также равен 20 кН.

Запишем условие прочности.

Условие прочности выполняется.

 

Зададим себе вопрос, а что будет, если условие прочности не выполняется в последнем примере. Например, могло оказаться, что нормальное напряжение равно 230 МПа, что немного превышает R = 220 МПа. При таком значении напряжения никакого разрушения не произойдет. Ведь R – величина, немного меньшая, чем предел текучести s_т, а разрушение стального троса произойдет после достижения временного сопротивления s_в, которое примерно в 1,5–2 раза больше, чем R. Небольшое превышение предела текучести приведет к появлению необратимых пластических деформаций, и этим всё, и ограничится. Стержень просто не вернется к первоначальной длине после снятия нагрузки, испытытав пластические деформации. Однако будут нарушены нормальные условия эксплуатации, которые обычно прописаны в задании на проектирование или технических условиях, что также не допускается. Кроме этого, материал стержня, нагруженного выше предела текучести, изменяет свои свойства, площадка текучести исчезает, а линейный участок диаграммы напряжений становится длиннее. Стержень испытывает наклеп, о котором говорилось ранее. Вопрос о дальнейшей его эксплуатации должен решаться после проведения дополнительных расчетов с учетом той функциональности, для которой он предназначен.

 

 

Основные понятия. Метод сечений.

Растяжение или сжатие возникает, когда равнодействующие внешних нагрузок действуют вдоль оси стержня. В поперечном сечении стержня имеет место только одна внутренняя сила N, действующая вдоль его оси. Эту внутреннюю силу называют продольной силой или нормальной силой (действует по нормали к поперечному сечению). На рис. 2.1 изображен прямой стержень, работающий на растяжение.

Рис 2.1. Прямой стержень, работающий на растяжение

Правило знаков для продольной силы. Продольная сила будет положительной, если она вызывает растяжение, т.е., направлена от сечения.

Знак продольной силы не зависит от направления оси координат, а определяется физическим воздействием на сечение. Если продольная сила будет направлена к сечению, то она вызывает сжатие (сжимающая сила) и перед ней ставят знак «минус». Если она направлена от сечения, то перед ней ставят знак «плюс» (растягивающая сила). На рис. 2.2. изображена положительная продольная сила, действующая на крайние сечения малого элемента, вырезанного из прямого стержня.

 

Рис 2.2. К правилу знака продольной силы N

 

Знак сжимающей силы имеет значение в расчетах на прочность в строительстве. Бетон, кирпичная или каменная кладка плохо работают на растяжение и хорошо – на сжатие. Например, арки древних каменных храмов, сохранившиеся до сегодняшних дней – это элементы строительных конструкций, в поперечных сечениях которых имеют место только сжимающие продольные силы. Конечно, древние строители не выполняли расчетов, а набирали опыт по мере работы.

Сталь одинаково хорошо сопротивляется и сжатию, и растяжению. Стальную арматуру закладывают в растянутые зоны бетона для того, чтобы он не разрушался от растяжения. Получившийся материал называется железобетоном.

Метод сечений. Для определения внутренних усилий в стержнях используется метод сечений, суть которого состоит в следующем.

 

1. Разрезают стержень на две части плоскостью, перпендикулярной оси (проводят поперечное сечение).

2. Отбрасывают одну из двух частей стержня.

3. Заменяют действие отброшенной части на оставшуюся часть стержня неизвестными внутренними усилиями.

4. Уравнения равновесия, составленные для оставшейся части стержня, позволяют определить внутренние усилия.

Вычислив продольные силы в различных сечениях, можно построить график зависимости , который называется эпюрой продольной силы.

 

Дифференциальная зависимость между q и N

Рис 2.3. К выводу дифференциальной зависимости между q и N

 

Составим уравнение равновесия для малого элемента, вырезанного из стержня, загруженного распределенной нагрузкой q (рис. 2.3).

 

 

Отсюда получаем дифференциальную зависимость между q и N:

 

(2.1)

 

Первая производная от продольной силы по переменной х равна с обратным знаком интенсивности продольной нагрузки. Исходя из свойств производной, из (2.1) можно сделать вывод о том, что, если q (x) является полиномом n степени, то N (x)будет представлять собой полином n +1степени. Это позволяет определить, какой вид будет иметь график функции N (x)в зависимости от q (х). В дальнейшем нам пригодятся для изучения курса три следствия:

1) если q = 0 (т. е. нагрузка q отсутствует), то N(x) = const;

2) если q(x) = const, то есть является равномерно распределенной нагрузкой, то N(x) – линейная функция;

3) если q(x) = линейная функция, то N(x) – квадратная парабола.

 

 

Эпюра продольных сил

Эпюрой продольных сил называется график функции N (x).

Рассмотрим прямой стержень, загруженный продольными нагрузками и находящийся в равновесии (рис. 2.4). Предположим, что ось Ох (на рисунке не показана), направлена вправо.

Рис 2.4. Определение продольной силы методом сечений

 

Определим продольную силу в произвольном сечении К.

В соответствии с методом сечений отбросим левую часть и составим уравнение равновесия для правой части, направив неизвестную силу N от сечения (предполагая ее растягивающей):

 

Находим продольную силу:

(2.2)

 

Таким образом, продольную силу в поперечном сечении можно найти суммированием внешних сил, которые находятся справа от сечения.

Отбросим теперь правую часть и рассмотрим уравнение равновесия для левой части:

 

 

Находим продольную силу:

(2.3)

 

Отсюда следует, что продольную силу в поперечном сечении можно найти также суммированием внешних сил, которые находятся слева от сечения.

На основании формул (2.2) и (2.3) можно сделать следующий вывод: продольная сила в поперечном сечении стержня – это сумма проекций на ось стержня внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

(2.4)

 

Продольной силой можно считать проекцию главного вектора системы внешних сил, расположенных с одной стороны от сечения, на ось стержня. Эта проекция приложена в точке центра тяжести сечения, причем, если она направлена в сторону внешней нормали по отношению к оставшейся части, то она будет положительной.

Проиллюстрируем, как можно найти силу N в произвольном сечении (рис. 2.5).

Рис 2.5. К определению продольной силы

 

Нужно провести сечение, перенести к нему силы, расположенные с одной стороны от сечения, и просуммировать их, причем те силы, которые «давят» на сечение, нужно брать со знаком «минус», а те силы, которые направлены от сечения, следует брать со знаком «плюс».

Отметим некоторые общие правила построения эпюр продольных сил.

Эпюра строится на линии, параллельной оси стержня (иногда ее называют базовой линией или базой эпюры). Через характерные сечения проводятся выносные линии, на которых в определенном масштабе откладываются значения N в этих сечениях и соединяются линиями. Над эпюрой указывается обозначение функции (в данных примерах N) и ее размерность. Эпюра заштриховывается перпендикулярно оси, при этом каждая штриховая линия как бы указывает значение N в соответствующем сечении. Внутри эпюры в кружочках указывается знак N на соответствующем участке. При этом, как правило, положительные значения откладываются в правую сторону (если эпюра построена на горизонтальной линии, то положительные значения откладывают вверх).

На основании изучения построенных эпюр и следствий из дифференциальной зависимости можно отметить характерные особенности эпюры N, которые обычно используют для ее контроля.

 

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре N имеется скачок на величину этой силы.

2. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра N имеет линейный характер, причем изменение функции N(х) на участке равно ql.

3. На участке, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра N является постоянной.