Тема «Решение логарифмических уравнений»

Лекция 8

Тема «Решение логарифмических уравнений»

Цель: формирование знаний о логарифмических уравнениях и навыков их решений различными методами.

План лекции:

1. Логарифмическое уравнение.

2. Теорема о логарифмических уравнениях.

3. Методы решения логарифмических уравнений.

Основные понятия: логарифм, логарифмическое уравнение.

 

Логарифмическое уравнение

Ответьте устно на вопросы:

1. Что называется уравнением с одной переменной?

2. Какое число называется корнем (решением) уравнения?

3. Что значит «решит уравнение»?

4. Каковы этапы решения уравнения?

5. Что называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения?

 

ОПР. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

     , где а > 0 и а  1, и уравнения, сводящиеся к нему.

 

ПРИМЕР.  – логарифмическое уравнение.

 

ВАЖНО!!! Логарифмическое уравнения вида  – простейшее логарифмическое уравнение, которое решается с помощью определения логарифма:

 

 

ПРИМЕР. Решить уравнение:

                         ОДЗ:

                                                                        Решая уравнение

                                                                                  D = 16 - 4∙1∙3 = 4

                                                                                    х₁ = -1 и х₂ = -3

                                                                        +              -             +

                                                                                          

                                                                                 -3                -1

                                                                    Получаем, что искомая величина

                                                                  х может принадлежать промежутку

                                                                         

По определению логарифма получаем:

    ;

            

переносим число 8 из правой части равенства в левую с противоположным знаком:

решая получившиеся квадратное уравнение находим корни:

    х₁ = -5 и х₂ = 1.

Числа -5 и 1 входят в ОДЗ уравнения.

Ответ: -5 и 1.

 

Теорема о логарифмических уравнениях

 

СВОЙСТВО: Если

                      (указанное свойство действует и в обратном направлении).

На основании этого свойства можно сформулировать следующее утверждение

ТЕОРЕМА: Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение

               (а > 0 и а  1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

ПРИМЕР. Уравнение

                равносильно уравнению 2х + 3 = х + 1.

 

Методы решения логарифмических уравнений

    Методы решения логарифмических уравнений:

1. по определению логарифма и его свойствам;

2. метод потенциирования (на основе теоремы: переход от уравнения                 к уравнению вида f(x) = g(x));

3. введение новой переменной;

4. логарифмирование обеих частей уравнения;

5. использование специальной формулы;

6. функционально – графический.

Этапы решения логарифмических уравнений:

1. запись условия и нахождение ОДЗ уравнения;

2. выбор метода решения уравнения;

3. решение уравнения;

4. проверка корней с помощью ОДЗ;

5. запись ответа, исключив из него посторонние корни (не удовлетворяющие ОДЗ).

Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений на основе первых четырех методов с помощью этапов решения уравнений.

ПРИМЕР. Решить уравнение

Этап: запись условия и нахождение ОДЗ

         

                                                                Это уравнение определено для значений х,

                                                                удовлетворяющих неравенствам:

                                           ОДЗ:

 

                                            - 1,5                     0

                                                                  Получаем ОДЗ: х

Этап: выбор метода решения уравнения

Т.к. уравнение имеет вид , то для его решения целесообразно выбрать метод потенциирования.

Этап: решение уравнения

     ;     по теореме получаем

     2х +3 = х + 1;

     2х – х = 1 – 3;

     х = - 2.

Этап: проверка корней с помощью ОДЗ

Число - 2 не принадлежит промежутку  Значит – 2 не удовлетворяет ОДЗ.

Этап: решение уравнения

t =           

                                D = 25 – 4 ∙ 3 ∙ (-2) = 49;

                     t₁ =          и       t₂ = - 2

                          возвращаемся к переменной х

                              

                                 

                              

Этап: решение уравнения

;

По свойству получаем:

;

- уравнение вида

По определению логарифма:

Этап: решение уравнения

По свойству .

По свойству  приведем логарифмы к одному основанию 2.

Умножим обе части уравнения на

По свойству получаем:

Применим потенциирование:

D = 49 ⇒ х₁ = 4 и х₂ = - 3

Проверочная работа

Задание. Решить уравнения.

ВАРИАНТ 1	ВАРИАНТ 2
1. 2. 3. 4. 5. 6.	1. 2. 3. 4. 5. 6.
ВАРИАНТ 3	ВАРИАНТ 4
1. 2. 3. 4. 5. 6.	1. 2. 3. 4. 5. 6.

 

Критерии оценивания:

«5» - 6 баллов;

«4» - 5 баллов;

«3» - 3 – 4 балла;

«2» - 0 – 2 балла.

Лекция 8

Тема «Решение логарифмических уравнений»

Цель: формирование знаний о логарифмических уравнениях и навыков их решений различными методами.

План лекции:

1. Логарифмическое уравнение.

2. Теорема о логарифмических уравнениях.

3. Методы решения логарифмических уравнений.

Основные понятия: логарифм, логарифмическое уравнение.

 

Логарифмическое уравнение

Ответьте устно на вопросы:

1. Что называется уравнением с одной переменной?

2. Какое число называется корнем (решением) уравнения?

3. Что значит «решит уравнение»?

4. Каковы этапы решения уравнения?

5. Что называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения?

 

ОПР. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

     , где а > 0 и а  1, и уравнения, сводящиеся к нему.

 

ПРИМЕР.  – логарифмическое уравнение.

 

ВАЖНО!!! Логарифмическое уравнения вида  – простейшее логарифмическое уравнение, которое решается с помощью определения логарифма:

 

 

ПРИМЕР. Решить уравнение:

                         ОДЗ:

                                                                        Решая уравнение

                                                                                  D = 16 - 4∙1∙3 = 4

                                                                                    х₁ = -1 и х₂ = -3

                                                                        +              -             +

                                                                                          

                                                                                 -3                -1

                                                                    Получаем, что искомая величина

                                                                  х может принадлежать промежутку

                                                                         

По определению логарифма получаем:

    ;

            

переносим число 8 из правой части равенства в левую с противоположным знаком:

решая получившиеся квадратное уравнение находим корни:

    х₁ = -5 и х₂ = 1.

Числа -5 и 1 входят в ОДЗ уравнения.

Ответ: -5 и 1.