Использование натурального логарифма при произвольном росте

- Ну конечно, - скажете вы, - это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?"

Нет проблем. "Время", которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения e^x. Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.

Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:

· e^x = рост

· e^3.4 = 30

Очевидно, это уравнение означает "100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз". Мы можем записать это уравнение в таком виде:

· e^x = e^{ставка*время}

· e^{100% * 3.4 года} = 30

Мы можем менять значения "ставки" и "времени", лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост - сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?

· ln(30) = 3.4

· ставка * время = 3.4

· 0.05 * время = 3.4

· время = 3.4 / 0.05 = 68 лет

Я рассуждаю так: "ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое".

· 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4

· 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200%-ный рост означает уменьшение времени вдвое]

· 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50%-ный рост означает, что понадобится в 2 раза больше времени]

· 5% за 68 года =.05 * 68 = 3.4 [5%-ный рост означает, что понадобится в 20 раз больше времени].

Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

· ставка * время = 0.693

· время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить "10", а не "0.10":

· время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 - не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

· время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

· время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. "Правило 72" применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Что дальше?

Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.

Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте "время, нужное, чтобы вырасти в Х раз". В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.

Дополнение: Натуральный логарифм от e

Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?

· математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.

· понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в "е" раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.

Мыслите ясно.

Перевод статьи "Demystifying the Natural Logarithm (ln)"

 

Экспонента

[править | править код]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 января 2021; проверки требует 1 правка.

Перейти к навигацииПерейти к поиску

У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения).

Запрос «EXP» перенаправляется сюда; о классе сложности см. Класс EXPTIME.

 

График экспоненты {\displaystyle y=e^{x}} (синим).
Касательная (красным) в нуле у функции {\displaystyle e^{x}} наклонена на {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })} .
Рядом для примера показаны {\displaystyle y=2^{x}} (точками) и {\displaystyle y=4^{x}} (штрихами)

Экспоне́нта — показательнаяфункция {\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}} , где {\displaystyle e\approx 2{,}718} — число Эйлера.

 

Содержание

· 1Определение

· 2Свойства

· 3Комплексная экспонента

o 3.1Свойства

· 4Вариации и обобщения

o 4.1Матричная экспонента

o 4.2 h -экспонента

· 5Обратная функция

· 6См. также

· 7Примечания

· 8Литература

· 9Ссылки

Определение[править |править код]

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

{\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }

или через предел:

{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} .

Здесь {\displaystyle x} — любое комплексное число.

Свойства[править | править код]

· {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}} , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения {\displaystyle y'=y} с начальными данными {\displaystyle y(0)=1} . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.

· Экспонента определена на всей вещественной оси. На ней экспонента всюду возрастает и строго больше нуля.

· Экспонента — выпуклая функция.

· Обратная функция к ней — натуральный логарифм {\displaystyle (\ln x)} .

· Преобразование Фурье экспоненты — обобщённая функция, а именно дельта-функция Дирака.

· Преобразование Лапласа экспоненты {\displaystyle e^{ax}} определено в области {\displaystyle \operatorname {Re} (x)<a} .

· Производная в нуле равна {\displaystyle 1} , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом {\displaystyle 45^{\circ },} или {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} .

· Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)} .

o Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна {\displaystyle 0} , либо имеет вид {\displaystyle \exp(cx)} , где {\displaystyle c} — некоторая константа.

· {\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x} , где {\displaystyle \operatorname {sh} } и {\displaystyle \operatorname {ch} } — гиперболические синус и косинус.

Комплексная экспонента[править | править код]

 

График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением {\displaystyle f(z)=e^{z}} , где {\displaystyle z} есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты {\displaystyle f(x)=e^{x}} вещественного переменного {\displaystyle x} :

Определим формальное выражение

{\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}} .

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции {\displaystyle e^{z}} , то есть показать, что {\displaystyle e^{z}} разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

{\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} .

Сходимость данного ряда легко доказывается:

{\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}} .

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции {\displaystyle f(z)=e^{z}} . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция {\displaystyle e^{z}} всюду определена и аналитична.

Свойства[править | править код]

· Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.

· {\displaystyle e^{z}} — периодическая функция с основным периодом 2πi: {\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi)}} . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой {\displaystyle 2\pi } .

· {\displaystyle e^{z}} — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а соответственно, и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.

· Алгебраически экспонента от комплексного аргумента {\displaystyle z=x+iy} может быть определена следующим образом:

{\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)} (формула Эйлера).

o В частности, имеет место тождество Эйлера:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}

Вариации и обобщения[править | править код]

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента[править | править код]

Основная статья: Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

{\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора {\displaystyle A} с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы {\displaystyle A\colon } {\displaystyle \exp \|A\|.} Следовательно, экспонента от матрицы {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение {\displaystyle {\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}} с начальным условием {\displaystyle x(0)=x_{0}} имеет своим решением {\displaystyle x(t)=\exp(At)x_{0}.}

h -экспонента[править | править код]

Введение {\displaystyle h} -экспоненты основано на втором замечательном пределе:

{\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}

При {\displaystyle h\to 0} получается обычная экспонента^[1].

Обратная функция[править | править код]

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается {\displaystyle \ln x} :

{\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}

См. также[править | править код]

· Показательная функция

· Список интегралов от экспоненциальных функций

Примечания[править | править код]

1. ↑ A.I. Olemskoi, S.S. Borysov, a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi

Литература[править | править код]

· Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.

· Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки[править | править код]

· «Экспонента и число е: просто и понятно» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)

Категории:

· Элементарные функции

· Элементарные функции комплексной переменной