Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

· Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа

· Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам

· Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2^x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)^x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+ прирост)^x

Это просто означает, что мы используем норму возврата (1 + прирост) «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение? Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

Экспонента и число е — деньги как пример

В прошлой статье "Экспонента и число е: просто и понятно" мы рассмотрели понятие экспоненциального роста на примере базовой системы, которая удваивается за определенный период времени.

Но деньги меняют все

С деньгами дела обстоят по-другому. Как только мы зарабатываем пару монет прибыли, эти монетки начинают приносить свои микро-прибыли. Нет необходимости ждать, пока набежит целый рубль — «свежим» денежкам совсем не нужно «дозревать», чтобы начать «плодоносить».

Основываясь на нашей старой формуле, прирост процента выглядит примерно так:

Но опять же, это не совсем правильно: вся сумма процента появляется в последний день. Давайте посмотрим поближе и разделим год на два промежутка. Мы зарабатываем 100% прибыль каждый год, или по 50% каждые 6 месяцев. Таким образом, мы заработаем 50 копеек в первые полгода, и другие 50 копеек во вторую половину года:

И все равно, это неверно! Конечно, наш рубль-родитель (Синий кружок) зарабатывает рубль в течение года. Но после 6 месяцев мы получим 50-копеечный кусочек прибыли – готовые деньги, которыми мы пренебрегаем! Эти 50 копеек уже могли бы зарабатывать свои собственные деньги:

Поскольку наш коэффициент равен 50% каждые полгода, эти 50 копеек могли бы заработать еще 25 копеек (50% от 50 копеек). В конце года мы бы получили:

· Наш начальный рубль (Синий кружок)

· Рубль, который заработал Синий (Зеленый кружок)

· 25 копеек, которые заработал Зеленый (Красный кружок)

Если все сложить, получится 2,25 рублей. Мы заработали 1,25 рубля всего на одном исходном рубле, и это даже лучше, чем удвоение!

Вернемся к формуле. Рост за два полу-периода по 50% составит:

рост = (1+100%/2)² = 2,25

Переходим на составной рост

Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.

Вот так выглядит наш рост, расписанный на 3 составных периода:

Каждый отдельный цвет обозначает определенное «поколение» прибыли. Тогда картина выглядит так:

· Месяц 0: Мы начали с 1 рубля (Синий)

· Месяц 4: Синий родитель заработал 1/3 рубля сам, то есть родил Зеленого детеныша, равного 33 копейкам.

· Месяц 8: Синий родитель заработал еще 33 копейки, его Зеленый детеныш, соответственно, на столько же подрос. За этот период Зеленый детеныш уже заработал свои 11 копеек (33% от 33 копеек). Эти 11 копеек становятся Красным внуком.

· Месяц 12: Процесс становится еще интереснее. Синий родитель зарабатывает еще 33 копейки, и его Зеленый детеныш совсем повзрослев, став целым рублем. Зеленый и сам заработал 22 копейки за последние 4 месяца, поэтому его Красный ребенок весит уже 33 копейки. И Красный, будучи в возрасте 11 копеек в начале этого промежутка, заработал свои 4 копейки (33% от 11 копеек) – и это уже его Фиолетовый детёныш.

Фуух! Спустя 12 месяцев у нас получается: 1 + 1 + 0.33 + 0.04 или примерно 2.37 рубля.

Потратим еще чуть времени, чтобы понять, что на самом деле происходит с таким ростом:

· Каждый цвет зарабатывает свой процент и «передает» его другому цвету. Заработанные деньги могут зарабатывать свои собственные прибыли, и этот цикл повторяется.

· Мне нравится думать, что начальная сумма (Синий родитель) никогда не меняется. Синий вкладывает свои заработки в рождение Зеленого, 33 копейки каждые 4 месяца, а сам не растет. На графике синими стрелками показано, как Синий родитель кормит своего Зеленого малыша.

· Зелёный родитель только что произвёл на свет красного (зелёные стрелки), но синий родитель про это не знает ни сном ни духом.

· Сам Зеленый постоянно растет (на кормежке Синего родителя), вкладывая все больше и больше в свое Красное дитя. Между 4 и 8 месяцами Зеленый отдает 11 копеек Красному. Между 8 и 12 месяцем Зеленый дает 22 копейки Красному, так как сам он к 8 месяцу вырос до 66 копеек. Если бы мы удлинили нашу диаграмму, Зеленый бы отдал Красному 33 копейки, так как сам он к 12 месяцу подрос до целого рубля.

Теперь понятнее? Поначалу это сложно — я и сам запутался, пока рисовал все эти графики. Главное понять, что каждый «рубль» создает маленьких помощников, а те, в свою очередь, создают помощников себе, и так далее.

Если рассматривать год как 3 равных периода, формула роста будет такой:

рост = (1 + 100%/3)³ = 2.37037...

Мы заработали 1.37 рубля, а это даже лучше, чем те 1.25, что получились у нас в предыдущий раз!