Тема: «Смысл умножения и деления. Свойства умножения. Связь

Тема: «Смысл умножения и деления. Свойства умножения. Связь

Компонентов и результатов действий умножения и деления. Таблица умножения и соответствующие случаи деления»

План.

1. Какие виды заданий может использовать учитель для того, чтобы раскрыть учащимся смысл действия умножения? Найдите в различных учебниках математики для 2 и 3 классов (М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, И.И. Аргинской, Л.Г. Петерсон и др.) страницы, на которых вводится понятие «умножение» и соответствующая терминология, сравните их между собой. В чем их сходство и различие? Какое отличие вы можете отметить в иллюстрациях, предлагаемых в различных учебниках? Какие из них методически целесообразнее и почему?

Задание 1. Мама для каждого члена семьи на тарелку положила по 2 яблока. В семье 4 человека. Сколько всего яблок положила мама?

2+2+2+2=8 (ябл.)

Задание 2. А теперь представьте, что мы в школьной столовой. На завтрак каждому из учащихся трех классов на тарелку положили по 2 яблока. В трех классах учится  93 человека. Сколько всего яблок положили на тарелки? Какой рисунок можно сделать? Какую запись?

Учащиеся на доске пытаются сделать рисунок и математическую запись к заданию 2, но сбиваются. Следовательно, такая запись неудобна.

Учитель: В математике существует другое действие, с помощью которого удобно сделать такую запись – это действие умножение. Мы по 2 взяли 93 раза. Это записывают так:    2*93

Результат этого действия вы пока не можете найти, но научитесь, а я сообщаю, что получится 186: 2*93=186.

Предлагаем подобные упражнения и выполняем к ним рисунки и математические записи. На первых порах выполняем две записи: одну на сложение, другую на умножение, и соотносим  сумму и произведение. Обращаем внимание на смысл каждого компонента действия умножения.

М2М ч.2 с. 48 №1

3*4. Первое число показывает, какое число мы повторяем (3). Второе показывает. сколько раз повторяем (4раза), т.е. по 3 взяли 4 раза. В нач. классах важна последовательность этих компонентов, т.е., если по 3 взяли 4 раза, то нельзя писать 4*3.

Далее предлагаются упражнения на закрепление смысла умножения. Для этого используют упражнения двух групп.

Группа. На сравнение рисунка и математической записи.

а) составь запись по рисунку (на рис. показано чередование, повторение какой-то группы предметов или геометрических фигур либо в строчку, либо в столбик).

  

Если считать, что здесь по 2 повторили 4 раза, то 2*4.

Но если считать, что по 4 взяли 2 раза, то 4*2.

б) Наоборот, по математической записи составить рисунок;

в) выбери запись, соответствующую этому рисунку. Дан рисунок (как в задании1) и записи: 2*4; 4*2; 2*3; 3*4; 2+4. Т.е. записи подбирают правильные или неправильные, с типичной ошибкой;

М2И2, с.53

М2И2, с.54

г) выбери рисунок к этой записи;

д) исправь ошибку в записи, чтобы она соответствовала рисунку;

е) исправь ошибку в записи;

ж) закончи запись так, чтобы она соответствовала рисунку;

з) закончи рисунок так, чтобы он соответствовал записи;

и) установи соответствие между несколькими рисунками и несколькими записями.

М2И2, с.55-56

При рассмотрении умножения вводят понятие «увеличить в несколько раз»: У Пети было 2 конфеты, а стало в 5 раз больше. Покажи на рисунке, сколько конфет стало. Составь математическую запись.

М2М ч.2 с. 48

М2И2, с.52

М2Ч1, с.99

М2П2, с.51

М2А2, с.3,4,6

Во всех рассматриваемых учебниках дано похожее определение умножению. Умножение – это сумма одинаковых слагаемых. В каждом учебнике задается вопрос – как удобнее сосчитать? Например, количество груш, разложенных в нескольких корзинах по три или просто пример, состоящий з нескольких одинаковых слагаемых – 5+5+5+5+5. Выясняется, что удобнее считать числа не по отдельности, а группами. Сумма нескольких одинаковых слагаемых можно записать в виде произведения. После знакомят со знаком умножения (точкой), с понятием «множество» и тем, как читать выражения.

Отличие учебников в том, что не во всех из них умножение рассматривается подробно. Например, у И. И. Аргинской сначала дается множество упражнений на сложение одинаковых слагаемых, затем вкратце объясняется, что такое умножение и как решать примеры с его помощью. При этом дети должны по данному выражению сами ответить на вопросы:

В итоге, основной упор сделан на самостоятельную работу учеников. Примерно также дело обстоит у Чекина и Петерсон, тогда как у Моро и Истоминой умножение рассматривается очень подробно.

Более методически целесообразные иллюстрации есть у Моро и Аргинской. В одном учебнике изображены груши в корзинах, в другом – яблоки на ветках или несколько групп предметов – пуговиц, ягод и т.д. У Петерсон изображены группы точек и фигуры, состоящие из клеток. Для детей схемы воспринимаются хуже, чем картинки с предметами обихода. В некоторых других учебниках совсем нет иллюстраций во вступлении к теме.

 

2. Какие виды предметных действий может использовать учитель при раскрытии смысла действия деления? Приведите примеры упражнений, которые полезно использовать при ознакомлении и обобщении смысла действия деления (свои и из различных учебников).

После ознакомления со смыслом умножения, учащиеся знакомятся со смыслом деления. Для этого используется теоретико-множественная трактовка деления.

М2М ч.2 с. 58

2 вид. ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ.      

8 яблок раздали двум ученикам поровну. Сколько яблок получил каждый

В таких задачах узнают численность равных подмножеств.

Учитель демонстрирует эти действия. Это можно сделать двумя способами:

1) по одному яблоку раздают по очереди 2 ученикам;

 

2) т.к. делим на две равные части, то сразу берем два яблока, чтобы дать каждому по одному до тех пор, пока яблоки не закончатся.

Для каждого способа свой рисунок:

1)

 

Ответом на вопрос является число стрелок, которое подходит к каждому треугольнику.

2)

На этом рисунке считаем сколько раз по 2 брали, чтобы дать каждому по 1.

По рисункам делаем запись: 8:2=4. (Ответ находим по рисунку).

М2М ч.2 с. 60

В течение последующих уроков предлагаются упражнения на усвоение смысла деления.

Это упражнения на сравнение рисунка и записи:

1) Составь запись по рисунку. Рисунок, как показано выше, при делении по содержанию или на равные части в строчку или столбиком. М2М ч.2 с. 58-59

2)Выбери запись, соответствующую рисунку, или наоборот, рисунок соответствующий записи.

3) Исправь ошибку в записи так, чтобы она соответствовала рисунку, или наоборот, исправь рисунок, чтобы он соответствовал записи.

4) Закончи рисунок так, чтобы он соответствовал записи и наоборот.

5) Установи соответствие между рисунками и несколькими записями.

На специальном уроке проводят обобщение двух видов деления

Показывают, что, если делят одинаковые числа, то неважно, каким способом выполняют деление, все равно получается одинаковое число.

1) 12 морковок связали в пучки по 2 морковке в каждом. Сколько пучков получилось?

12:2=6 (пучков)

2) 12 морковок разделили на две равные части для двух кроликов. Сколько морковок получил каждый?

12:2=6 (мор.)

Сравниваем тексты задач, подмечаем сходства и отличия. Обращаем внимание на то, что деление выполняется по-разному. Но при сравнении записей мы видим, что результат получается одинаковый. Следовательно, если делят одинаковые числа, то неважно, каким способом выполняют деление, все равно получается одинаковое число.

М2Мч.2 с.62

 При рассмотрении смысла деления учащиеся знакомятся с такими понятиями:

а) уменьшить в несколько раз.

М3М ч.1 с.38

Это понятия, связанные с делением на равные части.

Красных мячей 6, а синих в два раза меньше.

 Мы должны 6 мячей разделить на 2 равные части и взять одну такую часть.

б) кратного сравнения, т.е. ответ на вопрос: во сколько раз больше/меньше или меньше?

М3М ч.1 с.42

Эта задача сводится к делению по содержанию.

У Коли 10 тетрадей, а у Пети 2. Во сколько раз у Коли больше тетрадей, чем у Пети?

В учебнике Истоминой Н.Б. М3И  при разъяснении смысла деления рассматривают не задачи, а рисунки и задания, но они сводятся все равно к двум видам деления.

 

3. Каким образом происходит ознакомление  учащихся с переместительным свойством умножения? Найдите эти страницы в различных учебниках математики и сравните их. Составьте фрагмент урока изучения данного свойства.

Первое свойство, с которым знакомятся учащиеся, является переместительное свойство.

М2М ч.2 стр. 56

Для его вывода используют эмпирическое обобщение.

1)задание. В качестве первой ситуации можно предложить такое задание: «…положите перед собой 4 ряда по 2 круга».

 

 

Сколько кругов перед вами? Это можно выяснить двумя способами:

а) здесь 4 горизонтальных строки по 2 круга в каждой, т.е. всего 2*4=8 (результат можно пересчитать, если дети не знают этот случай);

 б) с другой стороны, здесь 2 вертикальных столбика по 4 круга в каждом. Всего 4*2=8.

Сравните записи: чем похожи? (одинаковые множители, одинаковые произведения), говорим на языке правила;

чем отличаются? (множители поменялись местами).

Делаем первый промежуточный вывод: от перестановки множителей результат умножения не изменяется.

2) задание. Предлагаем готовый рисунок.

Объясните записи

3*6=18        и     6*3=18

Проводим анализ записей с точки зрения терминологии. Чем похожи? Чем отличаются? И делаем второй промежуточный вывод.

3) задание. Аналогично разбираем такую же третью ситуацию. Главное, чтобы использовались другие числа. И делаем вывод.

4) задание. Сравниваем все полученные записи и делаем общий вывод: от перестановки множителей результат умножения не изменяется.

Э то свойство облегчает вычисления, например: 2*148=148*2,            148*2=148+148

Но переместительное свойство нельзя использовать при записи решения задач, т.к. для начальной школы очень важен смысл действия.

Например, если дана задача «сшили 48 платьев, на каждое потратили по 2 м ткани. Сколько всего ткани израсходовали?», то нельзя записать как 48*2, а можно 2*48.

М2А2, с.62,63

М2И2, с.62-64

М2Д2, с.54,55

Фрагмент урока по А. С. Демидовой, с. 54.

- Откройте учебники на стр. 54 и посмотрите на иллюстрации вверху. Нам нужно найти число игрушек в коробке. «Петя нашел число игрушек так: 5+5+5=5*3. Вова нашел число игрушек так: 3+3+3+3+3=3*5. Объясните, как по-разному подсчитывали количество игрушек. В первом случае пять игрушек умножили на три ряда игрушек, во втором случае наоборот – 3 игрушки умножили на 5 рядов игрушек. Попробуем посчитать: 5*3=15, а 3*5=15. Количество игрушек не изменилось. Можем ли мы сказать, что от перестановки множителей значение произведения не изменяется? (Можем).

Рассмотрим другой пример. №2. Расскажите, как нашли площадь прямоугольника ABCD. В первом случае ширину помножили на длину – 4*2, а во втором – длину на ширину – 2*4. Чему равно 4*2? (8). 2*4? (8). Можем ли мы сказать, что 4*2=2*4? (Можем). Следовательно, от перестановки множителей произведение не меняется.

Попробуем применить новые знания на решении примеров. Выполните задание № 4 в учебнике. Используя это свойство умножения, найди значение второго выражения в каждой паре, зная значение первого:

Если 5*6=30, то чему будет равно 6*5? (30) и т.д. по аналогии.

 

4. Какие правила отражают взаимосвязи между компонентами и результатом действий умножения и деления. Укажите соответствующие страницы учебников.  Составьте фрагмент урока вывода одного из этих правил.

Тема: «Смысл умножения и деления. Свойства умножения. Связь

Компонентов и результатов действий умножения и деления. Таблица умножения и соответствующие случаи деления»

План.

1. Какие виды заданий может использовать учитель для того, чтобы раскрыть учащимся смысл действия умножения? Найдите в различных учебниках математики для 2 и 3 классов (М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, И.И. Аргинской, Л.Г. Петерсон и др.) страницы, на которых вводится понятие «умножение» и соответствующая терминология, сравните их между собой. В чем их сходство и различие? Какое отличие вы можете отметить в иллюстрациях, предлагаемых в различных учебниках? Какие из них методически целесообразнее и почему?

Задание 1. Мама для каждого члена семьи на тарелку положила по 2 яблока. В семье 4 человека. Сколько всего яблок положила мама?

2+2+2+2=8 (ябл.)

Задание 2. А теперь представьте, что мы в школьной столовой. На завтрак каждому из учащихся трех классов на тарелку положили по 2 яблока. В трех классах учится  93 человека. Сколько всего яблок положили на тарелки? Какой рисунок можно сделать? Какую запись?

Учащиеся на доске пытаются сделать рисунок и математическую запись к заданию 2, но сбиваются. Следовательно, такая запись неудобна.

Учитель: В математике существует другое действие, с помощью которого удобно сделать такую запись – это действие умножение. Мы по 2 взяли 93 раза. Это записывают так:    2*93

Результат этого действия вы пока не можете найти, но научитесь, а я сообщаю, что получится 186: 2*93=186.

Предлагаем подобные упражнения и выполняем к ним рисунки и математические записи. На первых порах выполняем две записи: одну на сложение, другую на умножение, и соотносим  сумму и произведение. Обращаем внимание на смысл каждого компонента действия умножения.

М2М ч.2 с. 48 №1

3*4. Первое число показывает, какое число мы повторяем (3). Второе показывает. сколько раз повторяем (4раза), т.е. по 3 взяли 4 раза. В нач. классах важна последовательность этих компонентов, т.е., если по 3 взяли 4 раза, то нельзя писать 4*3.

Далее предлагаются упражнения на закрепление смысла умножения. Для этого используют упражнения двух групп.