Часть 1. Теория вероятностей

Часть 1. Теория вероятностей

Введение

При изучении явлений окружающего мира, в научных и практических исследованиях часто встречаемся с так называемыми вероятностными экспериментами,  т.е. экспериментами,.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Примеры вероятностных экспериментов:

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

 

В общих чертах, условия вероятностного эксперимента остаются неизменными. В чем причина различий в их результатах?

Установлено, что результаты большой серии вероятностных экспериментов, рассматриваемые суммарно, подчиняются вполне определенным закономерностям, проявляющимся тем ярче, чем больше число проведенных экспериментов.

Наличие указанных закономерностей объясняется тем, что ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Установленный факт является основой практического применения теории вероятностей: только такие случайные явления, обладающие свойством устойчивости частот, и являются объектом ее исследования.

Задачей теории вероятностей является..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

При этом исход каждого отдельного вероятностного эксперимента остается непредсказуемым, но результаты достаточно большой серии испытаний могут быть хорошо описаны с помощью построенной математической модели.

При проведении практических исследований в большинстве случаев математические модели изучаемых явлений неизвестны, в распоряжении исследователя имеются лишь результаты наблюдений. Для построения (подбора) на основании имеющихся опытных данных наилучшей математической модели используются методы математической статистики.

Математическая статистика – система основанных на теоретико-вероятностных моделях понятий, приемов и математических методов, предназначенных для сбора, обработки, систематизации и интерпретации статистических данных с целью получения научных и практических выводов.

Круг задач, решаемых методами математической статистики очень широк. В настоящее время практически не существует областей науки, техники и естествознания, где в той или иной мере не применялись бы вероятностно-статистические методы.

 

Результаты вероятностных экспериментов могут быть описаны качественно (в терминах.................................................................) или количественно (с использованием..............................................................................).

 

Проверочный тест 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

 

Глава 1. случайные события

ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ.

  СОБЫТИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.

Пространство элементарных исходов

Для того, чтобы построить математическую модель вероятностного эксперимента, необходимо установить, что представляют собой его возможные исходы.

Будем использовать обозначение:

  Е = «..........................................................................................................»

Любой мысленно возможный (неразложимый) исход вероятностного эксперимента называется элементарным исходом и обозначается ω.

Пространством элементарных исходов (ПЭИ) Ω вероятностного эксперимента называется.............................................................................................................................................................................................................................

Примеры:

1) Е: подбрасывание монеты.

…………………………………………………………………….

2) Е: сдача студентом экзамена

…………………………………………………………………….

3) Е: подбрасывание двух монет

…………………………………………………………………….

4) Е: осуществление выстрелов по мишени до первого попадания

…………………………………………………………………….

Пространство элементарных исходов называется дискретным если множество его элементов является........................................................................

 (Множество называется счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством натуральных чисел: 1, 2, 3, … Т.е. элементы счетного множества можно перенумеровать.)

Пространство элементарных событий называется непрерывным если  множество его элементов является...........................................

Примеры:

Е: подсчет числа отказов оборудования в течение рабочей смены;

…………………………………………………………………….

Е: измерение продолжительности безотказной работы оборудования;

…………………………………………………………………….

Проверочный тест 2. Определить, дискретно или непрерывно пространство элементарных событий следующих экспериментов:

1.   Е: подсчет числа студентов, присутствующих на лекции;

2. Е: измерение отклонения размеров детали от номинала;

3. Е: измерение тормозного пути автомобиля;

4. Е: подсчет числа абонентов, использующих мобильную связь в заданный промежуток времени;

5. Е: измерение скорости автомобиля в момент начала торможения;

6. Е: изучение числа отказов транспортных средств в течение года;

7. Е: осуществление выстрела по мишени.

 

Операции над событиями

Пусть рассматриваются два произвольных события А и В, каждое из которых в результате вероятностного эксперимента может произойти ли не произойти. Известны множества элементарных исходов, благоприятных осуществлению этих событий.

Суммой событий А и В (обозначается A È B или A + B) называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятных ……………… ……………………………………………………………………………………..…Событие A È B состоит в осуществлении..................................……………… …………………………………………………………………………………….….......................................................................................................................................

Аналогично определяется сумма конечного или счетного числа событий A ₁ È A ₂ È A ₃ È … Благоприятными этому событию являются все элементарные исходы, благоприятные ……………………….……………………. ……………………...... Это событие состоит в осуществлении ………………………………......................…………………………………………

Произведением событий А и В (обозначается A Ç B или AB) называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятных осуществлению ………………………………………….............. Событие A Ç B состоит в ………………………………………………………………………………………

Произведение конечного или счетного числа событий А ₁ Ç А ₂ Ç А ₃ Ç … представляет собой событие, состоящее их элементарных исходов, благоприятных осуществлению …………………………………… …………….... Это событие состоит в.............……………………… …………………………….…………………………………………………………

Разностью событий А и В (обозначается A \ B, или A – B) называется событие, состоящее из …………………………………………………………… ………………………………………………………… Событие A \ B состоит в том, что   .........................................................………………………………………

 В рассмотренном примере 1:

A È B состоит в …………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….................

A Ç B состоит в …………………………………………………………….................

A \ B состоит в ……………………………………………………………..................

A È B =                       A Ç B =                       A \ B =

A È С =                       A Ç C =                           A \ С =

С È B =                       С Ç B =                           С \ B = 

Противоположным событию А называется событие......................., состоящее из....................................................................................................................................................................................................................................................

Событие Ā состоит в том, что.......................................................................

В примере 1 противоположные к событиям А, В, С, D, Е:

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

 

События А и В называются несовместными, если............................

Т.е. несовместные события.......................................................................................

 

В примере 1 несовместными являются события ………………………

 

Пример 2. Геометрическая интерпретация операций над событиями. Производится испытание: в прямоугольнике, изображенном на рисунке, выбирается наугад точка. Пространством элементарных исходов W данного эксперимента является множество всех точек данного прямоугольника. Рассмотрим события: A – {выбранная точка попадет в область A }; B – {выбранная точка попадет в область B }.

Области, попадание в которые благоприятно событиям A, , A È B, A Ç B, A \ B, В \ А, изображены на следующих рисунках:

Проверочный тест 3

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

 

1.2 Вероятность. Методы определения вероятностей

Вероятностью события называется ……………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Вероятность события А обозначается.........; от латинского probabilitas

 

Аксиомы теории вероятностей

Сформулируем основное положение теории вероятностей. Пусть дано дискретное пространство элементарных исходов W с элементами w₁, w₂, w₃,… Полагаем, что каждому из элементарных исходов w _i поставлена в соответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика p_i = P (w _i), называемая вероятностью этого исхода, причем

 

.....................................................................

По определению,…………………………………………………………... ….….……………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………… 

………………………………

Рассмотрим аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности любых событий:

А1 (Аксиома неотрицательности)……………………………………… ………………………………………………………………………………………

…………………………………

А2 (Аксиома нормированности)…………………………………………...………………………………………………………………………………….

……………………

А3 (Аксиома аддитивности)…………………………………………...….. …………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….

……….....................................................................................

(С аксиоматическим построением ТВ для непрерывных пространств элементарных исходов можно познакомиться, например, в пособии: Гаврилюк А.А., Старовойтов А.Н. Методы теории вероятностей. – Гомель: БелГУТ, 2010 с. 29-31.)

Основные следствия из аксиом теории вероятностей:

1. Вероятность невозможного события……………………………….

…………………

2. Вероятность любого случайного события ……………………… ………………………………………………………………………………………

…………………….

3. Вероятность события , противоположного событию A, равна:

.………………….

1.2.2 Классический метод определения вероятностей

Условия применения: Допустим, пространство элементарных исходов некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов w₁, w₂, …, w _n, причём все исходы являются равноправными и в силу этого равновозможными, т. е. P (w₁) = P (w₂) = … = P (w _n) = 1/n.

Предположим, некоторому событию А благоприятны m исходов. Тогда:

………………………………………………………………………….

Классический метод определения вероятностей: Если пространство элементарных исходов вероятностного эксперимента конечно и все исходы равновозможны, то.........................……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………

где m – …………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………

n –…………………………………………………………………………...

Легко убедиться в том, что определенная таким образом вероятность удовлетворяет всем аксиомам теории вероятностей.

Пример 1. Вычислим вероятности рассмотренных в примере 1 событий А, В, С, D, Е:

Р (А) =……..; Р (В)= …….; Р (С)= ……, Р (D)=…; Р (Е)=….

Пример 3. На сортировочную станцию прибыли вагоны из Орши, Могилева и Витебска. Предполагая равновозможными все варианты очередности разгрузки этих трех вагонов, найти вероятности событий:

A – {вагон из Орши будет разгружен первым};

C – {вагон из Могилева будет разгружен не ранее, чем вагон из Витебска}.

 

Проверочный тест 4

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

 

1.2.3 Геометрический метод определения вероятностей

Условия применения: Пусть пространство элементарных исходов вероятностного эксперимента непрерывно, и представляет собой некоторую область W. Эксперимент состоит в том, что внутри области W произвольным образом выбирается точка, причем вероятность попадания в любую часть А этой области пропорциональная мере этой части, и не зависит от ее расположения в области W.

Тогда вероятность попадания точки в область А равна..................................................................................................................................................................

……………………                                     (1)

где mes (A) - ………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………....

mes (W) -………………………………………………………………….......

Для одномерного пространства W, формула (1) имеет вид:

………………………

Для двумерного пространства W, формула (1) имеет вид:

………………………

Для трехмерного пространства W, формула (1) примет вид:

………………………

Пример 4. (Задача о встрече)

Два студента договорились о встрече в определенном месте между 13 и 14 часами. Они договорились, что пришедший первым ожидает второго в течение 20 минут, и в случае его отсутствия, покидает место встречи. Предполагая, что все возможные варианты прихода студентов на место встречи в течение назначенного часа равновозможны, найти вероятность встречи этих студентов.

 

1.2.4 Статистический метод определения вероятностей.

Очевидно, что существует большой класс событий, вероятности которых нельзя вычислить с помощью классического или геометрического метода определения вероятностей.

Например:

– …………………………………………………………………………….

– …………………………………………………………………………….

– …………………………………………………………………………….

– …………………………………………………………………………….

– …………………………………………………………………………….

Естественно предположить, что каждое из таких событий обладает некоторой вероятностью (степенью возможности), которая при многократном повторении соответствующих опытов будет отражаться в относительной частоте событий.

Относительной частотой события A в некоторой серии из N испытаний называется ……………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………..

где N_A – ……………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………

N – ………………………………………………………………………………….

Установлено, что при увеличении числа испытаний относительная частота события A приближается к вероятности события A и стабилизируется около этого значения.

Согласно статистическому методу определения вероятности, в качестве вероятности события используется...................................................................................................................................................................................................

Проверочный тест 5

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Независимые события

Событие А называется независимым от события В, если ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Аналогично, событие В называется независимым от события А, если ………………………………………………………………………………...

Докажем, что если событие А не зависит от В, то и В не зависит от А:

…………………………………………………………………………….....………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

Определение независимости двух событий может быть дано следующим образом: Два события A и B называются независимыми, если

…………………………………….

То есть вероятность совместного наступления двух независимых событий равна..............................................................................................................

(При этом определении не требуется соблюдение условий P (А) ¹ 0, P (B) ¹ 0).

 

В примере 7:  Независимы события: ………………………………...

                       Зависимы события: …………………………………...

Теорема. Если события  и  независимы, то независимы будут и следующие пары событий:  и ,  и ,  и .

Докажем одно из этих утверждений: …………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

В основе независимости событий лежит их физическая независимость, состоящая в том, что множества факторов, влияющих на исход эксперимента и обусловливающих появление этих событий, не пересекаются или почти не пересекаются. Обычно, при решении практических задач, вопрос о том зависимы ли рассматриваемые события или нет, решается исходя из условий задачи, а не на основании приведенных определений.

События A ₁, A ₂,…, A_n называются независимыми в совокупности, если ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

События A ₁, A ₂,…, A_n называются попарно независимыми если ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

Независимость                                                     Попарная

в совокупности                                                         независимость

 

Теорема умножения вероятностей для независимых в совокупности событий A ₁, A ₂,…, A_n имеет вид

…………………………………………………………………………

Пример 9. Студенту необходимо сдать три экзамена. Первый из них он может сдать с вероятностью 0,9; второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Полагая, что сдача каждого экзамена происходит независимо от остальных, определить вероятность того, что студент сумеет сдать не менее двух экзаменов из трех.

 

Проверочный тест 6

Предполагая известными вероятности событий  и , укажите формулу для вычисления вероятностей событий В и С.

1. Е: производятся 2 выстрела по мишени. - попадание при первом выстреле;  - попадание при втором выстреле;

  В – хотя бы одно попадание в мишень; ………………………………..

С – два попадания в мишень……………………………………………..

2. Е: проверка качества выбранного изделия.  - проверяемое изделие – первого сорта; - проверяемое изделие – второго сорта;

В – проверяемое изделие – не ниже второго сорта…………………….

3. Е: из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, последовательно вынимаются 2 шара.  - при первом вынимании появится белый шар;  - при втором вынимании появится белый шар.

В – появление двух белых шаров ……………………………………

С – появление хотя бы одного белого шара ………………………..

Формула Бернулли

Несколько испытаний называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые в совокупности события.  Иначе говоря, вероятность наступления некоторого события в каждом из испытаний не зависит от исходов других испытаний.

Примеры независимых испытаний:

- ………………………………………………………………………………..

- ………………………………………………………………………………..

- ………………………………………………………………………………..

Схемой испытаний Бернулли называется ………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Теорема ………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...

……………………………

…………………………………………….

С помощью формулы Бернулли можно вычислить вероятности ……… для всех возможных значений...….:

Значения  ...… представляют собой слагаемые биномиального разложения:

………………………………………………………….

Вероятность того, что в серии из … испытаний Бернулли событие А осуществится не менее, чем … раз, можно определить по формуле:

…………………………………………………………….….

В общем случае, график зависимости …….. от ….. можно схематически изобразить следующим образом:

 

Наивероятнейшее число ……. наступлений события А в серии из ….. испытаний Бернулли, можно определить из двойного неравенства:

…………………………………………

Пример 11. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее девяти автомашин.

Проверочный тест 6

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

 

Часть 1. Теория вероятностей

Введение

При изучении явлений окружающего мира, в научных и практических исследованиях часто встречаемся с так называемыми вероятностными экспериментами,  т.е. экспериментами,.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Примеры вероятностных экспериментов:

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

‑....................................................................................................................................

 

В общих чертах, условия вероятностного эксперимента остаются неизменными. В чем причина различий в их результатах?

Установлено, что результаты большой серии вероятностных экспериментов, рассматриваемые суммарно, подчиняются вполне определенным закономерностям, проявляющимся тем ярче, чем больше число проведенных экспериментов.

Наличие указанных закономерностей объясняется тем, что ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Установленный факт является основой практического применения теории вероятностей: только такие случайные явления, обладающие свойством устойчивости частот, и являются объектом ее исследования.

Задачей теории вероятностей является..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

При этом исход каждого отдельного вероятностного эксперимента остается непредсказуемым, но результаты достаточно большой серии испытаний могут быть хорошо описаны с помощью построенной математической модели.

При проведении практических исследований в большинстве случаев математические модели изучаемых явлений неизвестны, в распоряжении исследователя имеются лишь результаты наблюдений. Для построения (подбора) на основании имеющихся опытных данных наилучшей математической модели используются методы математической статистики.

Математическая статистика – система основанных на теоретико-вероятностных моделях понятий, приемов и математических методов, предназначенных для сбора, обработки, систематизации и интерпретации статистических данных с целью получения научных и практических выводов.

Круг задач, решаемых методами математической статистики очень широк. В настоящее время практически не существует областей науки, техники и естествознания, где в той или иной мере не применялись бы вероятностно-статистические методы.

 

Результаты вероятностных экспериментов могут быть описаны качественно (в терминах.................................................................) или количественно (с использованием..............................................................................).

 

Проверочный тест 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

 

Глава 1. случайные события