Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2021-03-18 | 66 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1 (первое достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на и дифференцирована на этом интервале везде за исключением, возможно, точки , но в этой точке функция является непрерывной. Если существуют такие правая и левая полуокрестности точки , в каждой из которых сохраняет определенный знак, то
1) функция имеет локальный экстремум в точке , если принимает значения разных знаков в соответствующих полуокрестностях;
2) функция не имеет локальный экстремум в точке , если справа и слева от точки имеет одинаковый знак.
Доказательство. 1) Предположим, что в полуокрестности производная , а в .
Таким образом в точке функция имеет локальный экстремум, а именно - локальный максимум, что и нужно было доказать.
2) Предположим, что слева и справа от точки производная сохраняет свой знак, например, . Тогда на и функция строго монотонно возрастает, то есть:
,
.
Таким образом экстремума в точке функция не имеет, что и нужно было доказать.
Замечание 1. Если производная при прохождении через точку меняет знак с «+» на «-», то в точке функция имеет локальный максимум, а если знак меняется с «-» на «+», то локальный минимум.
Замечание 2. Важным является условие непрерывности функции в точке . Если это условие не выполняется, то теорема 1 может не иметь места.
Пример. Рассматривается функция (рис.1):
Эта функция определена на и непрерывна везде, кроме точки , где она имеет устранимый разрыв. При прохождении через точку меняет знак с «-» на «+», но локального минимума в этой точке функция не имеет, а имеет локальный максимум по определению. Действительно, около точки можно построить такую окрестность, что для всех аргументов из этой окрестности значения функции будут меньше, чем значение . Теорема 1 не сработала потому, что в точке функция имела разрыв.
|
Замечание 3. Первое достаточное условие локального экстремума не может быть использовано, когда производная функции меняет свой знак в каждой левой и каждой правой полуокрестности точки .
Пример. Рассматривается функция:
Поскольку , то , а потому , но . Таким образом:
,
т.е. в точке функция имеет локальный минимум по определению. Посмотрим, сработает ли здесь первое достаточное условие локального экстремума.
Для :
.
Для первого слагаемого правой части полученной формулы имеем:
,
а потому в малой окрестности точки знак производной определяется знаком второго слагаемого, то есть:
,
а это означает, что в любой окрестности точки будет принимать как положительные, так и отрицательные значения. Действительно, рассмотрим произвольную окрестность точки : . Когда
,
то
(рис.2), а меняет свой знак здесь бесконечно много раз. Таким образом, нельзя использовать в приведенном примере первое достаточное условие локального экстремума.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!