Рассмотрим механику одномерного распростра нения волн.

Для установления динамики процесса рассмотрим энергетические зависимости.

Деформация стержня единичной площади попереч ного сечения в результате сжатия зоны длиной l равна:

D/ =  s  l                                

3

 $'

где s — напряжение;

Е — модуль упругости Юнга.

Приложенная работа на единицу площади составит:

4 = sD/ = s s l = s  l                       

3   3

Эта работа равна упругой энергии, накопленной в зоне волны и кинетической энергии частиц стержня:

o 2l = s 2    mV 2

E  2 E v 0 + 2

где v о — объем стержня единичной площади сечения

на длине волны l;

m — масса стержня на длине волны;

V — скорость частиц стержня.

Объем

5 6 l l  

поскольку S =1 — площадь сечения стержня;

' 1 l r r l  

где r — плотность материала стержня.

Следовательно,

o  l s  l rl   

=     +                                            

 

или

3  3

 

o  l rl   

 

Отсюда:

=            

 3       

o = r3 "

и                                          s

o = (r7)    

-

  =          = s (r7)      

(r3)   

Эта формула получена при прямоугольной форме волны (рис. 1.11(в)). Однако можно показать, что она верна и для любой формы волны при плоском фронте этой волны. Если фронт волны сильно искривлен (как

 

 $

при сферическом фронте волны вблизи места взрыва сферического заряда), указанная формула будет непри менима.

Используя выражение

 

                                    !

 

где F — сила;

t — время действия силы;

m — масса;

V — скорость.

И учитывая, что для единичной площади величина

F численно равна s, а величина m = r l , получим:

-

s = rl = rls (r3) = sl(r 3)

откуда и

 

   l  r -3  8                                  #

 

 ₂ l *   7*r                        

где С р — скорость продольной волны.

Таким образом, скорость распространения упру гой волны в стержне не зависит ни от величины на пряжения s, ни от продолжительности его приложе ния t.

Соответственно, длина волны:

l  2                7* r                      

В случае растягивающего напряжения скорость вол ны не изменится, а ее направление совпадает с направ лением волны сжатия. Приведенные выше формулы по зволяют найти выражения для других величин. Так как:

o  =  V   (r  E  )0,5  

то относительная деформация:

e = s = V

(r  E  )0,5

 

=  V   (r /  E  )0,5  =   V      

 

 $

E          E                              C p

Ускорение частиц:

    e 2   s

=  2       =  ×

3

Смещение частиц:

 2

1 ò = 2 ò e = 3 ò s   

Так как сейсмограф регистрирует либо смещение, либо ускорение, то для нахождения скорости частиц необходимо: либо дифференцировать график смеще ния, либо интегрировать график ускорения.

Используя графики рис. 1.11 (б) и рис. 1.11 (г) мож но исследовать взаимодействие двух или более волн. На рис. 1.12 (а) и 1.12 (в) мы имеем случай двух волн, движущихся навстречу друг другу. На рис. 1.12 (б) и

1.12 (г) показано, что взаимодействие волн сводится к их алгебраическому сложению.

После того, как волны минуют друг друга, они вновь принимают начальную форму. Такая же закономер ность имеет место при наложении волн, движущихся в одном направлении.

Как было показано выше на распространение уп ругих волн оказывают влияние модуль упругости (или жесткость) материала и его плотность. Изменения этих характеристик в стержне можно представить измене нием его поперечного сечения, как показано на рис.

1.13 (а). Рассмотрим стержень с произвольной площа дью поперечного сечения, отличной от единицы. Пусть масса стержня на единицу длины будет m, а модуль упругости выразим через жесткость стержня К = SE (где S — площадь сечения стержня).

Тогда скорость перемещения частиц будет:

()-    

)  æ  

  ö -    

 

()-    

  = s r3

= 6 çè 6

· 6 ÷ø

=)   

 

где Р — сила, приложенная в концу стержня.

На переходном сечении I–I (слева от перехода) имеет место зависимость:

 

          9         

 

 $

где V i — скорость приближающейся волны;

V r — скорость отраженной волны;

V t — скорость прошедшей волны.

Если материал не разрушается, результирующие скорости частиц слева от сечения и справа от него должны быть равны:

P 1

(m  K  )0,5

- P r

(m  K  )0,5

=    p t

(m K

)0,5

1  1                  1  1                   2 2

 

где P i — сила, обусловленная бегущей волной;

P r — сила, обусловленная отраженной волной;

P t — сила, обусловленная прошедшей через сече ние I–I волной.

 

 

Рис. 1.12. Взаимодействие упругих волн:

а — график волн напряжений до взаимодействия; б — график волн напряжений при взаимодействии;

в — график скоростей до взаимодействия; г — график скоростей при взаимодействии.

 

 

 

 $

Схема расположения сил относительно сечения I–I приведена на рис. 1.13 (б). Предполагается, что волна имеет форму прямоугольника и скорость в сечении волны постоянна, т. е. ускорение в волне отсутствует и сумма сил поэтому равна нулю.

Уравнение для сил имеет вид:

)  &  )₉ 2)                                 

 

Рис. 1.13. Влияние границ раздела на поведение упругих волн:

а — расчетная схема; б — схема сил;

в — образование страженной волны.

 

При этом направление силы P r принимается поло жительным (оно неизвестно и определяется в каждом отдельном случае). Из выражения (64) и (65) находим:

 

)9     )  0  )

Следовательно,

P i - P t + P i =

(m  K  )0,5

P t

(m K  )0,5  "

1  1               2 2

 

2 P i

(m  K  )0,5

= P t

(m  K  )0,5

+ P t                "

(m K  )0,5

1  1              1  1             2 2

 

     2 P t =  P

(m K  )0,5  + (m K  )0,5

1  1            2 2

"

(m K  )0,5    t   (m K  )0,5  ×(m K  )0,5

1  1                    1  1          2 2

 

 

1  1             2 2

Полагая:

 

2 2

2 P i   = P t

(m K  )0,5  + (m K  )0,5

(m  K  )0,5

 

  =

 

получим

 

  ) =) ( +)

 

 $"

 

 

или

 

но

 

) =

 

 )

 

( +)

)      )   &  )9

или

 

Откуда:

  )

 

( +)

=)   +)9  

)9  =

 )

 

( +)

-) "

=

 )  - (+  ))) ( -  -  )

"

)9  =

 

(+)

          

(+)

) = ) (-)                               

9      (+  )

Принимая во внимание, что

m = r S;

K    =  E S        C   = (E     r )0,5

 

p

и что изменение сечения стержня соответствует изме нению массы и жесткости К (условно приняв S = const), получим

()   

æ r 63 6 ö  

æ r 3

ö   

  =               = ç     ÷     = ç ÷

()   

è r 63 6 ø

è r 3 ø

Поскольку

 

E 0,5 =  C r 0,5 "

 

 

следовательно,

1

 

2

E 0,5 =  C

p 1 1

 

 

p 2

 

 

то есть

æ r ö     

  = ç      ÷ ×

è r ø

 

 

r

 

2      

r

 2 r 

 $#

  =                                             !

2      

Порода А     Порода В

 

Рис. 1.14. Расчетная схема

Произведение r  С р называется характеристичес ким импедансом.

Уравнение для прошедшего s _t и отраженного s _r

напряжения в соответствии с выражениями (66) и (67) может быть записано в виде:

 s  

o _.   (+   ) "                         #

(-)

o ₃    s   (+  )                          

Пример 1. Продольная волна, проходящая через породу А со скоростью 4880 м/с и напряжением 70 мПа сталкивается под прямым углом с породой В, скорость продольной волны в которой 3660 м/с. Плотность по роды А — 2900 кг/м3, а породы В — 2600 кг/м3.

Определить напряжения в отраженной и прошед шей волнах.

Решение. 1. Расчетная схема дана на рис. 1.14.

2. По формуле (68) находим значение:

  = ₂ r !! × # = !   

 2 r 

 ×     

3. По формуле (69) напряжение в прошедшей волне:

 s  

o _. ( + ) * &! +4 

 

4. По формуле (70) напряжение в отраженной волне:

(-)

o ₃ s ( + ) 0! * &! 0 +4   

 

 

 $$

 

В отраженной волне имеет место растягивающее напряжение.

Из уравнений (69) и (70) можно сделать следую щие выводы:

1. Длина отраженной волны l = t C p   или l = t (E / r )0,5 должна быть такой же, как и бегущей; длина прошедшей волны будет отличной от длины бегущей волны.

2. При n > 1 отраженная волна будет отрицатель ной, т. е. с растягивающим напряжением. Проходящая волна всегда сжимающая.

При n < 1 отраженная волна будет сжимающей. При n = ¥ отраженная волна по величине равна бегу

щей, но противоположна по знаку. Это означает, что когда бегущая волна сжимающая доходит до конца стержня, она отражается как растягивающая с той же амплитудой.

Указанные выводы можно подтвердить экспери ментом. Возьмем стержень из хрупкого материала и ударим по его торцу или взрывом вызовем сжимаю щее напряжение, меньшее прочности на сжатие. От другого конца волна отразится как растягивающая и, если напряжение в ней примерно на 10 % выше проч ности стержня на растяжение, в стержне появится разрыв, как показано на рис. 1.13 (в). Это поясняет по явление отслоений обнажений пород в выработках при взрывных работах.

Рассмотрим действие страженной волны напря жений в стержне. Опыт показывает, что удар по од ному концу стержня может привести к откалыванию части стержня на другом его конце, как это показано на рис. 1.15.

При плоском фронте волны напряжений длина отколовшейся части FB стержня может быть определе на из следующих соотношений (рис. 1.15):

 

 +: -   

 

 

откуда

:

= 

  +

 

 $%

 ;

 +  s   

 

Рис. 15. Откол

породы отраженной

волной в стержне

Здесь АJ — длина волны; s i — напряжение в стер жне от удара; t0» -s  t  , напряжение на фронте отражен ной волны; Бр — прочность стержня на растяжение. Число отколовшихся кусков n получаем из  соотношения:

s ₀ = s  _p  

Отсюда:

n =   s  0   

o  p                                                                     

 

Пример 2. По торцу стержня из горной породы нано сится удар молотком в условиях, приведенных в табл. 1.1.

Таблица 1.1

	!
" # $ #	%

Установить:

1. Произойдет ли отрыв части стержня на проти воположном удару конце?

2. Если да, то какова длина оторвавшейся части?

3. Сколько частей оторвется от стержня?

Решение: 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.16.

2. Силу удара находим из выражения:

           

где m — масса молотка, кг;

V — скорость удара, м/с;

F — сила удара, Н;

t — продолжительность удара, с.

 

 $&

 

Откуда:

Рис. 1.16. Расчетная схема

3. Напряжение в стержне от удара:

o h = ×! =  

 

+4   

6

где F — сила удара;

h — КПД удара;

S — площадь сечения стержня, м2;

Так как s _i > 6, то часть стержня оторвется.

4. Длина оторвавшейся части стержня:

ls ₂

D/ =

 

 s  

 

 %'

где  l — длина упругой волны в стержне, м;

o _p — прочность стержня на растяжение, мПа;

o _i — напряжение от удара, мПа.

5. Длина упругой волны:

l 2    

где C p — скорость упругой волны в стержне, м/с;

t — время удара, с;

l × +

Следовательно:

D/ = ×  +

  ×   

6. Число оторвавшихся частей:

s

  = s =

2

 = 5   

Итак, на границе раздела сред бегущая волна раз бивается на две: проходящую и отраженную.

Рассмотрим материал, в котором зависимость де формации от напряжения нелинейная. Простейший случай материала с двумя линейными зависимостями деформации от напряжения приведен на рис. 1.17 (а).

Напряжение s ₁ вызовет скорость волны V 1= (Е 1 /  r )0,5.

Если в это время добавится напряжение до уровня s ₂, тогда скорость волны будет: V 2= (Е 2  /  r )0,5.

Если напряжение s ₂ будет приложено сразу, фронт

волны разделится на два, как показано на рис. 1.17 (б). Часть волнового фронта, вызванная напряжением

o ₁, будет перемещаться с меньшей скоростью и нач нет отставать. Расстояние между двумя фронтами волн будет равно произведению разности скоростей на время.

 

Рис. 17. Влияние модуля упругости среды на волновые

характеристики:

а — линейная зависимость деформации от напряжения; б — перемещение фронта волны;

в — нелинейная зависимость деформации от напряжения; г — перемещение фронта волны.

 

 %

Подобное, но более сложное явление, будет иметь место в материале с нелинейной характеристикой при нагрузке, как показано на рис. 1.17 (в). Здесь волна раз мажется по форме как показано на рис. 1.17 (г), со сред ним наклоном фронта волны, снижающимся с течени ем времени.

Если характеристика материала при разгрузке линейная (рис. 1.17 (в)), скорость заднего фронта вол ны будет постоянной. Длина волны при этом останется постоянной, хотя форма ее будет меняться. Уравнения, полученные для одномерного стержня, пригодны и для плоской волны в трехмерном пространстве.

Зависимость между модулем упругости в трехос ном E 0 и одноосном E напряженном состоянии имеет вид:

E   =  E (1 - m) =  E      (1 - m)

0      (1 + m )(1 - 2m )

(1 - m - 2m 2)                

 

 %

где m — коэффициент Пуассона.

Статические и динамические параметры упругос ти некоторых пород приведены в табл. 1.2.

 

Таблица 1.2

	10-10		* +     7s /	&'' (
	"	) - " 7¶		- " m <	) - " m¶
, -	4.39	7,8	1,78	0.12	0.22
. //	7.1	7.5	1,06	–	–
.	6,6	7.1	1.08	–	–
) / -	7.32	10.6	1.45	0,18	0,23
) '	5, 3	14,5	2,74	0.24	0,26
) # - $"	5.05	5,3	1.05	—	—
)	14,9	16,4	1.03	–	–
0-#	2,25	5.6	2.50	0,29	0.27
0-# $"	6,5	6,6	1,01	0,22	0.02
# (	6,7	8,8	1.32	0.17	0.07
	7.0	7,9	1.13	0,13	0.02
- $"	8.2	17,2	2,10	0.34	0.33
	2.6	2.7	1.04	0,28	0,13
# (#$"	4,5	8,6	1.90	0.21	0.42
1 # # $"	7.8	8.9	1.15	0.17	0.33
	7.4	8.1	1,10	–	–
#$"	6, 8	9.1	1.35	0.27	0.20
-& #$"	0, 9	3,2	3,52	0,41	0.35
2 ' / ' #$"	4.7	7.9	1.68	0.16	0.36

Скорость продольной волны в твердой среде будет:

é 3 (- m) ù     

 2 = ê r(- m - m )ú

ê                                                                       úû

где E — модуль упругости при одноосном напряжен

ном состоянии;

r — объемная плотность.

По этой формуле сейсмическая скорость С р. будет примерно на 5 % выше, чем рассчитанная по более простой формуле (60).

Кроме продольных волн (Р — волны), существуют поперечные (S — волны), которые проходят через уп ругую среду. Скорость этих волн в трехмерной среде

 

 6        =- r                             

где G — модуль упругости второго рода.

Движение частиц в таких волнах перпендикуляр но направлению их распространения. Скорость S – волн меньше скорости Р – волн примерно на треть (в зависимости от m ). Имеются также волны, бегущие по

поверхности (подобно волнам по воде).

Значения скоростей упругих продольных волн С p

для некоторых горных пород приведены в табл. 1.3. Наиболее обычными являются волны Релея (R —

волны), когда частицы вибрируют в плоскости, нор мальной к направлению движения волны, под прямым углом к поверхности (вниз и вверх). R — волны дей ствуют непосредственно под поверхностью земли и глубина их действия может быть рассчитана.

. $    3! .      4 53 % . $ ($   435! ) $ 4 63              $7 $   43 4 . / $   538 8 ) $ 4 38   . / - $ 8 43! 8             438   , #$ " $ 4 43 4 0-# $ % 34  . $ 4 3 4 0-#                5 438 4 9 ' / #$ " $ 4 3 4         5 34 4 9 ' / $ 438   .    4 4

Таблица 1.3

 %

Следует заметить, что при переходе волны из од ной среды в другую частота и период колебаний ча стиц в ней остаются постоянными, а длина волны из меняется в соответствии с изменением ее скорости. Поглощение упругой волны средой приводит к относительному уменьшению ее динамических харак теристик (амплитуды, величины и скорости перемеще

ний, напряжений и деформаций).

Для плоской монохроматической волны при рас пространении ее в квазиоднородной среде интенсив ность или плотность снижается по закону Бугера Лам берта:

 

;;  * >                               

 

где J 0 — интенсивность или плотность входящей в среду волны, Дж;

К — показатель поглощения, м–1;

R — путь, пройденный волной, м.

Для пород Нюрингринского карьера получена эмпирическая зависимость:

 

   ! 0           6  +0                   

 

где С p — скорость продольной упругой волны в поро де, м/с.

Значение показателя поглощения К изменялось от 0,27 до 0,37 м–1.

Пример 3. В забое квершлага, проходимого по квар циту, произведен взрыв заряда ВВ. Сколько времени потребуется продольной волне, вызванной взрывом, достичь полевого штрека, расположенного в 750 м от места взрыва?

Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.18.

 

 

 %

Рис. 1.18. Расчетная схема

I — квершлаг;                                                  

2 — полевой штрек;

Сp — скорость продольной волны;

L — расстояние до полевого

штрека.

2. Расчетные формулы:

?

é

  =            = ê

 

3_¶ (- m_¶ )

ù     

ú

" 2   ê r( - m - m)ú

2                 ë        ¶           ¶  û

где 7¶ — динамический модуль упругости, Па;

m_¶ — динамический коэффициент Пуассона;

r — плотность кварцита.

3. Расчетные данные: — по табл. 1.2: динамический модуль упругости 7¶ = 8,8 × Па;

динамический коэффициент Пуассона m¶ = 0, 07;

плотность кварцита r = 2600 кг/м3.

4. Результаты расчета:

 

é !! × ( -)

ù     

= ê

(-  ) - ×

  ú =!! #! "

ë                 û

 

=

  

 

 !!  

= "  

 

       

Особый вид представляют ударные волны, образу ющиеся при взрыве ВВ и характеризующиеся весьма высокими напряжениями. Они отличаются от упругих волн. Все части упругих волн движутся с одинаковой скоростью, в то время как в ударных волнах часть с наибольшим напряжением движется быстрее. Второе отличие состоит в том, что ударная волна имеет очень крутой передний фронт, а упругая волна имеет конеч ное время для ее роста.

Гидродинамическая теория предполагает, что на пряжения в ударной волне достаточно высоки для того, чтобы рассматривать горную породу как сжимаемую жидкость без сопротивления сдвигу. Деформация рас сматривается как результат изменения плотности сре ды под таким высоким напряжением.

Для вывода необходимых соотношений для данно го типа волн рассмотрим случай плоской ударной вол ны в стержне (рис. 1.19).

 

 %"

 

Рис. 1.19. Ударная волна:

1 — сжатая зона;

2 — несжатая зона;

3 — переходная зона;

U — скорость фронта ударной волны.

 

Допустим, что фронт волны движется со скоростью U так, что за фронтом волны скорость частиц V S, напря жениеs 6 и массовая плотность среды r6 остаются по

стоянными, что эти свойства V 0, s ₀ и r 0 постоянны и

впереди волны, а между этими зонами имеется переход ная зона (рис. 1.19). Для простоты рассуждения при оцен ке относительного движения переходная зона принима ется стационарной, через которую движется цилиндр справа налево. Относительная скорость движения мате риала будет:

 

 

 %#

 @ 0     

По закону сохранения массы, масса, входящая в зону, равна массе, покидающей зону:

r     @ 0         r₆ @ 0  ₁                      

По закону сохранения импульса

 D D  

для плоской волны, в случае единичного сечения за время действия D t, равное одной секунде, получим:

o 6 0 s             @ 0             @0  ₁         !

Наконец, по закону сохранения энергии, работа, про изведенная цилиндром, равна изменению кинетической энергии плюс изменение внутренней энергии  материала:

 ₁s ₆ 0     s                ₁ 0       * &  D A     #

где D  I — изменение энергии на единицу массы.

Принимая во внимание, что s ₀ << s 6 и V 0 << V S, можно положить: s ₀ = 0 и V 0 = 0. Тогда из (77)

 

 

из (78)

 

 

Тогда

r₀ U = m; m = s _S / V S  ;

 

s _S = mV S;

o _S = mV S;

r₀ U = s _S / V S "

 

 

V S = s _S / m  

r

r₆s ₆

 

6

из (77)

@    - r

 

 

Поэтому

m = r0 U  

 

r₆s ₆ r @ =

 

r6 s 6

6

⇐ Предыдущая20212223242526272829 Поделиться с друзьями: Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится... Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой... Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим... Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...  © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы! 0.439 с.