Глава 29. О законах природных и человеческих

в которой мы выясним, является математика изобретением или открытием и почему это важно

Всех людей объединяет единый порыв: понять окружающий мир и свое место в нем – как наше личное, так и общечеловеческое. То, что мы следуем этому порыву уже несколько тысяч лет, показывает, что в этом смысле мы не отличаемся от наших далеких предков. Методы и вопросы могут меняться, но жажда знания и стремление постичь жизнь остаются прежними.

Когда люди заметили, что и на земле, и в небесах преобладают ритмические рисунки, они естественным образом предположили, что за множеством движений и форм должна стоять какая‑то упорядочивающая сила, как если бы реальность была созданием каких‑то невидимых творцов закономерностей. Кто они – это главный вопрос религии и науки, а значит, и этой книги. Кто приносит порядок в этот мир – боги, или законы, или и те и другие, или же никто из них? За время существования человечества этот вопрос породил множество мифов о творении, священных писаний, которые призваны объяснить происхождение и природу всех вещей. Неважно, где и когда появляется миф, – происхождение вещей в нем всегда связывается с установлением порядка в результате божественного вмешательства или без него.

Природа постоянно демонстрирует нам упорядоченность и регулярность: смена дня и ночи, времена года, приливы и отливы, фазы Луны, движение планет по орбитам, цикл жизни и смерти растений и животных, созревание урожая. Для того чтобы получить хотя бы минимальный контроль над миром, развивающимся по законам, которые находятся вне нашей власти и остаются для нас далекими и недосягаемыми, нам требуются способы методического подсчета и организации. Как еще люди, любящие все структурировать, могут упорядочить свое представление о реальности, кроме как с помощью языка, способного описывать эти закономерности, анализировать их и изучать их вечное повторение? Математизация Природы и упорядочение наблюдаемых тенденций с помощью законов представляет собой одно из главных достижений нашего вида. Однако большинству людей лучше знакомы законы, действующие в социальной сфере, поэтому мне кажется разумным для начала обсудить различия между законами природными и человеческими.

Человеческие законы направлены на то, чтобы обеспечить контроль и порядок в поведении личности и социума и сделать общественную жизнь безопаснее, в то время как законы Природы выводятся на основании длительных наблюдений за разнообразными явлениями. Человеческие законы могут варьироваться в зависимости от культуры или эпохи, так как они основываются на моральных ценностях, у которых отсутствует универсальный стандарт. Законы Природы же стремятся к универсальности, так как они описывают примеры поведения, которые остаются верными (доказуемыми) во всем пространстве и на протяжении всего времени. Одна группа людей может находить определенный ритуал (например, женское обрезание) допустимым, а другая – варварским, но звезды во Вселенной будут жить по тем же законам, которые начали действовать на них еще 200 миллионов лет назад после Большого взрыва. В некоторых странах запрещена смертная казнь, а в некоторых смертные приговоры приводятся в исполнение регулярно и с фанатизмом, но какую бы планету, луну или галактику мы ни взяли, молекулы в ней будут соединяться и рекомбинироваться в ходе химических реакций, следуя строго определенным законам сохранения энергии и притяжения и отталкивания.[167]

Вариативность человеческих законов показывает, что мы еще мало знаем о себе и о том, каковы (или какими должны быть) универсальные моральные стандарты. С другой стороны, надежность и окончательность природных законов и их очевидная непоколебимость вдохновляли многих людей на использование их в качестве оснований для законов общества. Самым известным примером является эпоха Просвещения, но на самом деле эта тенденция существовала задолго до XVIII века. Возьмем, к примеру, Платона и его идеальные формы. Мы чувствуем в них восхищение возможностями математики и еще большее – силой человеческого разума, открывшего эти врата к вечной истине. Платон, в свою очередь, подхватил указанные идеи у пифагорейцев, которые возвели математику в божественный статус. С помощью математики люди могли выйти за пределы своей смертной природы и соединиться с вечным сознанием Творца.

Сила математики заключается в ее отстраненности от физической реальности, в абстрактном представлении ее значений и концепций. Она начинается во внешнем мире, который мы воспринимаем своими органами чувств, когда выделяем в Природе формы, приближенные к кругу или треугольнику, либо учимся рассчитывать и измерять расстояние и время. Но затем математика делает шаг в сторону упрощения. Она берет у Природы асимметричные формы и поднимает их до идеального уровня симметрии, чтобы нам было проще анализировать в уме их взаимоотношения. Эти отношения и их плоды могут применяться или не применяться для дальнейшего изучения Природы, то есть использоваться в каких‑либо научных моделях или же навсегда остаться в абстрактном пространстве идей, где они родились. Такой перенос форм и значений из Природы, позволяющий нам проводить абстрактные манипуляции с числами и формами, показывает, что математика – это всегда приближение к реальности, но не сама реальность.

Платоники и по сей день радуются этому разделению, так как оно представляет собой единственный способ достижения высших смыслов в стремлении к вечной истине, очищенный от грязи и уродства несовершенного материального мира. Они считают, что этот абстрактный мир вычислений и является реальностью, и математика – единственный способ достичь ее и сорвать плод с древа познания (при этом не пережив второе изгнание из рая). Великий математик Г. Х. Харди писал: «Я верю, что математическая реальность лежит вне нас самих, что наша функция состоит в наблюдении за ней и изучении ее и что теоремы, которые мы доказываем и напыщенно называем своими творениями, на самом деле являются лишь результатами наших наблюдений».[168] Он продолжает свою мысль еще более радикальным высказыванием: «“Воображаемые” вселенные намного прекраснее тупо построенной “реальной” вселенной, и большинство прекраснейших плодов фантазии прикладного математика должны быть отвергнуты сразу же после того, как их сотворили, на том жестком, но достаточном основании, что они не согласуются с фактами».[169]

Другие считают этот романтический взгляд на математику чем‑то вроде крипторелигии – системы верований, которая не имеет ничего общего с реальностью. Для них математика лишь продукт функционирования нашего мозга и его восприятия окружающего мира в нераздельном союзе с телом. То, как мы думаем, зависит от строения нашего организма, сформировавшегося в результате эволюции. Вот как пишут об этом Джордж Лакофф и Рафаэль Э. Нуньес в предисловии к своему подробному разбору истоков математического мышления «Откуда взялась математика»:

Человеческая математика, единственный вид математики, который известен человеческим существам, не может быть подвидом математики абстрактной и трансцендентной.

Вместо этого математика, какой мы ее знаем, возникает из природы нашего мозга и нашего воплощенного опыта. В результате все романтические представления о ней оказываются ошибочными.[170]

И действительно, вера в существование математического мира, наполненного бесконечными количеством истинных утверждений, которые человеческое сознание может познавать по одному более или менее эффективно в зависимости от воображения и способностей познающего, обладает всеми признаками религиозной фантазии. Речь идет о воображаемом мире, параллельном нашему и содержащем скрытые истины, вечную правду, доступ к которой имеют лишь немногие избранные, наделенные пророческим видением. И лишь те, кто познал смысл этих истин, могут передавать их другим для их просвещения и умудрения.

Математик Грегори Хайтин, сыгравший ключевую роль в применении результатов работ Геделя и Тьюринга в алгоритмической информационной теории (о которой мы подробнее поговорим позже), в одном из интервью заявил о своей вере в существование платоновского мира: «Мне нравится представлять, что я не просто растратил свою жизнь ни на что и не придумал свои результаты, но выразил через них какую‑то фундаментальную внешнюю реальность».[171] Однако в конце интервью он говорит, что после многих лет, потраченных на исследования в области теории сложности, он вынужден признать существование экспериментальной (изобретенной) стороны математики, пусть лично ему с его философских позиций ближе другой подход – средний путь между двумя радикальными позициями.

Другие ученые, например светило британской математики сэр Майкл Атья, соглашаются, что вечная истина как «фундаментальная основа, ждущая открытия» может существовать, но личность исследователя персонализирует ее, оставляя на ней свой уникальный отпечаток и освещая ее собственным светом.[172] Это смелая попытка объяснения, но, если вдуматься, она также не является «средним путем», ведь Атья признает существование мистического математического измерения.[173]

Лично я считаю подобные предположения необоснованными, и Эйнштейн со мной согласен. В своем эссе «Замечания о теории познания Бертрана Рассела» он утверждает: «Так, например, натуральный ряд чисел, очевидно, является изобретением человеческого ума, создавшего орудие, позволяющее упростить упорядочение некоторых ощущений».[174] Рассуждения о платоновском пространстве вечных математических истин могут вдохновлять и направлять математиков, но имеют такие же материальные основания, как размышления христианина о рае: «Он существует, если я в него верю, и моя уверенность – это все, что мне нужно для жизни». Нет никаких доказательств того, что трансцендентные истины существуют вне человеческого восприятия. Почему же просто не сказать, что человеческое сознание обладает потрясающей способностью создавать абстрактные концепции и манипулировать ими с помощью логических рассуждений и познания? Зачем приплетать к этому какую‑то нематериальную реальность?

Астрофизик Марио Ливио в своей книге «Был ли Бог математиком?» рассказывает об истории противопоставления двух взглядов на математику – как на исследование и как на изобретение, ссылаясь при этом на рассуждения и работы величайших представителей науки всех времен. Он делает вывод, что простого ответа на этот вопрос не существует: «Как правило, концепции являются изобретениями. Люди изобрели концепцию простых чисел, но вот теоремы о простых числах уже были открытиями».[175] Проблема с этими рассуждениями состоит в том, что мы не можем быть уверены, является ли что‑то открытием, не имея на руках своего рода карты загадочной математической страны. В конце своей книги Ливио переходит на сторону когнитивистов и подчеркивает важнейшую роль человеческой нейрофизиологии в объяснении эффективности и единообразия математики.

Разумное сознание, способное к счету и оперирующее понятием бесконечности, способно разработать основы арифметики и даже теории множеств. Известно, что некоторые животные, например шимпанзе и вороны, умеют считать, но лишь до определенного уровня. Затем они останавливаются, так как не в состоянии понять существование больших чисел и осознать, что подсчет может никогда не закончиться. Как пишут Лакофф и Нуньес, только сложное сознание может представить себе бесконечность, то есть осуществить переход от бесконечности как потенциала (возможности считать или проводить линию без остановки) к бесконечности как факту и отдельному понятию. Мы не можем досчитать до бесконечности, но ее образ имеется у нас в головах.

Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер в своей статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» обращает внимание на использование математики в физике и описывает ее как удивительный дар: «Невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет». Будучи первым ученым, применившим математическую теорию групп к квантовой механике, Вигнер пишет о своем удивлении тем, как много физических результатов было получено с использованием математических концепций, не предназначенных для этих целей – да и для каких бы то ни было целей в принципе: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является поразительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны».[176]

Между работой математиков и теоретических физиков действительно существует прекрасная гармония, ведь математика постоянно и с неизменным успехом применяется для разрешения физических проблем. Однако удивление Вигнера, которое разделяют многие физики, не имеет под собой оснований. Во‑первых, как писал Г. Х. Харди, «геометр предлагает физику целый набор карт на выбор. Возможно, что одна карта будет лучше соответствовать фактам, чем другие. В этом случае геометрия, порождающая лучшую карту, окажется геометрией, наиболее важной для прикладной математики».[177] Многие математические идеи не имеют ничего общего с физической реальностью, физики лишь выбирают те, которые кажутся им наиболее удобными, для достижения своих целей. Как прекрасно знает любой физик‑теоретик, абсолютное большинство математических моделей, которые мы разрабатываем, не имеют никакого отношения к реальному миру. Что бы ни говорила нам интуиция, большинство уравнений, которые мы решаем, остаются просто уравнениями. Познавать Природу куда сложнее, чем делать расчеты для моделей.

Во‑вторых, даже самая абстрактная математика отталкивается от воспринимаемой реальности. Числа, множества, геометрия – все эти концепции существуют у нас в мозгу и используются для описания мира. Мы считаем, мы объединяем предметы в множества (вон там столько‑то львов, а вон там – столько‑то зебр), мы распознаем схемы. Как пишут Лакофф и Нуньес, чтобы понять, откуда берется математика, мы должны прояснить процесс ее «воплощения», то есть узнать, как именно наше когнитивное строение приводит к формированию тех или иных мыслительных процессов. В‑третьих, заявление «истина есть красота, и красота есть истина», то есть утверждение о том, что в математике присутствует эстетическая красота, отраженная в Природе, является заблуждением. Разумеется, в Природе существует множество прекрасных симметрий и повторяющихся узоров, таких как спирали галактик и ураганов или шарообразная форма планет и мыльных пузырей. Еще больше абстрактных симметричных проявлений можно найти во взаимодействиях фундаментальных частиц материи друг с другом. Но большая часть этих симметричных явлений объясняется приближением, а многие предметы и вовсе асимметричны. В своей книге A Tear at the Edge of Creation я уже писал о том, что творческая сила Природы часто скрывается за асимметричными проявлениями. Бенуа Мандельброт, первооткрыватель фракталов, писал: «Облака – не идеальные сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, кора дерева – не гладкая, и молния не распространяется по идеально прямой линии».[178] Богатство Природы заключается не в четком порядке, стоящем над всем остальным, а в контрасте между порядком и хаосом, симметрией и асимметрией как взаимодополняющими характеристиками, которыми мы пользуемся при описании мира.

Дополнительную сложность в обсуждение этого вопроса вносит тот факт, что во многих случаях введение математической симметрии или единообразия в физику приводило к потрясающим достижениям. Возьмем, к примеру, релятивистскую версию квантовой механики Дирака, благодаря которой были открыты античастицы. Пытаясь создать формулировку квантовой механики, согласующуюся с эйнштейновской теорией относительности и спином электрона, Дирак получил не одно, а сразу два решения своего уравнения. Одно из них описывало электрон, а второе – аналогичную частицу, но с противоположным зарядом (существовало и еще несколько мелких различий, но они в данном случае неважны). Зная, что положительным зарядом среди частиц обладает протон и что его масса существенно отличается от массы электрона, Дирак вскоре понял, что имеет дело с новой частицей – античастицей. В 1932 году Карл Андерсон обнаружил «антиэлектрон» экспериментальным путем и назвал его позитроном. Математический союз между квантовой механикой и специальной теорией относительности предсказал существование целого нового класса частиц антиматерии. Таким образом, у каждой частицы материи появился антиматериальный брат‑близнец.

Уравнение Дирака открыло ученым двери в новый мир, населенный материей и антиматерией. Удивительно, но этот мир оказался реальностью, в которой мы живем. Но даже в этом случае гармония не является абсолютной. Согласно уравнению Дирака, материя и антиматерия должны существовать в равных объемах, однако мир вокруг нас загадочным образом состоит только из материи. Эта природная асимметрия, заключающаяся в избытке материи, остается для нас загадкой, несмотря на многие десятилетия, потраченные учеными в поисках ответа на этот вопрос. А ведь именно он является ключом к тайне существования человечества и нашего мира в целом. Частицы материи и антиматерии, сталкиваясь с поразительной точностью, аннигилируют и превращаются в излучение. Поэтому вселенная, при зарождении которой количество материи и антиматерии было бы равным, выглядела бы как наполненная излучением пустота. Судя по тому, что мы видим вокруг себя, этого не произошло.[179]

Данный пример, как и многие другие, заставляет некоторых ученых поверить в то, что математика – нечто большее, чем простой описательный инструмент физиков, и что физика позволяет раскрыть какую‑то глубокую математическую структуру природы, возможно, то самое платоновское измерение чистой математики, перенесенное в физическую реальность. Сегодня эти убеждения находят свое воплощение в научном Эльдорадо – теории всего, попытке создать единое и всеобъемлющее описание материального мира, основанное на работе фундаментальных сил между элементарными частицами. Какими бы привлекательными ни казались подобные проекты, наделяющие открытия естественных наук некоей божественной истиной, история физических теорий говорит нам об обратном. Физические теории постоянно меняются, в отличие от незыблемых математических результатов (ведь теорема Пифагора не перестанет быть верной, если мы узнаем что‑то новое о треугольниках). Рассмотрим в качестве примера силу притяжения. Как мы уже обсуждали выше, Ньютон видел ее иначе, нежели Аристотель, а Эйнштейн – иначе, нежели Ньютон. В настоящий момент мы еще раз пересматриваем сущность гравитации, и некоторые физики уже задаются вопросом, является она фундаментальной силой Природы, как электромагнетизм, или чем‑то совершенно иным.

Любое утверждение о том, что математика не играет никакой роли в Природе, было бы наивным и неверным, особенно для физика‑теоретика. Разумеется, ее роль является одной из важнейших, что подтверждается нашими физическими теориями, созданными на основе математики. Симметрия крайне важна для реализации этих теорий и их прикладных моделей – точных приближений к той реальности, которую мы пытаемся описать. Опасность (и источник платонических заблуждений) состоит в вере в симметрию как отражение Природы, а не инструмент для объяснения того, что мы наблюдаем и измеряем. Между человеческим мозгом и его попытками понять реальность с помощью математики существует прочная связь. Однако любая попытка представить математические модели как проявления великого природного замысла, доступного лишь немногим избранным, превращает такие модели в мистические послания свыше.

Но если математические результаты являются не отблесками какой‑то трансцендентной правды, а лишь человеческим изобретением и если наши поиски общей теории Природы, основанные на ее уникальной математической структуре, ведут нас не туда, зачем вообще что‑то делать? Зачем вообще ступать на эту дорогу, если она не приблизит нас к истине? Я часто слышу этот вопрос, обычно в сочетании с обвинениями в пораженчестве или в том, что я опустил руки, столкнувшись с собственной ограниченностью. Думаю, по крайней мере некоторые из моих читателей придерживаются того же мнения. Мне досталась неприятная задача: я романтик, убивающий мечты других романтиков. Но настало время увидеть и оценить науку такой, какая она есть. Она не божественный дар человечеству. Основа нашего стремления к знанию находится не извне, а внутри нас. Теоремы абстрактной математики, даже кажущиеся полностью оторванными от окружающей реальности, являются продуктами логических правил и концепций, сконструированных нашим сознанием. Как объясняют Лакофф и Нуньес, наш мозг функционирует особым образом, обнаруживая методы познания, которые, в свою очередь, ускоряют разработку абстрактных концепций. Наш неокортекс играет с самим собой в игры чистой математики, будучи при этом результатом долгих веков эволюции, осуществлявшейся путем естественного отбора и генетической вариативности, то есть при активном влиянии среды на живые организмы.

Возможно, 2 + 2 = 4 – это универсальное выражение (для любого вида, который знает числа и умеет их складывать), но от этого оно не становится менее человеческим. Если другие мыслящие инопланетяне смогут получить тот же результат (несомненно, выраженный в других символах), это скажет нам больше о том, как работает сознание, чем об универсальных истинах Природы. Тот факт, что 2 + 12 = 14 или e ^ix = cos x + i sin х, определяется не Вселенной, а человеческим разумом, который может использовать подобные выражения для приближения к физической реальности и/или описания ее элементов, от стада зебр до сложных экспоненциальных и тригонометрических функций, применимых бесчисленным количеством способов во всех науках или используемых в абстрактных мысленных конструкциях.

Спор о математике как об открытии или изобретении, равно как и дискуссия о природе физической реальности, указывает на важность человеческого мозга как чудесного и редкого явления вселенского масштаба, а не на существование некой ускользающей от нас истины в непостижимом абстрактном измерении. Самое важное находится не извне, не над нами, не в руках Бога, а в небольшом клубке нейронов, скрытом под нашей черепной коробкой.

Глава 30. Неполнота