Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2021-04-18 | 57 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Найти область определения функции.
2. Определить точки пересечения ее графика с осями координат, точки разрыва функции.
3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
5. Найти асимптоты графика функции.
ПРИМЕР 3. Провести полное исследование функции
1. Областью определения функции является множество
2. Точки пересечения графика данной функции с осями координат: (2;0), (0;4). Точкой разрыва является x=-1.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю.
Приравняем производную к нулю
Решая квадратное уравнение , получим
В интервале (производная больше нуля), следовательно, функция возрастает.
В интервале функция убывает.
В интервале (-1;2) функция убывает.
В интервале функция возрастает.
Определим экстремум. Так как при переходе через точку x=-4 производная меняет свой знак с + на – в этой точке функция имеет локальный максимум: значение функции в этой точке y(-4)=-12. При переходе через точку x=-1 производная не меняет своего знака, следовательно, в этой точке нет экстремума. При переходе через точку x=2 производная меняет свой знак с – на +, следовательно, в точке x=2 функция имеет локальный минимум: значение функции в этой точке y(2)=0.
4. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.
Приравняем вторую производную к нулю . Очевидно, что в интервале , значит кривая выпукла. В интервале кривая вогнута. Так как при x=-1 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
|
5. Найдем асимптоты графика функции. Т.к. x=-1 является точкой разрыва, то она является вертикальной асимптотой, причем:
Находим асимптоты:
,
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота f(x)=x-5.
ПРИМЕР 4. Провести полное исследование функции
1. Область определения функции
2. Так как y=0 при x=0, то график функции проходит через начало координат.
3. Исследуем функцию на монотонность.
Если , то 1-x=0, откуда x=1. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала:
В интервале , и функция в этом интервале возрастает;
В интервале , и функция убывает. Таким образом, в точке x=1 будем иметь локальный максимум (т.к. знак производной меняется с плюса на минус): значение функции в этой точке
4. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной: Приравняем вторую производную к нулю, получим x=2.
В интервале т.е. кривая выпукла в этом интервале.
В интервале т.е. кривая вогнута. Так как в точке x=2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке график функции имеет перегиб:
5. Найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты в виде y=kx+b.
Таким образом, прямая y=0 – горизонтальная асимптота при Значит, при наклонных асимптот нет.
3.6. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти экстремумы функций:
1. (Отв. x=1 т.минимума)
2. (Отв. x=2 т.max; x=4 т.min)
2. Исследовать методами дифференциального исчисления функции:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!