Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2020-11-19 | 109 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
М. Ю. Ястребов
Электронное учебное пособие по дисциплине
Высшая математика
Семестр
Материал для подготовки к коллоквиуму
Матрицы, определители, системы линейных уравнений,
Векторная алгебра
Направление 38.03.04
«Государственное и муниципальное управление»
Санкт-Петербург 2020
ВВЕДЕНИЕ
Электронное учебное пособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для обучающихся по направлению 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», может быть использовано при изучении других дисциплин, направленных на формирование профессиональных компетенций. Изложенный материал соответствует той части семестрового материала, которая входит в программу коллоквиума1-го семестра.
Электронное учебное пособие направлено на формирование общепрофессиональных компетенций в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом (ФГОС ВО 3++) по уровню бакалавриата академического:
– ОПК-2 Способен применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач.
В электронном учебном пособии содержится систематическое изложение основ теории матриц и определителей, векторной алгебры.
Цель электронного учебного пособия – сформировать у обучающихся системные знания в области указанного раздела математики, которые позволят в будущем осуществлять профессиональную деятельность.
Содержание данного электронного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины и основано на материалах отечественной и зарубежной научной и учебной литературы, включая современные публикации.
|
АННОТАЦИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
приложение 2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова»
Кафедраматематики
АННОТАЦИЯ
Дисциплина математика
Направление подготовки 38.03.04 Государственное и муниципальное управление
Профиль Социально-экономическое развитие прибрежных территорий
Уровень высшего образования бакалавриат (академический)
Промежуточная аттестация зачет, экзамен
1. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Математика» относится к базовой части Блока 1 и изучается на 1 курсе в I-II семестрах по очной форме обучения.
Дисциплина «Математика» является одной из основных фундаментальных учебных дисциплин; она обеспечивает подготовку бакалавров к успешному освоению дисциплин гуманитарно-социально-экономического, естественнонаучно-математического и профессионального циклов.
Основная задача курса «Математика»: привить навыки решения типовых задач, научить студентов прилагать полученные теоретические знания к решению сугубо практических задач.
Входные знания студента:
· курс средней общеобразовательной школы «Алгебра и начала анализа»,
· курс средней общеобразовательной школы «Геометрия».
Данная дисциплина тесно связана со следующими дисциплинами:
- Теория вероятностей и математическая статистика;
- Статистика;
- Информационные технологии в управлении;
- Экономическая теория;
- Теория управления;
- Математическая экономика;
- Основы математического моделирования социально-экономических процессов.
2. Планируемые результаты обучения по дисциплине
|
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:основные понятия, определения и инструменты высшей математики и их применение в развитии современного общества. Знать основылинейной алгебры, аналитической геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики
Уметь: логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями, самостоятельно решать классические задачи высшей математики Уметь выполнять действия с матрицами, вычислять определители. Решать системы алгебраических уравнений. Решать дифференциальные уравнения и задачи теории вероятностей и математической статистики различными методами.
Владеть: математическим аппаратом теории матриц и определителей, дифференциального и интегрального исчисления. Владеть математическим аппаратом дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики для решения практических задач.
3. Объем дисциплины по видам учебных занятий
Объем дисциплины составляет 5 зачетных единиц, всего 180 часов, из которых по очной/заочной формам обучения 108/20 часов составляет контактная работа обучающегося с преподавателем.
4. Основное содержание дисциплины
Понятие матрицы, определителя, свойства определителя. Теоремы разложения и аннулирования, теорема Крамера. Действия с матрицами.
Числовая последовательность, ее предел. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Предел функции. Непрерывность функции. Основные пределы анализа. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Классификация точек разрыва функции.
Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Теорема Лопиталя. Свойства функции: монотонность, экстремумы, выпуклость вверх и выпуклость вниз, точки перегиба, асимптоты.
Проекция вектора на ось, ее свойства. Понятие базиса совокупности векторов. Скалярное и векторное произведения.
Прямая на плоскости. Кривые 2-го порядка. Плоскость. Прямая в пространстве.
Первообразная, неопределенный интеграл, свойства. Интегрирование по частям, замена переменной. Определенный интеграл, его геометрический смысл, свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Понятие n -мерного пространства.
|
Функция двух переменных. Полное и частные приращения. Частные производные. Экстремум функции 2-х переменных.
Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Действия с комплексными числами. Функция комплексной переменной.
Понятие дифференциального уравнения, его порядок, общее и частное решения. Дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.
Перестановки, сочетания, размещения. Виды случайных событий, действия с ними. Аксиомы теории вероятностей. Теорема сложения. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула Бернулли
Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики. Основные законы распределения случайных величин.
Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.
Составитель: Ильичева Т.П.
Зав. кафедрой: Сухотерин М.В.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Понятие матрицы
Прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов называется матрицей размера .
Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.
Элементы матрицы нумеруются двумя индексами: первый указывает номер строки, содержащей этот элемент, а второй — номер столбца.
Матрицы размера называются строками: ;
Матрицы размера называются столбцами: .
Матрица размера , состоящая из нулей, называется нулевой.
Матрицы и равны, если они имеют одинаковый размер и попарно равны их соответствующие элементы:
1.2. Матричные операции
Операция транспонирования переводит матрицу А размера в матрицу размера и состоит в замене строк таблицы на ее столбцы с сохранением порядка. Таким образом, в матрице элемент равен элементу матрицы .
Верно равенство .
Операция сложения применима только к матрицам одинакового размера. Суммой двух матриц и размера называется матрица того же размера, элементы которой представлены суммой элементов матриц и , имеющих те же индексы:
|
Обозначение: .
Операция вычитания определяется аналогично:
.
Операция умножения матрицы на число.Произведением матрицы на число a называется матрица того же размера, что и , получающаяся умножением каждого элемента матрицы на число a: . Обозначение: .
Введённые операции удовлетворяют следующим равенствам для любых матриц и одинакового размера и любых чисел a, b:
— коммутативность сложения;
— ассоциативность сложения;
если 0 — нулевая матрица размера m ´ n, то A + 0 = A;
для матрицы существует матрица того же размера такая, что A + = 0; при этом ;
0 — нулевая матрица того же размера, что и ;
10) (А + В) Т = АТ + ВТ;
11) .
1.3. Умножение матриц
Произведение матриц вводится только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матриц размера и размера называется матрица размера , элемент которой вычисляется по формуле («строка на столбец»)
Отметим, что есть сумма попарных произведений элементов i -й строки матрицы на элементы j-го столбца матрицы .
Обозначение: .
Операция умножения матриц не является в общем случае коммутативной (перестановочной), т.е. (хотя для некоторых матриц такое равенство имеет место). Более того, произведение АВ может существовать (в силу правила размерностей для множителей), в то время как произведение ВА оказывается не имеющим смысла.
Операция умножения добавляет к указанным в п. 1.2 равенствам следующие соотношения:
,
Данные равенства надо понимать так: если определено выражение справа, то определено и выражение слева (и наоборот) и имеет место указанное равенство.
Замечание. Произведением матрицы размера и столбца размера оказывается столбец размера
1.4. Квадратные матрицы
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Число строк квадратной матрицы называется порядком матрицы. Матрицы одного порядка можно складывать и вычитать, умножать на число и перемножать между собой. Элементы, стоящие в строках и столбцах с одинаковыми номерами, образуют главную диагональ. Матрица с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах
называется единичной.
Для произвольной квадратной матрицы одного порядка с единичной матрицей верно равенство
АЕ = ЕА = А.
1.5. Определители
С каждой квадратной матрицей А можно связать число, называемое определителем (или детерминантом)матрицы, который обозначается или , или .
Для матрицы первого порядка её определителем считается единственный элемент матрицы: .
Для матрицы второго порядка определитель задаётся формулой
.
Для матрицы третьего порядка определитель задаётся формулой
|
Пусть A — квадратная матрица порядка n и — элемент, стоящий в строке с номером и столбце с номером . Минором элемента называется определитель матрицы, которая получается из вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент .
Пример. Пусть .
Тогда минор элемента — это число .
Алгебраическим дополнением элемента называется число .
Если является чётным числом, то
;
если же является нечётным числом, то
.
Если в матрице каждый элемент заменить на его алгебраическое дополнение, то получится матрица, которая называется союзной к матрице и обозначается А *.
Теорема (о разложении определителя). Определитель матрицы равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения:
.
Это — разложение определителя по элементам -й строки.
Разложение определителя по элементам -го столбца имеет вид:
Теорема (аннулирования). Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов (стоящих в том же столбце) другой строки равна нулю.
ai 1 Aj 1 + … + ainAjn = 0 при i ¹ j.
Теорема (об определителе транспонированной матрицы). При транспонировании определитель матрицы не меняется:
.
Свойства определителей
Последняя из приведённых теорем позволяет любое свойство определителей, сформулированное в терминах строк матрицы, переформулировать в терминах её столбцов.
1. Если в матрице есть строка, состоящая из нулей, то определитель такой матрицы равен нулю.
2. Если в матрице поменять местами две строки, то определитель такой матрицы будет равен произведению определителя исходной матрицы на -1.
3. Если в матрице есть две одинаковые строки, то её определитель равен нулю.
4. Если все элементы какой-нибудь строки матрицы умножить на одно и тоже число, то определитель новой матрицы будет равен произведению определителя исходной матрицы на это число.
5. Если элементы какой-нибудь строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен сумме определителей двух матриц, совпадающих с исходной, кроме упомянутой строки, а в этой строке в первой матрице стоят первые слагаемые, а во второй матрице — вторые слагаемые:
.
6. Если в матрице к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.
7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:
1.6. Обратная матрица
Если — квадратная матрица порядка , то матрица того же порядка называется обратной к матрице , если выполнено равенство
,
где Е — единичная матрица.
Обозначение: . Таким образом,
Е сли матрица В является обратной к матрице А, то матрица А является обратной к матрице В:
.
Пусть матрица А имеет обратную А -1, так что . По свойству определителей , так что и .
Теорема (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля; при этом , где А * — союзная матрица.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
- каждый элемент матрицы заменяется на его алгебраическое дополнение;
- полученная матрица транспонируется;
- полученная матрица умножается на число .
Другой способ нахождения обратной матрицы приведён в п. 1.10.
1.7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений:
(1)
Обозначим:
— матрица коэффициентов;
— столбец неизвестных;
— столбец свободных членов.
Тогда, используя определения матричных операций, можно систему (1) переписать как равенство одностолбцовых матриц:
. (2)
Равенство (2) называется матричной записью системы линейных уравнений.
Если здесь , то существует обратная матрица . Имеем тогда:
Тем самым найдено решение системы Х = A -1 В в матричном виде: .
1.8. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Рассмотрим снова систему линейных уравнений с неизвестными:
Введём обозначения:
— определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных,
— определитель при неизвестном ,
— определитель при неизвестном ,
и так далее;
— определитель при неизвестном .
Здесь определитель при неизвестном получается из определителя системы заменой -го столбца столбцом свободных членов.
Теорема Крамера. Если определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое задаётся формулами Крамера:
, ,..., .
Пример.
;
; ; ;
; .
1.9. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гауссарешения произвольнойсистемылинейных уравненийосновывается на идее последовательного исключения неизвестных.
Пусть дана система из m уравнений с n неизвестными
Выберем среди всех коэффициентов коэффициент, отличный от нуля. Переставив, в случае необходимости, строки и изменив соответствующим образом нумерацию уравнений и неизвестных (а значит, строк и столбцов матрицы), можно добиться, чтобы это был .
Выразив из первого уравнения системы, получим:
.
Подставив затем полученное выражение для в оставшиеся уравнения, получим систему, у которой как число уравнений, так и число неизвестных уменьшилось на единицу.
Переобозначим: ; , в результате получаем систему
Если , то вычёркиваем этот столбец коэффициентов при из системы, а переменную считаем произвольной. В противном случае повторим с новой системой то же, что и с исходной.
Так мы переходим от системы к системе, вычеркивая нулевые столбцы, пока не останется одно уравнение. Если на каком-то этапе у нас получится равенство 0 = bk, где bk ¹0, то система не имеет решений. В противном случае оставшееся последним уравнение будет иметь вид:
,
где .
Затем находим
,
где выбираются произвольно. Далее обратным ходом последовательно находятся
1.10. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
Элементарными преобразованиями матрицы произвольного размера называются следующие действия со строками:
- перестановка строк;
- прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число;
- деление всех элементов строки на число, отличное от нуля.
Пусть — квадратная матрица порядка . Будем искать обратную матрицу следующим способом: запишем подряд две матрицы
,
где — единичная матрица порядка . Используя элементарные преобразования над строками приведём матрицу к единичной . Тогда у нас получится матрица .
Можно доказать, что .
Пример. Пусть . Вычислим обратную матрицу .
Поясним сделанные преобразования. На первом шаге ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2), а к третьей — первую (умноженную на единицу).
На втором шаге к третьей строке прибавили вторую, умноженную на 2.
На третьем шаге вторую строку разделили на (-1), а третью на (-3).
На четвертом шаге к первой строке прибавили третью, умноженную на (-1), а ко второй — третью, умноженную на (-3).
Наконец, на заключительном, пятом шаге к первой строке прибавили вторую, умноженную на (-1). В результате получили
Замечание. Если в результате указанных элементарных преобразований в некоторой строке все элементы левее вертикальной черты окажутся равными нулю, то это означает, что и, следовательно, обратная матрица не существует.
1.11. Собственные числа и собственные векторы
Пусть — квадратная матрица размера n ´ n, — единичная матрица того же порядка.
Число называется собственным числом матрицы A, если найдётся такой ненулевой столбец , что . В этом случае столбец называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу .
— собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу ; тогда для любого вещественного числа столбец также является собственным вектором матрицы , соответствующим этому же собственному числу. Действительно, по свойствам матричных операций
.
Если — собственные векторы матрицы , соответствующие собственному числу , то столбец также является собственным вектором матрицы , соответствующим этому же собственному числу. Действительно, по свойствам матричных операций
.
Рассмотрим систему уравнений, равносильную матричному равенству :
или, перенося свободные члены влево,
(3)
Система (3) заведомо имеет, по меньшей мере, одно — нулевое — решение: . Для того чтобы она имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен 0.
Таким образом, получаем уравнение для нахождения собственных чисел
, (4)
или в матричных обозначениях
.
Уравнение (1.2) называется характеристическим уравнением матрицы . Для нахождения собственных векторов надо значения l, найденные при решении характеристического уравнения (4), подставить в систему (3) и решить её методом Гаусса.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Основные понятия
Величины, которые полностью характеризуются одним числом, называются скалярными величинами, или просто скалярами. Примерами скалярных величин могут служить масса судна с грузом, водоизмещение судна, температура воздуха, угол между направлением движения судна и направлением на север.
Наряду со скалярами рассматривают величины, для полной характеристики которых одного числа недостаточно, требуется указать ещё их направление. Примерами таких величин служат скорость судна, сила удара при швартовке и т.д. Такие величины называются векторными.
Рис. 1
Вектором называется направленный отрезок. Направление задаётся указанием, какая из двух граничных точек отрезка считается начальной, а какая, соответственно, конечной.
Если точка является начальной, а конечной, то вектор направлен от к (рис. 1). Обозначения вектора; , .
Модулем вектора называется длина отрезка . Обозначения: , .
Нулевой вектор —это вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен нулю, а направление не определено.
Два вектора в пространстве или плоскости называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое направление и их модули равны.
Вектор называется противоположным вектору и обозначается .
Единичным вектором (или ортом), называется вектор, модуль которого равен единице. Единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом этого направления.
2.2. Линейные операции с векторами
Сумма векторов и определяется по правилу треугольника или параллелограмма (рис. 9.2 и 9.3).
Сумма двух неколлинеарных векторов может быть также найдена по правилу параллелограмма (рис. 9.3).
Для сложения векторов справедливы следующие свойства:
1) — коммутативность сложения;
2) — ассоциативность сложения;
3) ;
4) .
Рис. 2.
Рис.3.
Разностью векторов и называется вектор , для которого . При этом (рис. 4).
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!