В дифференциальной форме это будет

 

                        (7.93)

 

Аналогичным путем можно получить и уравнение Бернулли. Оно имеет вид:

 

                          (7.94)

 

           Расчет лопаточных решеток или межлопаточных каналов вращающихся рабочих колес удобно производить в относительном движении, так как появляется возможность использовать богатые материалы по исследованию неподвижных решеток и каналов. Но при этом возникает вопрос, насколько правомерен переход из неподвижной системы координат во вращающуюся, т.е. переход от абсолютного движения к относительному. Ответ на этот вопрос вытекает из формул (7.93) и (7.94).

           Если, например, в осевой турбомашине течение происходит по цилиндрическим поверхностям, т.е. радиус линии тока на входе и выходе одинаков, то u=соnst, d u =0, следовательно, формулы (7.93) и (7.94) принимают такой же вид, как обычное уравнение энергии и уравнение Бернулли для абсолютного движения. Тогда все расчеты можно вести по обычным формулам, заменяя в них абсолютную скорость с на относительную w. Если же радиус линии тока на входе и выходе неодинаков, т.е. u≠соnst, то в уравнениях необходимо учитывать изменение величины u ² /2. При Qe=0 и u=соnst уравнения энергии (7.92) и (7.93) приобретают вид, соответствующий энергоизолированному потоку, следовательно, относительное движение является энергоизолированным, несмотря на то, что абсолютное происходит с подводом или отводом механической работы. Если ввести понятие температуры торможения в относительном движении[8]

                                    (7.95)

 

то, преобразовав формулу (7.92) к виду

c _p (t₁^*– t₂^*) – (u ₁ ² – u ₂ ²)/2 = 0,

нетрудно заметить, что для рассматриваемого случая (u =соnst, Q_e=0) = соnst. Это объясняется тем, что при u=соnst на поток в межлопаточном канале не действуют никакие массовые силы, кроме сил тяжести, которыми обычно пренебрегают. Если u≠соnst, то  изменяется, т.е. в относительном движении к газу подводится или отводится механическая работа, равная (u ₁ ² – u ₂ ²)/2. Это есть работа центробежных сил.

           Значения термодинамических параметров состояния газа р, ρ, Т, а следовательно, и скорости звука а = , не зависят от того, в каком движении — абсолютном или относительном — они рассматриваются. Этим свойством можно воспользоваться при установлении зависимости между Т^* и . Действительно

откуда                                                                                          

или, с учетом выражения (7.89),

                                                      (7.96)

 

           Относительная скорость w, достигшая в каком–либо сечении величины местной скорости звука, называется критической скоростью в относительном движении. Она обозначается . Положив в (7.95) w=  и Т= , получим

 

                                                     (7.97)

 

Эта формула имеет такой же вид, как и для абсолютного движения. Заметим, что не изменяется также вид формул для критических отношений давлений и плотностей

                                                (7.98)

                                       (7.99)

           Из формулы (7.97) и формулы скорости звука а =  легко получается выражение для , имеющее тот же вид, что и для а_кр а именно:

 

                           (7.100)

 

Вполне понятно тогда, что не должен изменяться и вид формул связи критической скорости, максимальной скорости в относительном движении и скорости звука. Простой проверкой нетрудно убедиться, что

 

                                           (7.101)

и

                                         (7.102)

 

           В относительном движении, так же как и в абсолютном, удобно пользоваться безразмерными скоростями — числом

 

                                                                 (7.103)

и приведенной скоростью

                                                             (7.104)

 

Они связаны между собой такой же зависимостью, как и в абсолютном движении (см. формулы (2.54) и (2.55)).

           Параметры торможения в относительном движении ,   и  при помощи газодинамических функций торможения ,  и  (см. формулы (2.59), (2.60) и (2.61)) связываются с термодинамическими параметрами р, Т, ρ, только в качестве аргумента в газодинамических функциях нужно брать приведенную скорость в относительном движении . Это же можно сделать и при помощи формул (2.56), (2.57), (2.58), в которых число М берется в относительном движении .

           Нужно заметить, что параметры торможения в относительном движении имеют вполне определенный физический смысл. Если датчики давления торможения и температуры торможения укрепить непосредственно в межлопаточном канале вращающегося колеса, то соединенные с ними приборы покажут величины  и   .

           Формулу массового расхода

 

m _сек = ρ w F

 

путем преобразований нетрудно привести к следующему виду:

 

                                                (7.105)

или

                                              (7.106)

 

Следовательно, и расходные функции  и  могут быть использованы в расчетах относительного движения так же, как и абсолютного.

           Из всего изложенного следует, что пользуясь критической скоростью , приведенной скоростью , параметрами торможения , , , можно рассчитывать газовый поток во вращающейся системе координат теми же методами, что и в абсолютном движении. При этом, если Q_е=0 и и=соnst, то поток рассчитывается как энергоизолированный: =соnst, =соnst, для идеального газа или  для течения с потерями.

           Чтобы этим методом можно было пользоваться практически, надо дать еще формулы связи между параметрами абсолютного и относительного движения. Для температур торможения такая связь была установлена формулой (7.96). Для критических скоростей ее можно получить из соотношения

 

откуда

                                         (7.107)

Введя обозначения

                                             (7.108)

и

                                                             (7.109)

 

преобразуем формулы (7.96) и (7.107) к следующему виду:

 

                                     (7.110)

                                    (7.111)

               (7.112)

                 (7.113)

 

Поделив обе части выражения (7.89) на а_кр² представим его в виде

 

или

откуда

                                                (7.114)

и

 

                                     (7.115)

 

           Связь между числами М и  приведем в таком виде:

 

                                                  (7.116)

 

           Пересчет давлений и плотностей заторможенного потока из абсолютного движения в относительное и обратно удобно производить с помощью газодинамических функций, основываясь на том, что р и ρ сохраняют свои значения независимо от системы координат, а именно:

               

                                        (7.117)

 

                                          (7.118)

 

           Рассмотрим связь относительной скорости w с площадью поперечного сечения потока для изоэнтропного относительного движения, когда трение и теплообмен отсутствуют.

           В уравнении неразрывности ρwF=соnst, записанном в дифференциальном виде

представим d ρ/ρ так:

помня, что d р/ d ρ=а². Величину d р/ρ найдем из уравнения Бернулли (7.94), которое для изоэнтропного течения примет вид

 

Тогда

                                                                        

 

Подставив это в уравнение неразрывности, получим

u d u / а² – wdw / а²+ dw / w + dF / F = 0,

 

или

                                   (7.119)

 

           Из этого уравнения видно, что изменение относительной скорости в каналах рабочего колеса связано не только с формой канала, но и с его расстоянием от оси вращения. Если это расстояние постоянно, т.е. u =соnst, то уравнение (7.119) превращается в уравнение Гюгонио, следовательно, закон изменения скорости ничем не отличается от такового для неподвижных каналов. Увеличение и вдоль потока действует в ту же сторону, что и расширение канала — замедляет дозвуковой поток и разгоняет сверхзвуковой.

           Если канал имеет форму сопла Лаваля, то критическое сечение может получиться в различных местах, в зависимости от закона изменения переносной скорости u. Положив в уравнении (7.119) М=1, имеем условие, определяющее местоположение критического сечения

 

 

При u =соnst dF=0, т.е. критическое сечение находится в горле. При d(u²/2)>0 dF<0, следовательно, оно располагается в суживающейся части, а при d(u²/2)<0 – в расширяющейся, так как dF>0 (рис. 166). Этим трем случаям соответствует такой характер изменения параметров торможения в относительном движении:

 

1. .

 

2. .

 

3. .

 

 

[1] См. файл Уравнение неразрывности.pdf

 

[2] В некоторых иностранных литературных источниках понятия конфузора и диффузора связывают не с изменением скорости, а с изменением площади: суживающийся канал называют конфузором, а расширяющийся — диффузором.

 

[3] См. файл Газодинамические функции.pdf

[4] Увеличение скорости за счет трения, кажущееся на первый взгляд парадоксальным, объясняется довольно просто. В результате преодоления сил трения уменьшается давление. В сжимаемой жидкости это приводит к падению плотности, следовательно, при постоянной площади сечения скорость должна возрастать. В несжимаемой жидкости скорость будет сохраняться постоянной.

[5] См., напр.: Л.А.Вулис. Термодинамика газовых потоков, Энергоиздат, 1950.

[6] В магнитной газодинамике работа сил электростатического или электромагнитного поля не называется внешней механической и учитывается специальными членами, входящими в уравнения.

[7] Знак минус появился в связи с тем, что, вычисляя работу, совершенную газом, надо брать момент, с которым струя действует на лопатки, тогда как уравнение (3.45) определяет момент, с которым лопатки действуют на струю.

[8] В теории косых скачков уплотнения применялась аналогичная величина — температура частичного торможения Т*.