Оптимальное управление космическим аппаратом

В связи с отмеченными ранее специфическими особенностями атмосферы Марса наиболее важной задачей оптимизации траекторий полета КА, результаты решения которой оказывают принципиальное влияние на проектирование технологий управления, следует считать задачу минимизации конечной скорости аппарата на высоте ввода в действие системы мягкой посадки.

При исследовании управления КА рассматривались минимальная, номинальная и максимальная модели атмосферы Марса [19, 27, 66]. Для этих моделей плотность атмосферы  в зависимости от высоты полета КА определялась в соответствии с методикой, изложенной в работах [47,48].

Расчеты проводились для следующих форм КА, проектируемых для осуществления различных миссий зондирования атмосферы Марса: аппаратов сегментно-конической формы с максимальным аэродинамическим качеством ; типа «несущий корпус» с ; самолетной формы с . Для таких форм зависимости аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления и подъемной силы , , а также аэродинамического качества  от угла атаки  по аналогии с работами [27, 29] приведены на рис.2.1.

Рис. 2.1. Зависимости коэффициентов лобового сопротивления (, подъемной силы () и аэродинамического качества , от угла атаки () ():

сплошная линия – КА самолетной формы с ;

штриховая линия – КА типа «несущий корпус» с ;

штрихпунктирная линия – КА сегментно-конической формы (

В работе [27] показано, что для КА типа «несущий корпус» с достаточной степенью точности указанные зависимости могут быть аппроксимированы следующим образом:

(2.20)

Для КА типа «космический самолёт»

                                                              

                                        

Для КА сегментно-конической формы

Коэффициенты зависят от числа Маха[26].

Прежде всего, рассмотрим задачу определения структуры оптимального двухпараметрического управления КА углами крена и атаки, минимизирующего конечную скорость  на заданной высоте полета при ограничениях на допустимые значения ряда фазовых координат.

Применительно к задаче определения , которая эквивалентна задаче максимизации переменной , из условия трансверсальности (2.17) для конечной точки траектории получим:

Учитывая соотношения (2.18), (2.19), (2.21) из уравнений (2.15) найдем решения для сопряженных переменных:

При нулевом значении переменной  оптимальный закон управления углом , обеспечивающий максимум гамильтониана , имеет вид (см. (2.16)):

т. е. либо  при , либо  при .

Очевидно, что для обеспечения благоприятного режима ввода в действие системы мягкой посадки, движение КА на конечном участке спуска должно осуществляться с положительным аэродинамическим качеством, т.е. . Постоянную , знаком которой определяется знак производной сопряженной переменной , найдем из условия равенства нулю гамильтониана в конечной точке

Анализ динамики движения КА на заключительном установившемся участке его спуска в атмосфере показывает, что приращение переменной  в конце траектории спуска составляет величину меньшего порядка, чем приращение плотности атмосферы . Это позволяет пренебречь первым слагаемым последнего уравнения.

Поскольку, при , , то  и .

Следовательно, функция является монотонно возрастающей и может менять знак с минуса на плюс не более одного раза. Поэтому, в общем случае структура оптимального управления углом крена  представляет собой либо одноразовое переключение  с  на 0, либо полет с постоянным нулевым углом крена.

Для нахождения оптимального закона управления параметром  воспользуемся условием (2.16). Учитывая, что , , получим:

В частности, для зависимостей (2.20) закон изменения  при оптимальном управлении принимает вид:

Анализ данного уравнения показывает, что зависимость угла атаки  от аргумента имеет ярко выраженный локальный максимум , достигающийся во внутренней точке траектории спуска в момент переключения угла крена . При этом, в конечной точке траектории спуска угол  достигает своего абсолютного максимума. Действительно, в области больших углов  производная , а . Это, согласно условию (2.23), соответствует возрастающим значениям угла . Выражение , являющееся функцией «», при увеличении переменной  в конце участка спуска принимает значения, большие, чем . Следовательно, функция , являясь монотонно возрастающей, стремится к своему максимальному значению .

При полете КА по границам фазовых координат управляющие параметры определяются согласно условию (2.8) с учетом уравнений (2.12). При рассмотрении участков с ограничениями по высоте и перегрузке, порядок производной функции , которая содержит в явном виде параметры управления, равен .

Для изовысотного участка полета управляющие параметры КА определяются на основе уравнения:

и имеют вид:

По аналогии запишем условия движения КА по изоперегрузочному участку:

Отметим, что управляющие параметры  и  в явном виде содержатся в переменной :

Совместно решая два последних уравнения получим:

где

Анализ траекторий движения КА по изоучасткам позволяет сделать два основных вывода. Во-первых, могут существовать различные комбинации управляющих углов  и , при которых справедливы соотношения (2.25), (2.26). Это, в частности, позволяет выбрать такую комбинацию из множества допустимых, при которой величина «» будет иметь наименьшие значения, что обеспечивает наиболее эффективное управление боковой дальностью. Во-вторых, для минимизации конечной скорости принципиальным является обеспечение оптимального схода КА с изоучастка, тогда как выход КА на участки с ограничением может быть осуществлен по различным траекториям. Установленное свойство неединственности оптимальных траекторий КА, содержащих участки полета по ограничениям на фазовые координаты, подтверждается исследованиями, проведенными в работах [26, 29, 58].

Таким образом, с помощью уравнений (2.22)-(2.24) определена структура двухпараметрического оптимального управления углами крена и атаки при движении КА на участке спуска в атмосфере как внутри области допустимых значений фазовых координат, так и при полете аппарата по изоучасткам. Решая уравнения (2.12) и (2.15) с учетом найденной структуры управления рассчитываются квазиоптимальные траектории движения КА и значения сопряженных переменных. Это позволяет, используя полученные конечные значения  и , в качестве первого приближения решения краевых задач определить оптимальные траектории полета КА. Остальные конечные значения сопряженных переменных были известны ранее (см. (2.21)).