Модель Джелинского – Моранды

Модель Джелинского - Моранды относится к динамическим моделям непрерывного времени. Исходные данные для использования этой модели собираются в процессе тестирования ПО. При этом фиксируется время до очередного отказа. Основное положение, на котором базируется модель, заключается в том, что значение интервалов времени тестирования между обнаружением двух ошибок имеет экспоненциальное распределение с частотой ошибок (или интенсивностью отказов), пропорциональной числу еще не выявленных ошибок. Каждая обнаруженная ошибка устраняется, число оставшихся ошибок уменьшается на единицу.

Функция плотности распределения времени обнаружения 1-й ошибки, отсчитываемого от момента выявления -й ошибки, имеет вид:

где  − частота отказов (интенсивность отказов), которая пропорциональна числу еще не выявленных ошибок в программе.

где N − число ошибок, первоначально присутствующих в программе; С − коэффициент пропорциональности.

Наиболее вероятные значения величин  и  (оценка максимального правдоподобия) можно определить на основе данных, полученных при тестировании. Для этого фиксируют время выполнения программы до очередного отказа

Значения и предлагается получить, решив систему уравнений:

где

Поскольку полученные значения  и − вероятностные и точность их зависит от количества интервалов тестирования (или количества ошибок), найденных к моменту оценки надежности, асимптотические оценки дисперсий авторы предлагают определить с помощью следующих формул:

где

Чтобы получить числовые значения , нужно подставить вместо N и С их возможные значения  и . Рассчитав К значений по формуле (11) и подставив их в формулу (10), можно определить вероятность безотказной работы на различных временных интервалах. На основе полученных расчетных данных строится график зависимости вероятности безотказной работы от времени.

Модель Шика – Волвертона

Модификация модели Джелинского–Моранды для случая возникновения на рассматриваемом интервале более одной ошибки предложена Волвертоном и Шиком. При этом считается, что исправление ошибок производится лишь после истечения интервала времени, на котором они возникли. В основе модели Шика–Волвертона лежит предположение, согласно которому частота ошибок пропорциональна не только количеству ошибок в программах, но и времени тестирования, т.е. вероятность обнаружения ошибок с течением времени возрастает. Частота ошибок (интенсивность обнаружения ошибок)  предполагается постоянной в течение интервала времени  и пропорциональна числу ошибок, оставшихся в программе по истечении -го интервала; но она пропорциональна также и суммарному времени, уже затраченному на тестирование (включая среднее время выполнения программы в текущем интервале):

В данной модели наблюдаемым событием является число ошибок, обнаруживаемых в заданном временном интервале, а не время ожидания каждой ошибки, как это было для модели Джелинского - Моранды. В связи с этим модель относят к группе дискретных динамических моделей.

Модель Мусса

Модель Муса относят к динамическим моделям непрерывного времени. Это значит, что в процессе тестирования фиксируется время выполнения программы (тестового прогона) до очередного отказа. Но считается, что не всякая ошибка ПО может вызвать отказ, поэтому допускается обнаружение более одной ошибки при выполнении программы до возникновения очередного отказа.

Считается, что на протяжении всего жизненного цикла ПО может произойти Мо отказов и при этом будут выявлены все No ошибки, которые присутствовали в ПО до начала тестирования.

Общее число отказов Мо связано с первоначальным числом ошибок No соотношением

где В - коэффициент уменьшения числа ошибок.

В момент, когда проводится оценка надежности, после тестирования, на которое потрачено определенное время t, зафиксировано т отказов и выявлено п ошибок.

Тогда из соотношения

можно определить коэффициент уменьшения числа ошибок В как число, характеризующее количество устраненных ошибок, приходящихся на один отказ.

В модели Муса различают два вида времени:

1) суммарное время функционирования т, которое учитывает чистое время тестирования до контрольного момента, когда проводится оценка надежности;

2) оперативное время − время выполнения программы, планируемое от контрольного момента и далее при условии, что дальнейшего устранения ошибок не будет (время безотказной работы в процессе эксплуатации).

Для суммарного времени функционирования х предполагается:

• интенсивность отказов пропорциональна числу неустраненных ошибок;

• скорость изменения числа устраненных ошибок, измеряемая относительно суммарного времени функционирования, пропорциональна интенсивности отказов.

Один из основных показателей надежности, который рассчитывается по модели Муса, − средняя наработка на отказ. Этот показатель определяется как математическое ожидание временного интервала между последовательными отказами и связан с надежностью:

где − время работы до отказа.

Если интенсивность отказов постоянна (т.е. когда длительность интервалов между последовательными отказами имеет экспоненциальное распределение), то средняя наработка на отказ обратно пропорциональна интенсивности отказов.